- 数学B｜数列「等比数列に式変形する連立漸化式」の基本例題解説ページです。
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問題｜等比数列に式変形する連立漸化式
数列 60☆\(a_1=1 ~,~ b_1=2 ~,~\)\( a_{n+1}=a_n+2b_n ~,~\)\( b_{n+1}=2a_n+b_n\) の \(a_{n+1}+\alpha b_{n+1}=\beta(a_n+\alpha b_n)\) と式変形して一般項を求める解法は？
高校数学B｜数列
解法のPoint
等比数列に式変形する連立漸化式
Point：等比数列に式変形する連立漸化式
\(~~~a_1=1~,~b_1=2\)
\(~~~\left\{~\begin{array}{l}a_{n+1}=a_n+2b_n~ ~ ~ \cdots {\small [\,1\,]}\\
b_{n+1}=2a_n+b_n~ ~ ~ \cdots {\small [\,2\,]}
\end{array}\right.\)
① 2つの式 \(\small [\,1\,]\) と \(\small [\,2\,]\) の和と差より、数列 \(\{a_n+b_n\}\) と \(\{a_n-b_n\}\) の一般項を求める。
\(\begin{eqnarray}~~~a_n+b_n&=&3^n~ ~ ~ \cdots {\small [\,3\,]}
\\[5pt]~~~a_n-b_n&=&(-1)^n~ ~ ~ \cdots {\small [\,4\,]}
\end{eqnarray}\)
② \(a_n+b_n\) と \(a_n-b_n\) の和と差を用いて、一般項 \(a_n~,~b_n\) を求める。
\({\small [\,3\,]}+{\small [\,4\,]}\) より、\(a_n=\displaystyle \frac{\,3^n+(-1)^n\,}{\,2\,}\)
\({\small [\,3\,]}-{\small [\,4\,]}\) より、\(b_n=\displaystyle \frac{\,3^n-(-1)^n\,}{\,2\,}\)
2つの数列 \(\{a_n\}~,~\{b_n\}\) についての2つの漸化式は、
\(~~~a_1=1~,~b_1=2\)
\(~~~\left\{~\begin{array}{l}a_{n+1}=a_n+2b_n~ ~ ~ \cdots {\small [\,1\,]}\\
b_{n+1}=2a_n+b_n~ ~ ~ \cdots {\small [\,2\,]}
\end{array}\right.\)
① 2つの式 \(\small [\,1\,]\) と \(\small [\,2\,]\) の和と差より、数列 \(\{a_n+b_n\}\) と \(\{a_n-b_n\}\) の一般項を求める。
\(\begin{eqnarray}~~~a_n+b_n&=&3^n~ ~ ~ \cdots {\small [\,3\,]}
\\[5pt]~~~a_n-b_n&=&(-1)^n~ ~ ~ \cdots {\small [\,4\,]}
\end{eqnarray}\)
② \(a_n+b_n\) と \(a_n-b_n\) の和と差を用いて、一般項 \(a_n~,~b_n\) を求める。
\({\small [\,3\,]}+{\small [\,4\,]}\) より、\(a_n=\displaystyle \frac{\,3^n+(-1)^n\,}{\,2\,}\)
\({\small [\,3\,]}-{\small [\,4\,]}\) より、\(b_n=\displaystyle \frac{\,3^n-(-1)^n\,}{\,2\,}\)
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詳しい解説｜等比数列に式変形する連立漸化式
数列 60☆
\(a_1=1 ~,~ b_1=2 ~,~\)\( a_{n+1}=a_n+2b_n ~,~\)\( b_{n+1}=2a_n+b_n\) の \(a_{n+1}+\alpha b_{n+1}=\beta(a_n+\alpha b_n)\) と式変形して一般項を求める解法は？
高校数学B｜数列
\(~~~a_1=1~,~b_1=2\)
\(~~~\left\{~\begin{array}{l}a_{n+1}=a_n+2b_n~ ~ ~ \cdots {\small [\,1\,]}\\
b_{n+1}=2a_n+b_n~ ~ ~ \cdots {\small [\,2\,]}
\end{array}\right.\)
\({\small [\,1\,]}+{\small [\,2\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~~~
a_{n+1}&=&a_n+2b_n \\~~
+\big{)}~~~~~~~~b_{n+1}&=&2a_n+b_n\\
\hline a_{n+1}+b_{n+1}&=&3a_n+3b_n
\\[3pt] a_{n+1}+b_{n+1}&=&3(a_n+b_n)\end{eqnarray}\)
ここで、\(a_1+b_1=1+2=3\) より、
数列 \(\{a_n+b_n\}\) は、初項 \(3\)、公比 \(3\) の等比数列となるので、
\(\begin{eqnarray}~~~a_n+b_n&=&3\cdot3^{n-1}
\\[3pt]~~~a_n+b_n&=&3^{n}~ ~ ~ \cdots {\small [\,3\,]}
\end{eqnarray}\)
次に、\({\small [\,1\,]}-{\small [\,2\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~~~
a_{n+1}&=&a_n+2b_n \\~~
-\big{)}~~~~~~~~b_{n+1}&=&2a_n+b_n\\
\hline a_{n+1}-b_{n+1}&=&-a_n+b_n
\\[3pt] a_{n+1}-b_{n+1}&=&-(a_n-b_n)\end{eqnarray}\)
ここで、\(a_1-b_1=1-2=-1\) より、
数列 \(\{a_n-b_n\}\) は、初項 \(-1\)、公比 \(-1\) の等比数列となるので、
\(\begin{eqnarray}~~~a_n-b_n&=&-1\cdot(-1)^{n-1}
\\[3pt]~~~a_n-b_n&=&(-1)^{n}~ ~ ~ \cdots {\small [\,4\,]}
\end{eqnarray}\)
よって、\({\small [\,3\,]}+{\small [\,4\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~~~
a_n+b_n&=&3^{n} \\~~
+\big{)}~~~~a_n-b_n&=&(-1)^{n}\\
\hline 2a_{n}&=&3^{n}+(-1)^{n}
\\[5pt] a_{n}&=&\displaystyle \frac{\,3^{n}+(-1)^{n}\,}{\,2\,}\end{eqnarray}\)
また、\({\small [\,3\,]}-{\small [\,4\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~~~
a_n+b_n&=&3^{n} \\~~
-\big{)}~~~~a_n-b_n&=&(-1)^{n}\\
\hline 2b_{n}&=&3^{n}-(-1)^{n}
\\[5pt] b_{n}&=&\displaystyle \frac{\,3^{n}-(-1)^{n}\,}{\,2\,}\end{eqnarray}\)
したがって、
\(\displaystyle a_n=\frac{\,3^n+(-1)^n\,}{\,2\,}~,~\displaystyle b_n=\frac{\,3^n-(-1)^n\,}{\,2\,}\)
