- 数学B｜数列「隣接3項間漸化式にする連立漸化式」の基本例題解説ページです。
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問題｜隣接3項間漸化式にする連立漸化式
数列 61☆\(a_1=1 ~,~ b_1=2 ~,~\)\( a_{n+1}=a_n+2b_n ~,~\)\( b_{n+1}=2a_n+b_n\) を \(a_{n+2} ~,~ a_{n+1} ~,~ a_n\) の隣接3項間漸化式から一般項を求める解法は？
高校数学B｜数列
解法のPoint
隣接3項間漸化式にする連立漸化式
Point：隣接3項間漸化式にする連立漸化式
\(~~~a_1=1~,~b_1=2\)
\(~~~\left\{~\begin{array}{l}a_{n+1}=a_n+2b_n~ ~ ~ \cdots {\small [\,1\,]}\\
b_{n+1}=2a_n+b_n~ ~ ~ \cdots {\small [\,2\,]}
\end{array}\right.\)
① \(\small [\,1\,]\) より、\(2b_{n}\) の式と \(n \to n+1\) として \(2b_{n+1}\) の式をつくり、これと \(\small [\,1\,]\) を \(\small [\,2\,]\) に代入して、隣接3項間漸化式を立てる。
\({\small [\,1\,]}\) より、\(2b_n=a_{n+1}-a_n\)
\(n\to n+1\) とすると、\(2b_{n+1}=a_{n+2}-a_{n+1}\)
これらを \(\small [\,2\,]\) に代入して、
\(a_{n+2}-2a_{n+1}-3a_n=0\)
② 特性方程式を用いて、隣接3項間漸化式を解き、一般項 \(a_n\) を求める。
③ \(\small [\,1\,]\) の式に \(a_n\) と \(a_{n+1}\) を代入して、一般項 \(b_n\) を求める。
2つの数列 \(\{a_n\}~,~\{b_n\}\) についての2つの漸化式は、
\(~~~a_1=1~,~b_1=2\)
\(~~~\left\{~\begin{array}{l}a_{n+1}=a_n+2b_n~ ~ ~ \cdots {\small [\,1\,]}\\
b_{n+1}=2a_n+b_n~ ~ ~ \cdots {\small [\,2\,]}
\end{array}\right.\)
① \(\small [\,1\,]\) より、\(2b_{n}\) の式と \(n \to n+1\) として \(2b_{n+1}\) の式をつくり、これと \(\small [\,1\,]\) を \(\small [\,2\,]\) に代入して、隣接3項間漸化式を立てる。
\({\small [\,1\,]}\) より、\(2b_n=a_{n+1}-a_n\)
\(n\to n+1\) とすると、\(2b_{n+1}=a_{n+2}-a_{n+1}\)
これらを \(\small [\,2\,]\) に代入して、
\(a_{n+2}-2a_{n+1}-3a_n=0\)
② 特性方程式を用いて、隣接3項間漸化式を解き、一般項 \(a_n\) を求める。
③ \(\small [\,1\,]\) の式に \(a_n\) と \(a_{n+1}\) を代入して、一般項 \(b_n\) を求める。
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詳しい解説｜隣接3項間漸化式にする連立漸化式
数列 61☆
\(a_1=1 ~,~ b_1=2 ~,~\)\( a_{n+1}=a_n+2b_n ~,~\)\( b_{n+1}=2a_n+b_n\) を \(a_{n+2} ~,~ a_{n+1} ~,~ a_n\) の隣接3項間漸化式から一般項を求める解法は？
高校数学B｜数列
\(~~~a_1=1~,~b_1=2\)
\(~~~\left\{~\begin{array}{l}a_{n+1}=a_n+2b_n~ ~ ~ \cdots {\small [\,1\,]}\\
b_{n+1}=2a_n+b_n~ ~ ~ \cdots {\small [\,2\,]}
\end{array}\right.\)
\({\small [\,1\,]}\)より、\(2b_n=a_{n+1}-a_n\) となり、
\(n\to n+1\) とすると、
\(2b_{n+1}=a_{n+2}-a_{n+1}\)
また、\({\small [\,2\,]}{\, \small \times \,}2\) より、
\(2b_{n+1}=4a_n+2b_n\)
これに \(2b_{n+1}~,~2b_n\) を代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~a_{n+2}-a_{n+1}&=&4a_n+(a_{n+1}-a_n)
\\[3pt]~~~a_{n+2}-a_{n+1}&=&3a_n+a_{n+1}
\\[3pt]~~~a_{n+2}-2a_{n+1}-3a_n&=&0
\end{eqnarray}\)
さらに、\({\small [\,1\,]}\) より \(n=1\) のとき、
\(\begin{eqnarray}~~~a_2&=&a_1+2b_1
\\[3pt]~~~&=&1+2\cdot 2=5
\end{eqnarray}\)
したがって、隣接3項間漸化式
\(\begin{eqnarray}~~~a_{n+2}-2a_{n+1}-3a_n&=&0~,~a_1=1~,~a_2=5
\end{eqnarray}\)
となる
\(a_{n+2}=x^2~,~a_{n+1}=x~,~a_n=1\) とした特性方程式より、
\(\begin{eqnarray}~~~x^2-2x-3&=&0
\\[3pt]~~~(x+1)(x-3)&=&0
\\[3pt]~~~x&=&-1~,~3
\end{eqnarray}\)
\(\begin{eqnarray}~~~x^2-2x-3&=&0
\\[3pt]~~~(x+1)(x-3)&=&0
\\[3pt]~~~x&=&-1~,~3
\end{eqnarray}\)
式変形すると、
\(\begin{eqnarray}~~~a_{n+2}+a_{n+1}&=&3\,(a_{n+1}+a_n)~ ~ ~ \cdots {\small [\,3\,]}
\\[5pt]~~~a_{n+2}-3a_{n+1}&=&-1\cdot(a_{n+1}-3a_n)~ ~ ~ \cdots {\small [\,4\,]}
\end{eqnarray}\)
\({\small [\,3\,]}\) より、数列 \(\{\,a_{n+1}+a_n\,\}\) は、
初項 \(a_2+a_1=5+1=6\) で、公比 \(3\) の等比数列より、
\(\begin{eqnarray}~~~a_{n+1}+a_n&=&6\cdot 3^{n-1}
\\[3pt]~~~a_{n+1}+a_n&=&2\cdot 3\cdot 3^{n-1}
\\[3pt]~~~a_{n+1}+a_n&=&2\cdot 3^{n}~ ~ ~ \cdots {\small [\,5\,]}
\end{eqnarray}\)
\({\small [\,4\,]}\) より、数列 \(\{\,a_{n+1}-3a_n\,\}\) は、
初項 \(a_2-3a_1=5-3\cdot 1=2\) で、公比 \(-1\) の等比数列より、
\(\begin{eqnarray}~~~a_{n+1}-3a_n&=&2\cdot(-1)^{n-1}~ ~ ~ \cdots {\small [\,6\,]}
\end{eqnarray}\)
\({\small [\,5\,]}-{\small [\,6\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~~~
a_{n+1}+a_n&=&2\cdot 3^{n} \\~~
-\big{)}~~a_{n+1}-3a_n&=&2\cdot(-1)^{n-1}\\
\hline 4a_n&=&2\cdot 3^{n}-2\cdot(-1)^{n-1}
\\[5pt] a_n&=&\displaystyle \frac{\,3^{n}+(-1)^{n}\,}{\,2\,}\end{eqnarray}\)
ここで、\(n\to n+1\) とすると、
\(a_{n+1}=\displaystyle \frac{\,3^{n+1}+(-1)^{n+1}\,}{\,2\,}\)
\({\small [\,1\,]}\) より \(2b_n=a_{n+1}-a_n\) となるので、
\(\begin{eqnarray}~~~2b_n&=&\displaystyle \frac{\,3^{n+1}+(-1)^{n+1}\,}{\,2\,}-\frac{\,3^{n}+(-1)^{n}\,}{\,2\,}
\\[5pt]~~~2b_n&=&\displaystyle \frac{\,3^{n+1}-3^{n}+(-1)^{n+1}-(-1)^{n}\,}{\,2\,}
\\[5pt]~~~2b_n&=&\displaystyle \frac{\,3^{n}(3-1)+(-1)^{n}\left\{\,(-1)-1\,\right\}\,}{\,2\,}
\\[5pt]~~~2b_n&=&\displaystyle \frac{\,2\cdot 3^{n}-2\cdot(-1)^{n}\,}{\,2\,}
\\[5pt]~~~b_n&=&\displaystyle \frac{\,3^{n}-(-1)^{n}\,}{\,2\,}
\end{eqnarray}\)
したがって、
\(\displaystyle a_n=\frac{\,3^n+(-1)^n\,}{\,2\,}~,~\displaystyle b_n=\frac{\,3^n-(-1)^n\,}{\,2\,}\)
