このページは、「解の1つが1の隣接3項間漸化式」の練習問題アーカイブページとなります。
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解の1つが1の隣接3項間漸化式 で確認できます。
問題アーカイブ01
問題アーカイブ01\(a_1=0~,~a_2=1~,~a_{n+2}=8a_{n+1}-7a_n\)
数研出版｜数学Ｂ[710] p.40 発展 練習1(2)
\(a_{n+2}=x^2~,~a_{n+1}=x~,~a_n=1\) とした特性方程式より、
\(\begin{eqnarray}~~~x^2-8x+7&=&0
\\[3pt]~~~(x-1)(x-7)&=&0
\\[3pt]~~~x&=&1~,~7
\end{eqnarray}\)
\(\begin{eqnarray}~~~x^2-8x+7&=&0
\\[3pt]~~~(x-1)(x-7)&=&0
\\[3pt]~~~x&=&1~,~7
\end{eqnarray}\)
この漸化式を式変形すると、
\(\begin{eqnarray}~a_{n+2}-a_{n+1}&=&7\,(a_{n+1}-a_n)\end{eqnarray}\)
ここで、\( b_n=a_{n+1}-a_n \) とおくと、
\(b_{n+1}=a_{n+2}-a_{n+1}\)
\( b_1=a_2-a_1=1-0=1\)
これより、
\(\begin{eqnarray}~b_{n+1}&=&7\,b_n~,~ b_1=1\end{eqnarray}\)
初項 \(1\)、公比 \(7\) の等比数列となるので、
\(\begin{eqnarray}~b_n&=&1\cdot 7^{\,n-1}
\\[3pt]~&=&7^{\,n-1}
\end{eqnarray}\)
\( b_n=a_{n+1}-a_n \) より、数列 \( \{a_n\} \) の階差数列が \( \{b_n\} \) であるので、
\(n{\small ~≧~}2\) のとき、
\(\begin{eqnarray}~a_n&=&a_1+\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1} b_k
\\[5pt]~&=&0+\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1}7^{\,k-1}
\\[5pt]~&=&\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1}7^{\,k-1}
\end{eqnarray}\)
ここで、\(\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1}7^{\,k-1}\) は初項 \(1\)、公比 \(7\)、項数 \(n-1\) の等比数列の和より、
\(\begin{eqnarray}~~~~~&=&\displaystyle\frac{\,1\cdot\left\{\,7^{\,n-1}-1\,\right\}\,}{\,7-1\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,7^{\,n-1}-1\,}{\,6\,}~ ~ ~ \cdots {\small [\,1\,]}
\end{eqnarray}\)
\(n=1\) のとき、\({\small [\,1\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~a_1&=&\displaystyle \frac{\,7^0-1\,}{\,6\,}=0\end{eqnarray} \)
これより、\(n=1\) のときも \({\small [\,1\,]}\) が成り立つ
したがって、\(a_n=\displaystyle\frac{\,7^{\,n-1}-1\,}{\,6\,}\) となる
問題アーカイブ02
問題アーカイブ02\(a_1=1~,~a_2=3~,~a_{n+2}-3a_{n+1}+2a_n=0\)
数研出版｜高等学校数学Ｂ[711] p.42 発展 練習1(2)
\(a_{n+2}=x^2~,~a_{n+1}=x~,~a_n=1\) とした特性方程式より、
\(\begin{eqnarray}~~~x^2-3x+2&=&0
\\[3pt]~~~(x-1)(x-2)&=&0
\\[3pt]~~~x&=&1~,~2
\end{eqnarray}\)
\(\begin{eqnarray}~~~x^2-3x+2&=&0
\\[3pt]~~~(x-1)(x-2)&=&0
\\[3pt]~~~x&=&1~,~2
\end{eqnarray}\)
この漸化式を式変形すると、
\(\begin{eqnarray}~a_{n+2}-a_{n+1}&=&2\,(a_{n+1}-a_n)\end{eqnarray}\)
ここで、\( b_n=a_{n+1}-a_n \) とおくと、
\(b_{n+1}=a_{n+2}-a_{n+1}\)
\( b_1=a_2-a_1=3-1=2\)
これより、
\(\begin{eqnarray}~b_{n+1}&=&2\,b_n~,~ b_1=2\end{eqnarray}\)
初項 \(2\)、公比 \(2\) の等比数列となるので、
\(\begin{eqnarray}~b_n&=&2\cdot 2^{\,n-1}
\\[3pt]~&=&2^{\,n}
\end{eqnarray}\)
\( b_n=a_{n+1}-a_n \) より、数列 \( \{a_n\} \) の階差数列が \( \{b_n\} \) であるので、
\(n{\small ~≧~}2\) のとき、
\(\begin{eqnarray}~a_n&=&a_1+\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1} b_k
\\[5pt]~&=&1+\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1}2^{\,k}
\end{eqnarray}\)
ここで、\(\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1}2^{\,k}\) は初項 \(2\)、公比 \(2\)、項数 \(n-1\) の等比数列の和より、
\(\begin{eqnarray}~~~~~&=&1+\displaystyle\frac{\,2\cdot\left(\,2^{\,n-1}-1\,\right)\,}{\,2-1\,}
\\[5pt]~~~&=&1+2^{\,n}-2
\\[5pt]~~~&=&2^{\,n}-1~ ~ ~ \cdots {\small [\,1\,]}
\end{eqnarray}\)
\(n=1\) のとき、\({\small [\,1\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~a_1&=&2^1-1=1\end{eqnarray} \)
これより、\(n=1\) のときも \({\small [\,1\,]}\) が成り立つ
したがって、\(a_n=2^{\,n}-1\) となる
問題アーカイブ03
問題アーカイブ03\(a_1=1~,~a_2=4~,~a_{n+2}=4a_{n+1}-3a_n\)
数研出版｜新編数学Ｂ[712] p.39 発展 練習1
\(a_{n+2}=x^2~,~a_{n+1}=x~,~a_n=1\) とした特性方程式より、
\(\begin{eqnarray}~~~x^2-4x+3&=&0
\\[3pt]~~~(x-1)(x-3)&=&0
\\[3pt]~~~x&=&1~,~3
\end{eqnarray}\)
\(\begin{eqnarray}~~~x^2-4x+3&=&0
\\[3pt]~~~(x-1)(x-3)&=&0
\\[3pt]~~~x&=&1~,~3
\end{eqnarray}\)
この漸化式を式変形すると、
\(\begin{eqnarray}~a_{n+2}-a_{n+1}&=&3\,(a_{n+1}-a_n)\end{eqnarray}\)
ここで、\( b_n=a_{n+1}-a_n \) とおくと、
\(b_{n+1}=a_{n+2}-a_{n+1}\)
\( b_1=a_2-a_1=4-1=3\)
これより、
\(\begin{eqnarray}~b_{n+1}&=&3\,b_n~,~ b_1=3\end{eqnarray}\)
初項 \(3\)、公比 \(3\) の等比数列となるので、
\(\begin{eqnarray}~b_n&=&3\cdot 3^{\,n-1}
\\[3pt]~&=&3^{\,n}
\end{eqnarray}\)
\( b_n=a_{n+1}-a_n \) より、数列 \( \{a_n\} \) の階差数列が \( \{b_n\} \) であるので、
\(n{\small ~≧~}2\) のとき、
\(\begin{eqnarray}~a_n&=&a_1+\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1} b_k
\\[5pt]~&=&1+\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1}3^{\,k}
\end{eqnarray}\)
ここで、\(\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1}3^{\,k}\) は初項 \(3\)、公比 \(3\)、項数 \(n-1\) の等比数列の和より、
\(\begin{eqnarray}~~~~~&=&1+\displaystyle\frac{\,3\cdot\left(\,3^{\,n-1}-1\,\right)\,}{\,3-1\,}
\\[5pt]~~~&=&1+\displaystyle\frac{\,3^{\,n}-3\,}{\,2\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,3^{\,n}-1\,}{\,2\,}~ ~ ~ \cdots {\small [\,1\,]}
\end{eqnarray}\)
\(n=1\) のとき、\({\small [\,1\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~a_1&=&\displaystyle\frac{\,3^1-1\,}{\,2\,}=1\end{eqnarray} \)
これより、\(n=1\) のときも \({\small [\,1\,]}\) が成り立つ
したがって、\(a_n=\displaystyle\frac{\,3^{\,n}-1\,}{\,2\,}\) となる
問題アーカイブ04
問題アーカイブ04\(a_1=1~,~a_2=3~,~a_{n+2}=3a_{n+1}-2a_n\)
東京書籍｜Advanced数学Ｂ[701] p.47 発展 問1(1)
東京書籍｜Standard数学Ｂ[702] p.53 発展 問1(1)
\(a_{n+2}=x^2~,~a_{n+1}=x~,~a_n=1\) とした特性方程式より、
\(\begin{eqnarray}~~~x^2-3x+2&=&0
\\[3pt]~~~(x-1)(x-2)&=&0
\\[3pt]~~~x&=&1~,~2
\end{eqnarray}\)
\(\begin{eqnarray}~~~x^2-3x+2&=&0
\\[3pt]~~~(x-1)(x-2)&=&0
\\[3pt]~~~x&=&1~,~2
\end{eqnarray}\)
この漸化式を式変形すると、
\(\begin{eqnarray}~a_{n+2}-a_{n+1}&=&2\,(a_{n+1}-a_n)\end{eqnarray}\)
ここで、\( b_n=a_{n+1}-a_n \) とおくと、
\(b_{n+1}=a_{n+2}-a_{n+1}\)
\( b_1=a_2-a_1=3-1=2\)
これより、
\(\begin{eqnarray}~b_{n+1}&=&2\,b_n~,~ b_1=2\end{eqnarray}\)
初項 \(2\)、公比 \(2\) の等比数列となるので、
\(\begin{eqnarray}~b_n&=&2\cdot 2^{\,n-1}
\\[3pt]~&=&2^{\,n}
\end{eqnarray}\)
\( b_n=a_{n+1}-a_n \) より、数列 \( \{a_n\} \) の階差数列が \( \{b_n\} \) であるので、
\(n{\small ~≧~}2\) のとき、
\(\begin{eqnarray}~a_n&=&a_1+\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1} b_k
\\[5pt]~&=&1+\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1}2^{\,k}
\end{eqnarray}\)
ここで、\(\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1}2^{\,k}\) は初項 \(2\)、公比 \(2\)、項数 \(n-1\) の等比数列の和より、
\(\begin{eqnarray}~~~~~&=&1+\displaystyle\frac{\,2\cdot\left(\,2^{\,n-1}-1\,\right)\,}{\,2-1\,}
\\[5pt]~~~&=&1+2^{\,n}-2
\\[5pt]~~~&=&2^{\,n}-1~ ~ ~ \cdots {\small [\,1\,]}
\end{eqnarray}\)
\(n=1\) のとき、\({\small [\,1\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~a_1&=&2^1-1=1\end{eqnarray} \)
これより、\(n=1\) のときも \({\small [\,1\,]}\) が成り立つ
したがって、\(a_n=2^{\,n}-1\) となる
