- 数学B｜数列「重解をもつ隣接３項間漸化式」の基本例題解説ページです。
- 目次をクリックすると各セクションへ移動します。
問題｜重解をもつ隣接３項間漸化式
数列 59☆隣接3項間漸化式 \(a_1=0 ~,~ a_2=2 ~,~ a_{n+2}-4a_{n+1}+4a_n=0\) の一般項 \(a_n\) の求め方は？
高校数学B｜数列
解法のPoint
重解をもつ隣接３項間漸化式
Point：重解をもつ隣接３項間漸化式
\(a_{n+2}+p a_{n+1}+q a_n=0\)
① 特性方程式を解き、重解を求める。
\(x^2+px+q=0\) より、\(x=\alpha\)
② 漸化式を式変形して、等比数列として解く。
\(a_{n+2}-\alpha a_{n+1}=\alpha\left(a_{n+1}-\alpha a_n\right)\)
これより、
\(a_{n+1}-\alpha a_n=\left(a_2-\alpha a_1\right)\cdot \alpha^{n-1}\)
③ 両辺を \(\alpha^{n+1}\) で割ることにより、数列 \(\{a_n\}\) の一般項を求める。
隣接3項間漸化式で特性方程式が重解をもつときは、
\(a_{n+2}+p a_{n+1}+q a_n=0\)
① 特性方程式を解き、重解を求める。
\(x^2+px+q=0\) より、\(x=\alpha\)
② 漸化式を式変形して、等比数列として解く。
\(a_{n+2}-\alpha a_{n+1}=\alpha\left(a_{n+1}-\alpha a_n\right)\)
これより、
\(a_{n+1}-\alpha a_n=\left(a_2-\alpha a_1\right)\cdot \alpha^{n-1}\)
③ 両辺を \(\alpha^{n+1}\) で割ることにより、数列 \(\{a_n\}\) の一般項を求める。
©︎ 2025 教科書より詳しい高校数学 yorikuwa.com
詳しい解説｜重解をもつ隣接３項間漸化式
数列 59☆
隣接3項間漸化式 \(a_1=0 ~,~ a_2=2 ~,~ a_{n+2}-4a_{n+1}+4a_n=0\) の一般項 \(a_n\) の求め方は？
高校数学B｜数列
\(a_{n+2}=x^2~,~a_{n+1}=x~,~a_n=1\) とした特性方程式より、
\(\begin{eqnarray}~~~x^2-4x+4&=&0
\\[3pt]~~~(x-2)^2&=&0
\\[3pt]~~~x&=&2
\end{eqnarray}\)
\(\begin{eqnarray}~~~x^2-4x+4&=&0
\\[3pt]~~~(x-2)^2&=&0
\\[3pt]~~~x&=&2
\end{eqnarray}\)
漸化式を式変形すると、
\(\begin{eqnarray}~~~a_{n+2}-4a_{n+1}+4a_n&=&0
\\[3pt]~~~a_{n+2}-2a_{n+1}&=&2\left(a_{n+1}-2a_n\right)
\end{eqnarray}\)
数列 \(\{\,a_{n+1}-2a_n\,\}\) は、
初項 \(a_2-2a_1=2-2\cdot0=2\)、公比 \(2\) の等比数列より、
\(\begin{eqnarray}~~~a_{n+1}-2a_n&=&2\cdot2^{n-1}
\\[3pt]~~~a_{n+1}-2a_n&=&2^{n}
\\[3pt]~~~a_{n+1}&=&2a_n+2^{n}
\end{eqnarray}\)
両辺を \(2^{n+1}\) で割ると、
\(\begin{eqnarray}~~~\frac{\,a_{n+1}\,}{\,2^{n+1}\,}&=&\frac{\,2a_n\,}{\,2^{n+1}\,}+\frac{\,2^{n}\,}{\,2^{n+1}\,}
\\[5pt]~~~\frac{\,a_{n+1}\,}{\,2^{n+1}\,}&=&\frac{\,2\cdot a_n\,}{\,2\cdot 2^{n}\,}+\displaystyle \frac{\,2^{n}\,}{\,2\cdot 2^{n}\,}
\\[5pt]~~~\frac{\,a_{n+1}\,}{\,2^{n+1}\,}&=&\frac{\,a_n\,}{\,2^{n}\,}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}
\end{eqnarray}\)
ここで、\(b_n=\displaystyle \frac{\,a_n\,}{\,2^{n}\,}\) とおくと、
\(b_{n+1}=\displaystyle \frac{\,a_{n+1}\,}{\,2^{n+1}\,}\)
\(b_1=\displaystyle \frac{\,a_1\,}{\,2^{1}\,}=\displaystyle \frac{\,0\,}{\,2\,}=0\)
これより、
\(b_{n+1}=b_n+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}~,~b_1=0\)
初項 \(0\)、公差 \(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\) の等差数列より、
\(\begin{eqnarray}~~~b_n&=&0+(n-1)\cdot \displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}
\\[5pt]~~~b_n&=&\displaystyle \frac{\,n-1\,}{\,2\,}
\end{eqnarray}\)
\(b_n=\displaystyle \frac{\,a_n\,}{\,2^{n}\,}\) より、数列 \(\{a_n\}\) の一般項は、
\(\begin{eqnarray}~~~\frac{\,a_n\,}{\,2^{n}\,}&=&\displaystyle \frac{\,n-1\,}{\,2\,}
\\[5pt]~~~a_n&=&\displaystyle \frac{\,n-1\,}{\,2\,}\cdot 2^{n}
\\[5pt]~~~a_n&=&(n-1)\cdot 2^{n-1}
\end{eqnarray}\)
