等比数列に式変形する連立漸化式

数研出版｜数学Ｂ[710] p.41 発展 練習1

\({\small (1)}~\)\(a_1=0~,~b_1=1\)

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\(~~~\left\{~\begin{array}{l}a_{n+1}=a_n+3b_n~ ~ ~ \cdots {\small [\,1\,]}\\
b_{n+1}=a_n-b_n~ ~ ~ \cdots {\small [\,2\,]}
\end{array}\right.\)

---

\({\small [\,1\,]}+{\small [\,2\,]}\) より、

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\(\begin{eqnarray}~~~~~
a_{n+1}&=&a_n+3b_n \\ ~~
+\big{)}~~~~~~b_{n+1}&=&a_n-b_n\\
\hline a_{n+1}+b_{n+1}&=&2a_n+2b_n
\\[3pt] a_{n+1}+b_{n+1}&=&2(a_n+b_n)\end{eqnarray}\)

---

ここで、\(a_1+b_1=0+1=1\) より、

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数列 \(\{a_n+b_n\}\) は、初項 \(1\)、公比 \(2\) の等比数列となるので、

---

\(\begin{eqnarray}~a_n+b_n&=&1\cdot2^{n-1}
\\[3pt]~a_n+b_n&=&2^{n-1}~ ~ ~ \cdots {\small [\,3\,]}
\end{eqnarray}\)

---

次に、\({\small [\,1\,]}-3\times{\small [\,2\,]}\) より、

---

\(\begin{eqnarray}~
a_{n+1}&=&a_n+3b_n \\ ~~
-\big{)}~~3b_{n+1}&=&3a_n-3b_n\\
\hline a_{n+1}-3b_{n+1}&=&-2a_n+6b_n
\\[3pt] a_{n+1}-3b_{n+1}&=&-2(a_n-3b_n)\end{eqnarray}\)

---

ここで、\(a_1-3b_1=0-3=-3\) より、

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数列 \(\{a_n-3b_n\}\) は、初項 \(-3\)、公比 \(-2\) の等比数列となるので、

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\(\begin{eqnarray}~a_n-3b_n&=&-3\cdot(-2)^{n-1}~ ~ ~ \cdots {\small [\,4\,]}
\end{eqnarray}\)

 

\({\small (2)}~\)\(3\times{\small [\,3\,]}+{\small [\,4\,]}\) より、

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\(\begin{eqnarray}~
3(a_n+b_n)&=&3\cdot2^{n-1} \\
+\big{)}~~~~~~a_n-3b_n&=&-3\cdot(-2)^{n-1}\\
\hline 4a_{n}&=&3\cdot2^{n-1}-3\cdot(-2)^{n-1}
\\[5pt] a_{n}&=&\displaystyle \frac{\,3\cdot2^{n-1}-3\cdot(-2)^{n-1}\,}{\,4\,}
\\[5pt] a_{n}&=&\displaystyle \frac{\,3\left\{\,2^{n-1}-(-2)^{n-1}\,\right\}\,}{\,4\,}\end{eqnarray}\)

---

また、\({\small [\,3\,]}-{\small [\,4\,]}\) より、

---

\(\begin{eqnarray}~
a_n+b_n&=&2^{n-1} \\ ~~
-\big{)}~~~~a_n-3b_n&=&-3\cdot(-2)^{n-1}\\
\hline 4b_{n}&=&2^{n-1}+3\cdot(-2)^{n-1}
\\[5pt] b_{n}&=&\displaystyle \frac{\,2^{n-1}+3\cdot(-2)^{n-1}\,}{\,4\,}\end{eqnarray}\)

数研出版｜高等学校数学Ｂ[711] p.48 問題 17

\(a_1=0~,~b_1=1\)

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\(~~~\left\{~\begin{array}{l}a_{n+1}=2a_n+1~ ~ ~ \cdots {\small [\,1\,]}\\
b_{n+1}=b_n+a_n~ ~ ~ \cdots {\small [\,2\,]}
\end{array}\right.\)

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\({\small [\,1\,]}\) より、\(a_{n+1}+\alpha=2(a_n+\alpha)\) の形に変形すると、

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\(\begin{eqnarray}~~~a_{n+1}&=&2a_n+1
\\[3pt]~~~a_{n+1}+1&=&2a_n+1+1
\\[3pt]~~~a_{n+1}+1&=&2a_n+2
\\[3pt]~~~a_{n+1}+1&=&2(a_n+1)\end{eqnarray}\)

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ここで、\(a_1+1=0+1=1\) より、

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数列 \(\{a_n+1\}\) は、初項 \(1\)、公比 \(2\) の等比数列となるので、

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\(\begin{eqnarray}~a_n+1&=&1\cdot2^{n-1}
\\[3pt]~a_n+1&=&2^{n-1}
\\[3pt]~a_n&=&2^{n-1}-1~ ~ ~ \cdots {\small [\,3\,]}
\end{eqnarray}\)

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次に、\({\small [\,2\,]}\) より、

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\(\begin{eqnarray}~~~b_{n+1}&=&b_n+a_n
\\[3pt]~~~b_{n+1}-b_n&=&a_n\end{eqnarray}\)

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数列 \(\{a_n\}\) は、数列 \(\{b_n\}\) の階差数列であるので、

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\(n{\small ~≧~}2\) のとき、

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\(\begin{eqnarray}~~~b_n&=&b_1+\displaystyle \sum_{k=1}^{n-1}a_k
\\[5pt]~~~&=&1+\displaystyle \sum_{k=1}^{n-1}(2^{k-1}-1)
\\[5pt]~~~&=&1+\displaystyle \sum_{k=1}^{n-1}2^{k-1}-\displaystyle \sum_{k=1}^{n-1}1
\\[5pt]~~~&=&1+\displaystyle \frac{\,2^{n-1}-1\,}{\,2-1\,}-(n-1)
\\[5pt]~~~&=&1+2^{n-1}-1-n+1
\\[5pt]~~~&=&2^{n-1}-n+1\end{eqnarray}\)

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\(n=1\) のとき、\(b_1=2^0-1+1=1\) となり成り立つ

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したがって、

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　\(a_n=2^{n-1}-1~,~b_n=2^{n-1}-n+1\)

数研出版｜高等学校数学Ｂ[711] p.50 章末問題B 13

\({\small (1)}~\)\(a_1=0~,~b_1=1\)

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\(~~~\left\{~\begin{array}{l}a_{n+1}=a_n+2b_n~ ~ ~ \cdots {\small [\,1\,]}\\
b_{n+1}=2a_n+b_n~ ~ ~ \cdots {\small [\,2\,]}
\end{array}\right.\)

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\({\small [\,1\,]}+{\small [\,2\,]}\) より、

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\(\begin{eqnarray}~~~~~
a_{n+1}&=&a_n+2b_n \\ ~~
+\big{)}~~~~~~b_{n+1}&=&2a_n+b_n\\
\hline a_{n+1}+b_{n+1}&=&3a_n+3b_n
\\[3pt] a_{n+1}+b_{n+1}&=&3(a_n+b_n)\end{eqnarray}\)

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ここで、\(a_1+b_1=0+1=1\) より、

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数列 \(\{a_n+b_n\}\) は、初項 \(1\)、公比 \(3\) の等比数列となるので、

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\(\begin{eqnarray}~a_n+b_n&=&1\cdot3^{n-1}
\\[3pt]~a_n+b_n&=&3^{n-1}~ ~ ~ \cdots {\small [\,3\,]}
\end{eqnarray}\)

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次に、\({\small [\,1\,]}-{\small [\,2\,]}\) より、

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\(\begin{eqnarray}~
a_{n+1}&=&a_n+2b_n \\ ~~
-\big{)}~~~~~~b_{n+1}&=&2a_n+b_n\\
\hline a_{n+1}-b_{n+1}&=&-a_n+b_n
\\[3pt] a_{n+1}-b_{n+1}&=&-(a_n-b_n)\end{eqnarray}\)

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ここで、\(a_1-b_1=0-1=-1\) より、

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数列 \(\{a_n-b_n\}\) は、初項 \(-1\)、公比 \(-1\) の等比数列となるので、

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\(\begin{eqnarray}~a_n-b_n&=&-1\cdot(-1)^{n-1}
\\[3pt]~a_n-b_n&=&(-1)^{n}~ ~ ~ \cdots {\small [\,4\,]}
\end{eqnarray}\)

 

\({\small (2)}~\)\({\small [\,3\,]}+{\small [\,4\,]}\) より、

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\(\begin{eqnarray}~
a_n+b_n&=&3^{n-1} \\
+\big{)}~~~~a_n-b_n&=&(-1)^{n}\\
\hline 2a_{n}&=&3^{n-1}+(-1)^{n}
\\[5pt] a_{n}&=&\displaystyle \frac{\,3^{n-1}+(-1)^{n}\,}{\,2\,}\end{eqnarray}\)

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また、\({\small [\,3\,]}-{\small [\,4\,]}\) より、

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\(\begin{eqnarray}~
a_n+b_n&=&3^{n-1} \\ ~~
-\big{)}~~~~a_n-b_n&=&(-1)^{n}\\
\hline 2b_{n}&=&3^{n-1}-(-1)^{n}
\\[5pt] b_{n}&=&\displaystyle \frac{\,3^{n-1}-(-1)^{n}\,}{\,2\,}\end{eqnarray}\)

東京書籍｜Advanced数学Ｂ[701] p.49 発展 問1

\({\small (1)}~\)\(a_1=4~,~b_1=-1\)

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\(~~~\left\{~\begin{array}{l}a_{n+1}=4a_n-2b_n~ ~ ~ \cdots {\small [\,1\,]}\\
b_{n+1}=-a_n+3b_n~ ~ ~ \cdots {\small [\,2\,]}
\end{array}\right.\)

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\({\small [\,1\,]}+\alpha\times{\small [\,2\,]}\) より、

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\(\begin{eqnarray}~~~a_{n+1}+\alpha b_{n+1}&=&4a_n-2b_n+\alpha(-a_n+3b_n)
\\[3pt]~~~&=&(4-\alpha)a_n+(-2+3\alpha)b_n\end{eqnarray}\)

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これが \(\beta(a_n+\alpha b_n)=\beta a_n+\alpha\beta b_n\) と等しいとき、

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\(\begin{eqnarray}~~~4-\alpha&=&\beta~ ~ ~ \cdots {\small [\,3\,]}
\\[3pt]~~~-2+3\alpha&=&\alpha\beta~ ~ ~ \cdots {\small [\,4\,]}\end{eqnarray}\)

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\({\small [\,3\,]}\) を \({\small [\,4\,]}\) に代入すると、

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\(\begin{eqnarray}~~~-2+3\alpha&=&\alpha(4-\alpha)
\\[3pt]~~~-2+3\alpha&=&4\alpha-\alpha^2
\\[3pt]~~~\alpha^2-\alpha-2&=&0
\\[3pt]~~~(\alpha-2)(\alpha+1)&=&0
\\[3pt]~~~\alpha&=&2~,~-1\end{eqnarray}\)

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\({\small [\,3\,]}\) より、

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\(\alpha=2\) のとき、\(\beta=4-2=2\)

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\(\alpha=-1\) のとき、\(\beta=4-(-1)=5\)

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したがって、\((\alpha~,~\beta)=(2~,~2)~,~(-1~,~5)\)

 

\({\small (2)}~\)\((\alpha~,~\beta)=(2~,~2)\) のとき、

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\(~~~a_{n+1}+2b_{n+1}=2(a_n+2b_n)\)

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ここで、\(a_1+2b_1=4+2\cdot(-1)=2\) より、

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数列 \(\{a_n+2b_n\}\) は、初項 \(2\)、公比 \(2\) の等比数列となるので、

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\(\begin{eqnarray}~a_n+2b_n&=&2\cdot2^{n-1}
\\[3pt]~a_n+2b_n&=&2^{n}~ ~ ~ \cdots {\small [\,5\,]}
\end{eqnarray}\)

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\((\alpha~,~\beta)=(-1~,~5)\) のとき、

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\(~~~a_{n+1}-b_{n+1}=5(a_n-b_n)\)

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ここで、\(a_1-b_1=4-(-1)=5\) より、

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数列 \(\{a_n-b_n\}\) は、初項 \(5\)、公比 \(5\) の等比数列となるので、

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\(\begin{eqnarray}~a_n-b_n&=&5\cdot5^{n-1}
\\[3pt]~a_n-b_n&=&5^{n}~ ~ ~ \cdots {\small [\,6\,]}
\end{eqnarray}\)

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よって、\({\small [\,5\,]}-{\small [\,6\,]}\) より、

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\(\begin{eqnarray}~
a_n+2b_n&=&2^{n} \\ ~~
-\big{)}~~~~a_n-b_n&=&5^{n}\\
\hline 3b_{n}&=&2^{n}-5^{n}
\\[5pt] b_{n}&=&\displaystyle \frac{\,2^{n}-5^{n}\,}{\,3\,}\end{eqnarray}\)

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また、\({\small [\,6\,]}\) より、

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\(\begin{eqnarray}~~~a_n&=&b_n+5^{n}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,2^{n}-5^{n}\,}{\,3\,}+5^{n}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,2^{n}-5^{n}+3\cdot5^{n}\,}{\,3\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,2^{n}+2\cdot5^{n}\,}{\,3\,}\end{eqnarray}\)

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したがって、

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　\(\displaystyle a_n=\frac{\,2^n+2\cdot5^n\,}{\,3\,}~,~\displaystyle b_n=\frac{\,2^n-5^n\,}{\,3\,}\)