- 数学B｜数列「解の1つが1の隣接3項間漸化式」の基本例題解説ページです。
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問題｜解の1つが1の隣接3項間漸化式
数列 58☆隣接3項間漸化式 \(a_1=0 ~,~ a_2=1 ~,~ a_{n+2}+2a_{n+1}-3a_n=0\) の一般項 \(a_n\) の求め方は？
高校数学B｜数列
解法のPoint
解の1つが1の隣接3項間漸化式
Point：解の1つが1の隣接3項間漸化式
\(a_{n+2}+p a_{n+1}+q a_n=0\)
① 特性方程式を解き、\(x=1\) ともう1つの解を求める。
\(x^2+px+q=0\) より、\(x=1~,~\alpha\)
② 漸化式を式変形する。
\(\begin{eqnarray}~~~a_{n+2}-a_{n+1}&=&\alpha\,(a_{n+1}-a_n)\end{eqnarray}\)
③ \( b_n=a_{n+1}-a_n \) と置き換えて、一般項 \(b_n\) を求める。
\(\begin{eqnarray}~~~b_{n+1}&=&\alpha\,b_n\end{eqnarray}\)
④ 数列 \(\{b_n\}\) が数列 \(\{a_n\}\) の階差数列となることより、一般項 \(a_n\) を求める。
\(n{\small ~≧~}2\) のとき、\(a_n=a_1+\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1} b_k\)
隣接3項間漸化式で特性方程式の解の1つが \(1\) であるときは、
\(a_{n+2}+p a_{n+1}+q a_n=0\)
① 特性方程式を解き、\(x=1\) ともう1つの解を求める。
\(x^2+px+q=0\) より、\(x=1~,~\alpha\)
② 漸化式を式変形する。
\(\begin{eqnarray}~~~a_{n+2}-a_{n+1}&=&\alpha\,(a_{n+1}-a_n)\end{eqnarray}\)
③ \( b_n=a_{n+1}-a_n \) と置き換えて、一般項 \(b_n\) を求める。
\(\begin{eqnarray}~~~b_{n+1}&=&\alpha\,b_n\end{eqnarray}\)
④ 数列 \(\{b_n\}\) が数列 \(\{a_n\}\) の階差数列となることより、一般項 \(a_n\) を求める。
\(n{\small ~≧~}2\) のとき、\(a_n=a_1+\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1} b_k\)
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詳しい解説｜解の1つが1の隣接3項間漸化式
数列 58☆
隣接3項間漸化式 \(a_1=0 ~,~ a_2=1 ~,~ a_{n+2}+2a_{n+1}-3a_n=0\) の一般項 \(a_n\) の求め方は？
高校数学B｜数列
\(a_{n+2}=x^2~,~a_{n+1}=x~,~a_n=1\) とした特性方程式より、
\(\begin{eqnarray}~~~x^2+2x-3&=&0
\\[3pt]~~~(x-1)(x+3)&=&0
\\[3pt]~~~x&=&1~,~-3
\end{eqnarray}\)
\(\begin{eqnarray}~~~x^2+2x-3&=&0
\\[3pt]~~~(x-1)(x+3)&=&0
\\[3pt]~~~x&=&1~,~-3
\end{eqnarray}\)
この漸化式を式変形すると、
\(\begin{eqnarray}~~~a_{n+2}-a_{n+1}&=&-3\,(a_{n+1}-a_n)\end{eqnarray}\)
ここで、\( b_n=a_{n+1}-a_n \) とおくと、
\(b_{n+1}=a_{n+2}-a_{n+1}\)
\( b_1=a_2-a_1=1-0=1\)
これより、
\(\begin{eqnarray}~~~b_{n+1}&=&-3\,b_n~,~ b_1=1\end{eqnarray}\)
初項 \(1\)、公比 \(-3\) の等比数列となるので、
\(\begin{eqnarray}~~~b_n&=&1\cdot(-3)^{\,n-1}
\\[3pt]~~~&=&(-3)^{\,n-1}
\end{eqnarray}\)
\( b_n=a_{n+1}-a_n \) より、数列 \( \{a_n\} \) の階差数列が \( \{b_n\} \) であるので、
\(n{\small ~≧~}2\) のとき、
\(\begin{eqnarray}~~~a_n&=&a_1+\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1} b_k
\\[5pt]~~~&=&0+\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1}(-3)^{\,k-1}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1}(-3)^{\,k-1}
\end{eqnarray}\)
ここで、\(\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1}(-3)^{\,k-1}\) は初項 \(1\)、公比 \(-3\)、項数 \(n-1\) の等比数列の和より、
\(\begin{eqnarray}~~~~~~~&=&\displaystyle\frac{\,1\cdot\left\{\,1-(-3)^{\,n-1}\,\right\}\,}{\,1-(-3)\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,1-(-3)^{\,n-1}\,}{\,4\,}~ ~ ~ \cdots {\small [\,1\,]}
\end{eqnarray}\)
\(n=1\) のとき、\({\small [\,1\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~a_1&=&\displaystyle \frac{\,1-(-3)^0\,}{\,4\,}=0\end{eqnarray} \)
これより、\(n=1\) のときも \({\small [\,1\,]}\) が成り立つ
したがって、\(a_n=\displaystyle\frac{\,1-(-3)^{\,n-1}\,}{\,4\,}\) となる
