このページは、「重解をもつ隣接３項間漸化式」の練習問題アーカイブページとなります。
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重解をもつ隣接３項間漸化式 で確認できます。
問題アーカイブ01
問題アーカイブ01次の条件によって定められる数列 \(\{\,a_n\,\}\) がある。
\(a_1=0~,~a_2=2~,~a_{n+2}-4a_{n+1}+4a_n=0\)
\({\small (1)}~\) \(a_{n+1}-2a_n=2^{n}\) であることを示せ。
\({\small (2)}~\) \(\displaystyle \frac{\,a_n\,}{\,2^{n}\,}=b_n\) とおく。\(a_{n+1}-2a_n=2^{n}\) の両辺を \(2^{n+1}\) で割ることによって数列 \(\{\,b_n\,\}\) の漸化式を導き，数列 \(\{\,b_n\,\}\) の一般項を求めよ。
\({\small (3)}~\) 数列 \(\{\,a_n\,\}\) の一般項を求めよ。
\(a_1=0~,~a_2=2~,~a_{n+2}-4a_{n+1}+4a_n=0\)
\({\small (1)}~\) \(a_{n+1}-2a_n=2^{n}\) であることを示せ。
\({\small (2)}~\) \(\displaystyle \frac{\,a_n\,}{\,2^{n}\,}=b_n\) とおく。\(a_{n+1}-2a_n=2^{n}\) の両辺を \(2^{n+1}\) で割ることによって数列 \(\{\,b_n\,\}\) の漸化式を導き，数列 \(\{\,b_n\,\}\) の一般項を求めよ。
\({\small (3)}~\) 数列 \(\{\,a_n\,\}\) の一般項を求めよ。
数研出版｜数学Ｂ[710] p.40 発展 練習2
数研出版｜高等学校数学Ｂ[711] p.42 発展 練習2
\({\small (1)}~\)
\(a_{n+2}=x^2~,~a_{n+1}=x~,~a_n=1\) とした特性方程式より、
\(\begin{eqnarray}~~~x^2-4x+4&=&0
\\[3pt]~~~(x-2)^2&=&0
\\[3pt]~~~x&=&2
\end{eqnarray}\)
\(\begin{eqnarray}~~~x^2-4x+4&=&0
\\[3pt]~~~(x-2)^2&=&0
\\[3pt]~~~x&=&2
\end{eqnarray}\)
漸化式を式変形すると、
\(\begin{eqnarray}~~~a_{n+2}-4a_{n+1}+4a_n&=&0
\\[3pt]~~~a_{n+2}-2a_{n+1}&=&2\left(a_{n+1}-2a_n\right)
\end{eqnarray}\)
数列 \(\{\,a_{n+1}-2a_n\,\}\) は、
初項 \(a_2-2a_1=2-2\cdot0=2\)、公比 \(2\) の等比数列より、
\(\begin{eqnarray}~~~a_{n+1}-2a_n&=&2\cdot2^{n-1}
\\[3pt]~a_{n+1}-2a_n&=&2^{n}
\end{eqnarray}\)
\({\small (2)}~\)両辺を \(2^{n+1}\) で割ると、
\(\begin{eqnarray}~\frac{\,a_{n+1}\,}{\,2^{n+1}\,}&=&\frac{\,2a_n\,}{\,2^{n+1}\,}+\frac{\,2^{n}\,}{\,2^{n+1}\,}
\\[5pt]~\frac{\,a_{n+1}\,}{\,2^{n+1}\,}&=&\frac{\,2\cdot a_n\,}{\,2\cdot 2^{n}\,}+\displaystyle \frac{\,2^{n}\,}{\,2\cdot 2^{n}\,}
\\[5pt]~~~\frac{\,a_{n+1}\,}{\,2^{n+1}\,}&=&\frac{\,a_n\,}{\,2^{n}\,}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}
\end{eqnarray}\)
ここで、\(b_n=\displaystyle \frac{\,a_n\,}{\,2^{n}\,}\) とおくと、
\(b_{n+1}=\displaystyle \frac{\,a_{n+1}\,}{\,2^{n+1}\,}\)
\(b_1=\displaystyle \frac{\,a_1\,}{\,2^{1}\,}=\displaystyle \frac{\,0\,}{\,2\,}=0\)
これより、
\(b_{n+1}=b_n+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}~,~b_1=0\)
初項 \(0\)、公差 \(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\) の等差数列より、
\(\begin{eqnarray}~~~b_n&=&0+(n-1)\cdot \displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}
\\[5pt]~~~b_n&=&\displaystyle \frac{\,n-1\,}{\,2\,}
\end{eqnarray}\)
\({\small (3)}~\)\(b_n=\displaystyle \frac{\,a_n\,}{\,2^{n}\,}\) より、数列 \(\{a_n\}\) の一般項は、
\(\begin{eqnarray}~~~\frac{\,a_n\,}{\,2^{n}\,}&=&\displaystyle \frac{\,n-1\,}{\,2\,}
\\[5pt]~~~a_n&=&\displaystyle \frac{\,n-1\,}{\,2\,}\cdot 2^{n}
\\[5pt]~~~a_n&=&(n-1)\cdot 2^{n-1}
\end{eqnarray}\)
