このページは、「数学的帰納法を用いる等式の証明」の練習問題アーカイブページとなります。
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数学的帰納法を用いる等式の証明 で確認できます。
問題アーカイブ01
問題アーカイブ01数学的帰納法によって、次の等式を証明せよ。
① \(1+2+2^2+\cdots+2^{n-1}=2^n-1\)
② \(1^2+2^2+3^2+\cdots+n^2\)
\(\hspace{80pt}=\displaystyle\frac{\,1\,}{\,6\,}n(n+1)(2n+1)\)
① \(1+2+2^2+\cdots+2^{n-1}=2^n-1\)
② \(1^2+2^2+3^2+\cdots+n^2\)
\(\hspace{80pt}=\displaystyle\frac{\,1\,}{\,6\,}n(n+1)(2n+1)\)
数研出版｜数学Ｂ[710] p.44 練習42
① [証明] すべての自然数 \(n\) について、
\(1+2+2^2+\cdots+2^{n-1}=2^n-1~ ~ ~ \cdots {\small [\,1\,]}\)
\({\small (1)}~\) \(n=1\) のとき、
\(\small [\,1\,]\) の左辺は \(1\)、右辺は \(2^1-1=1\)
よって、\(\small [\,1\,]\) が成り立つ
\({\small (2)}~\) \(n=k\) のとき \(\small [\,1\,]\) が成り立つと仮定すると、
\(1+2+2^2+\cdots+2^{k-1}=2^k-1~ ~ ~ \cdots {\small [\,2\,]}\)
ここで、\(n=k+1\) のときの \(\small [\,1\,]\) の左辺は、
\(\begin{eqnarray}~~~&&1+2+2^2+\cdots+2^{k-1}+2^{(k+1)-1}
\\[3pt]~~~&=&(2^k-1)+2^k \hspace{30pt}(\,∵~ {\small [\,2\,]}\,)
\\[3pt]~~~&=&2\cdot 2^k-1
\\[3pt]~~~&=&2^{k+1}-1
\end{eqnarray}\)
\\[3pt]~~~&=&(2^k-1)+2^k \hspace{30pt}(\,∵~ {\small [\,2\,]}\,)
\\[3pt]~~~&=&2\cdot 2^k-1
\\[3pt]~~~&=&2^{k+1}-1
\end{eqnarray}\)
これは、\(n=k+1\) のときの \(\small [\,1\,]\) の右辺となるので、\(\small [\,1\,]\) は \(n=k+1\) のときも成り立つ
\({\small (1)}~,~{\small (2)}\) より、すべての自然数 \(n\) について \(\small [\,1\,]\) が成り立つ [終]
② [証明] すべての自然数 \(n\) について、
\(1^2+2^2+3^2+\cdots+n^2=\displaystyle\frac{\,1\,}{\,6\,}n(n+1)(2n+1)~ ~ ~ \cdots {\small [\,1\,]}\)
\({\small (1)}~\) \(n=1\) のとき、
\(\small [\,1\,]\) の左辺は \(1^2=1\)、右辺は \(\displaystyle\frac{\,1\,}{\,6\,}\cdot 1\cdot 2\cdot 3=1\)
よって、\(\small [\,1\,]\) が成り立つ
\({\small (2)}~\) \(n=k\) のとき \(\small [\,1\,]\) が成り立つと仮定すると、
\(1^2+2^2+3^2+\cdots+k^2=\displaystyle\frac{\,1\,}{\,6\,}k(k+1)(2k+1)~ ~ ~ \cdots {\small [\,2\,]}\)
ここで、\(n=k+1\) のときの \(\small [\,1\,]\) の左辺は、
\(\begin{eqnarray}~~~&&1^2+2^2+3^2+\cdots+k^2+(k+1)^2
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,1\,}{\,6\,}k(k+1)(2k+1)+(k+1)^2 \hspace{30pt}(\,∵~ {\small [\,2\,]}\,)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,1\,}{\,6\,}(k+1)\left\{\,k(2k+1)+6(k+1)\,\right\}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,1\,}{\,6\,}(k+1)(2k^2+7k+6)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,1\,}{\,6\,}(k+1)(k+2)(2k+3)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,1\,}{\,6\,}(k+1)\left\{\,(k+1)+1\,\right\}\left\{\,2(k+1)+1\,\right\}
\end{eqnarray}\)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,1\,}{\,6\,}k(k+1)(2k+1)+(k+1)^2 \hspace{30pt}(\,∵~ {\small [\,2\,]}\,)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,1\,}{\,6\,}(k+1)\left\{\,k(2k+1)+6(k+1)\,\right\}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,1\,}{\,6\,}(k+1)(2k^2+7k+6)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,1\,}{\,6\,}(k+1)(k+2)(2k+3)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,1\,}{\,6\,}(k+1)\left\{\,(k+1)+1\,\right\}\left\{\,2(k+1)+1\,\right\}
\end{eqnarray}\)
これは、\(n=k+1\) のときの \(\small [\,1\,]\) の右辺となるので、\(\small [\,1\,]\) は \(n=k+1\) のときも成り立つ
\({\small (1)}~,~{\small (2)}\) より、すべての自然数 \(n\) について \(\small [\,1\,]\) が成り立つ [終]
問題アーカイブ02
問題アーカイブ02数学的帰納法を用いて、次の等式を証明せよ。
① \(1+3+5+\cdots+(2n-1)=n^2\)
② \(1\cdot 2+2\cdot 3+3\cdot 4+\cdots+n(n+1)\)
\(\hspace{80pt}=\displaystyle\frac{\,1\,}{\,3\,}n(n+1)(n+2)\)
① \(1+3+5+\cdots+(2n-1)=n^2\)
② \(1\cdot 2+2\cdot 3+3\cdot 4+\cdots+n(n+1)\)
\(\hspace{80pt}=\displaystyle\frac{\,1\,}{\,3\,}n(n+1)(n+2)\)
数研出版｜高等学校数学Ｂ[711] p.44 練習41
数研出版｜新編数学Ｂ[712] p.41 練習43
① [証明] すべての自然数 \(n\) について、
\(1+3+5+\cdots+(2n-1)=n^2~ ~ ~ \cdots {\small [\,1\,]}\)
\({\small (1)}~\) \(n=1\) のとき、
\(\small [\,1\,]\) の左辺は \(1\)、右辺は \(1^2=1\)
よって、\(\small [\,1\,]\) が成り立つ
\({\small (2)}~\) \(n=k\) のとき \(\small [\,1\,]\) が成り立つと仮定すると、
\(1+3+5+\cdots+(2k-1)=k^2~ ~ ~ \cdots {\small [\,2\,]}\)
ここで、\(n=k+1\) のときの \(\small [\,1\,]\) の左辺は、
\(\begin{eqnarray}~~~&&1+3+5+\cdots+(2k-1)+\{\,2(k+1)-1\,\}
\\[3pt]~~~&=&k^2+(2k+2-1) \hspace{30pt}(\,∵~ {\small [\,2\,]}\,)
\\[3pt]~~~&=&k^2+2k+1
\\[3pt]~~~&=&(k+1)^2
\end{eqnarray}\)
\\[3pt]~~~&=&k^2+(2k+2-1) \hspace{30pt}(\,∵~ {\small [\,2\,]}\,)
\\[3pt]~~~&=&k^2+2k+1
\\[3pt]~~~&=&(k+1)^2
\end{eqnarray}\)
これは、\(n=k+1\) のときの \(\small [\,1\,]\) の右辺となるので、\(\small [\,1\,]\) は \(n=k+1\) のときも成り立つ
\({\small (1)}~,~{\small (2)}\) より、すべての自然数 \(n\) について \(\small [\,1\,]\) が成り立つ [終]
② [証明] すべての自然数 \(n\) について、
\(1\cdot 2+2\cdot 3+3\cdot 4+\cdots+n(n+1)=\displaystyle\frac{\,1\,}{\,3\,}n(n+1)(n+2)~ ~ ~ \cdots {\small [\,1\,]}\)
\({\small (1)}~\) \(n=1\) のとき、
\(\small [\,1\,]\) の左辺は \(1\cdot 2=2\)、右辺は \(\displaystyle\frac{\,1\,}{\,3\,}\cdot 1\cdot 2\cdot 3=2\)
よって、\(\small [\,1\,]\) が成り立つ
\({\small (2)}~\) \(n=k\) のとき \(\small [\,1\,]\) が成り立つと仮定すると、
\(1\cdot 2+2\cdot 3+3\cdot 4+\cdots+k(k+1)=\displaystyle\frac{\,1\,}{\,3\,}k(k+1)(k+2)~ ~ ~ \cdots {\small [\,2\,]}\)
ここで、\(n=k+1\) のときの \(\small [\,1\,]\) の左辺は、
\(\begin{eqnarray}~~~&&1\cdot 2+2\cdot 3+3\cdot 4+\cdots+k(k+1)+(k+1)(k+2)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,1\,}{\,3\,}k(k+1)(k+2)+(k+1)(k+2) \hspace{30pt}(\,∵~ {\small [\,2\,]}\,)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,1\,}{\,3\,}(k+1)(k+2)\left\{\,k+3\,\right\}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,1\,}{\,3\,}(k+1)(k+2)(k+3)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,1\,}{\,3\,}(k+1)\left\{\,(k+1)+1\,\right\}\left\{\,(k+1)+2\,\right\}
\end{eqnarray}\)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,1\,}{\,3\,}k(k+1)(k+2)+(k+1)(k+2) \hspace{30pt}(\,∵~ {\small [\,2\,]}\,)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,1\,}{\,3\,}(k+1)(k+2)\left\{\,k+3\,\right\}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,1\,}{\,3\,}(k+1)(k+2)(k+3)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,1\,}{\,3\,}(k+1)\left\{\,(k+1)+1\,\right\}\left\{\,(k+1)+2\,\right\}
\end{eqnarray}\)
これは、\(n=k+1\) のときの \(\small [\,1\,]\) の右辺となるので、\(\small [\,1\,]\) は \(n=k+1\) のときも成り立つ
\({\small (1)}~,~{\small (2)}\) より、すべての自然数 \(n\) について \(\small [\,1\,]\) が成り立つ [終]
問題アーカイブ03
問題アーカイブ03次の等式を数学的帰納法を用いて証明せよ。
\(1\cdot 1!+2\cdot 2!+3\cdot 3!+\cdots+n\cdot n!\)
\(\hspace{90pt}=(n+1)!-1\)
\(1\cdot 1!+2\cdot 2!+3\cdot 3!+\cdots+n\cdot n!\)
\(\hspace{90pt}=(n+1)!-1\)
数研出版｜高等学校数学Ｂ[711] p.48 問題 18(1)
[証明] すべての自然数 \(n\) について、
\(1\cdot 1!+2\cdot 2!+3\cdot 3!+\cdots+n\cdot n!=(n+1)!-1~ ~ ~ \cdots {\small [\,1\,]}\)
\({\small (1)}~\) \(n=1\) のとき、
\(\small [\,1\,]\) の左辺は \(1\cdot 1!=1\)、右辺は \(2!-1=2-1=1\)
よって、\(\small [\,1\,]\) が成り立つ
\({\small (2)}~\) \(n=k\) のとき \(\small [\,1\,]\) が成り立つと仮定すると、
\(1\cdot 1!+2\cdot 2!+3\cdot 3!+\cdots+k\cdot k!=(k+1)!-1~ ~ ~ \cdots {\small [\,2\,]}\)
ここで、\(n=k+1\) のときの \(\small [\,1\,]\) の左辺は、
\(\begin{eqnarray}~~~&&1\cdot 1!+2\cdot 2!+3\cdot 3!+\cdots+k\cdot k!+(k+1)\cdot (k+1)!
\\[3pt]~~~&=&(k+1)!-1+(k+1)\cdot (k+1)! \hspace{30pt}(\,∵~ {\small [\,2\,]}\,)
\\[3pt]~~~&=&(k+1)!\left\{\,1+(k+1)\,\right\}-1
\\[3pt]~~~&=&(k+2)\cdot (k+1)!-1
\\[3pt]~~~&=&(k+2)!-1
\end{eqnarray}\)
\\[3pt]~~~&=&(k+1)!-1+(k+1)\cdot (k+1)! \hspace{30pt}(\,∵~ {\small [\,2\,]}\,)
\\[3pt]~~~&=&(k+1)!\left\{\,1+(k+1)\,\right\}-1
\\[3pt]~~~&=&(k+2)\cdot (k+1)!-1
\\[3pt]~~~&=&(k+2)!-1
\end{eqnarray}\)
これは、\(n=k+1\) のときの \(\small [\,1\,]\) の右辺となるので、\(\small [\,1\,]\) は \(n=k+1\) のときも成り立つ
\({\small (1)}~,~{\small (2)}\) より、すべての自然数 \(n\) について \(\small [\,1\,]\) が成り立つ [終]
問題アーカイブ04
問題アーカイブ04\(n\) を自然数とするとき、数学的帰納法を用いて、次の等式を証明せよ。
① \(1\cdot 2+2\cdot 3+3\cdot 4+\cdots+n(n+1)\)
\(\hspace{80pt}=\displaystyle\frac{\,1\,}{\,3\,}n(n+1)(n+2)\)
② \(1^2+2^2+3^2+\cdots+n^2\)
\(\hspace{80pt}=\displaystyle\frac{\,1\,}{\,6\,}n(n+1)(2n+1)\)
① \(1\cdot 2+2\cdot 3+3\cdot 4+\cdots+n(n+1)\)
\(\hspace{80pt}=\displaystyle\frac{\,1\,}{\,3\,}n(n+1)(n+2)\)
② \(1^2+2^2+3^2+\cdots+n^2\)
\(\hspace{80pt}=\displaystyle\frac{\,1\,}{\,6\,}n(n+1)(2n+1)\)
東京書籍｜Advanced数学Ｂ[701] p.37 問6
① [証明] すべての自然数 \(n\) について、
\(1\cdot 2+2\cdot 3+3\cdot 4+\cdots+n(n+1)=\displaystyle\frac{\,1\,}{\,3\,}n(n+1)(n+2)~ ~ ~ \cdots {\small [\,1\,]}\)
\({\small (1)}~\) \(n=1\) のとき、
\(\small [\,1\,]\) の左辺は \(1\cdot 2=2\)、右辺は \(\displaystyle\frac{\,1\,}{\,3\,}\cdot 1\cdot 2\cdot 3=2\)
よって、\(\small [\,1\,]\) が成り立つ
\({\small (2)}~\) \(n=k\) のとき \(\small [\,1\,]\) が成り立つと仮定すると、
\(1\cdot 2+2\cdot 3+3\cdot 4+\cdots+k(k+1)=\displaystyle\frac{\,1\,}{\,3\,}k(k+1)(k+2)~ ~ ~ \cdots {\small [\,2\,]}\)
ここで、\(n=k+1\) のときの \(\small [\,1\,]\) の左辺は、
\(\begin{eqnarray}~~~&&1\cdot 2+2\cdot 3+3\cdot 4+\cdots+k(k+1)+(k+1)(k+2)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,1\,}{\,3\,}k(k+1)(k+2)+(k+1)(k+2) \hspace{30pt}(\,∵~ {\small [\,2\,]}\,)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,1\,}{\,3\,}(k+1)(k+2)\left\{\,k+3\,\right\}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,1\,}{\,3\,}(k+1)(k+2)(k+3)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,1\,}{\,3\,}(k+1)\left\{\,(k+1)+1\,\right\}\left\{\,(k+1)+2\,\right\}
\end{eqnarray}\)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,1\,}{\,3\,}k(k+1)(k+2)+(k+1)(k+2) \hspace{30pt}(\,∵~ {\small [\,2\,]}\,)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,1\,}{\,3\,}(k+1)(k+2)\left\{\,k+3\,\right\}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,1\,}{\,3\,}(k+1)(k+2)(k+3)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,1\,}{\,3\,}(k+1)\left\{\,(k+1)+1\,\right\}\left\{\,(k+1)+2\,\right\}
\end{eqnarray}\)
これは、\(n=k+1\) のときの \(\small [\,1\,]\) の右辺となるので、\(\small [\,1\,]\) は \(n=k+1\) のときも成り立つ
\({\small (1)}~,~{\small (2)}\) より、すべての自然数 \(n\) について \(\small [\,1\,]\) が成り立つ [終]
② [証明] すべての自然数 \(n\) について、
\(1^2+2^2+3^2+\cdots+n^2=\displaystyle\frac{\,1\,}{\,6\,}n(n+1)(2n+1)~ ~ ~ \cdots {\small [\,1\,]}\)
\({\small (1)}~\) \(n=1\) のとき、
\(\small [\,1\,]\) の左辺は \(1^2=1\)、右辺は \(\displaystyle\frac{\,1\,}{\,6\,}\cdot 1\cdot 2\cdot 3=1\)
よって、\(\small [\,1\,]\) が成り立つ
\({\small (2)}~\) \(n=k\) のとき \(\small [\,1\,]\) が成り立つと仮定すると、
\(1^2+2^2+3^2+\cdots+k^2=\displaystyle\frac{\,1\,}{\,6\,}k(k+1)(2k+1)~ ~ ~ \cdots {\small [\,2\,]}\)
ここで、\(n=k+1\) のときの \(\small [\,1\,]\) の左辺は、
\(\begin{eqnarray}~~~&&1^2+2^2+3^2+\cdots+k^2+(k+1)^2
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,1\,}{\,6\,}k(k+1)(2k+1)+(k+1)^2 \hspace{30pt}(\,∵~ {\small [\,2\,]}\,)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,1\,}{\,6\,}(k+1)\left\{\,k(2k+1)+6(k+1)\,\right\}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,1\,}{\,6\,}(k+1)(2k^2+7k+6)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,1\,}{\,6\,}(k+1)(k+2)(2k+3)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,1\,}{\,6\,}(k+1)\left\{\,(k+1)+1\,\right\}\left\{\,2(k+1)+1\,\right\}
\end{eqnarray}\)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,1\,}{\,6\,}k(k+1)(2k+1)+(k+1)^2 \hspace{30pt}(\,∵~ {\small [\,2\,]}\,)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,1\,}{\,6\,}(k+1)\left\{\,k(2k+1)+6(k+1)\,\right\}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,1\,}{\,6\,}(k+1)(2k^2+7k+6)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,1\,}{\,6\,}(k+1)(k+2)(2k+3)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,1\,}{\,6\,}(k+1)\left\{\,(k+1)+1\,\right\}\left\{\,2(k+1)+1\,\right\}
\end{eqnarray}\)
これは、\(n=k+1\) のときの \(\small [\,1\,]\) の右辺となるので、\(\small [\,1\,]\) は \(n=k+1\) のときも成り立つ
\({\small (1)}~,~{\small (2)}\) より、すべての自然数 \(n\) について \(\small [\,1\,]\) が成り立つ [終]
問題アーカイブ05
問題アーカイブ05\(n\) を自然数とするとき、数学的帰納法を用いて、次の等式を証明せよ。
\(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,1\cdot 3\,}+\frac{\,1\,}{\,3\cdot 5\,}+\frac{\,1\,}{\,5\cdot 7\,}+\)
\(\hspace{30pt}\displaystyle \cdots+\frac{\,1\,}{\,(2n-1)(2n+1)\,}=\frac{\,n\,}{\,2n+1\,}\)
\(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,1\cdot 3\,}+\frac{\,1\,}{\,3\cdot 5\,}+\frac{\,1\,}{\,5\cdot 7\,}+\)
\(\hspace{30pt}\displaystyle \cdots+\frac{\,1\,}{\,(2n-1)(2n+1)\,}=\frac{\,n\,}{\,2n+1\,}\)
東京書籍｜Advanced数学Ｂ[701] p.41 問題 13
[証明] すべての自然数 \(n\) について、
\(\displaystyle\frac{\,1\,}{\,1\cdot 3\,}+\frac{\,1\,}{\,3\cdot 5\,}+\frac{\,1\,}{\,5\cdot 7\,}+\cdots+\frac{\,1\,}{\,(2n-1)(2n+1)\,}=\frac{\,n\,}{\,2n+1\,}~ ~ ~ \cdots {\small [\,1\,]}\)
\({\small (1)}~\) \(n=1\) のとき、
\(\small [\,1\,]\) の左辺は \(\displaystyle\frac{\,1\,}{\,1\cdot 3\,}=\frac{\,1\,}{\,3\,}\)、右辺は \(\displaystyle\frac{\,1\,}{\,2\cdot 1+1\,}=\frac{\,1\,}{\,3\,}\)
よって、\(\small [\,1\,]\) が成り立つ
\({\small (2)}~\) \(n=k\) のとき \(\small [\,1\,]\) が成り立つと仮定すると、
\(\displaystyle\frac{\,1\,}{\,1\cdot 3\,}+\frac{\,1\,}{\,3\cdot 5\,}+\frac{\,1\,}{\,5\cdot 7\,}+\cdots+\frac{\,1\,}{\,(2k-1)(2k+1)\,}=\frac{\,k\,}{\,2k+1\,}~ ~ ~ \cdots {\small [\,2\,]}\)
ここで、\(n=k+1\) のときの \(\small [\,1\,]\) の左辺は、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle\frac{\,1\,}{\,1\cdot 3\,}+\frac{\,1\,}{\,3\cdot 5\,}+\cdots+\frac{\,1\,}{\,(2k-1)(2k+1)\,}+\frac{\,1\,}{\,\{\,2(k+1)-1\,\}\{\,2(k+1)+1\,\}\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,k\,}{\,2k+1\,}+\frac{\,1\,}{\,(2k+1)(2k+3)\,} \hspace{30pt}(\,∵~ {\small [\,2\,]}\,)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,k(2k+3)+1\,}{\,(2k+1)(2k+3)\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,2k^2+3k+1\,}{\,(2k+1)(2k+3)\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,(2k+1)(k+1)\,}{\,(2k+1)(2k+3)\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,k+1\,}{\,2k+3\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,k+1\,}{\,2(k+1)+1\,}
\end{eqnarray}\)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,k\,}{\,2k+1\,}+\frac{\,1\,}{\,(2k+1)(2k+3)\,} \hspace{30pt}(\,∵~ {\small [\,2\,]}\,)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,k(2k+3)+1\,}{\,(2k+1)(2k+3)\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,2k^2+3k+1\,}{\,(2k+1)(2k+3)\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,(2k+1)(k+1)\,}{\,(2k+1)(2k+3)\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,k+1\,}{\,2k+3\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,k+1\,}{\,2(k+1)+1\,}
\end{eqnarray}\)
これは、\(n=k+1\) のときの \(\small [\,1\,]\) の右辺となるので、\(\small [\,1\,]\) は \(n=k+1\) のときも成り立つ
\({\small (1)}~,~{\small (2)}\) より、すべての自然数 \(n\) について \(\small [\,1\,]\) が成り立つ [終]
問題アーカイブ06
問題アーカイブ06\(n\) を \(3\) 以上の自然数とするとき、\(n\) 角形の内角の和は \((n-2)\cdot 180°\) である。このことが、円周上の異なる \(n\) 個の点を頂点とする \(n\) 角形について成り立つことを、数学的帰納法を用いて証明せよ。ただし、三角形の内角の和が \(180°\) であることは用いてよい。
東京書籍｜Advanced数学Ｂ[701] p.41 問題 16
[証明] \(3\) 以上のすべての自然数 \(n\) について、
\(n\) 角形の内角の和は \((n-2)\cdot 180°~ ~ ~ \cdots {\small [\,1\,]}\)
\({\small (1)}~\) \(n=3\) のとき、
\({\small [\,1\,]}\) の左辺は三角形の内角の和で \(180°\)
右辺は \((3-2)\cdot 180°=180°\)
よって、\({\small [\,1\,]}\) が成り立つ
\({\small (2)}~\) \(n=k\) （\(k\) は \(3\) 以上の自然数）のとき \({\small [\,1\,]}\) が成り立つと仮定すると、
\(k\) 角形の内角の和は \((k-2)\cdot 180°~ ~ ~ \cdots {\small [\,2\,]}\)
ここで、\(n=k+1\) のとき、円周上に \(k+1\) 個の頂点 \({\rm A}_1\,,\,{\rm A}_2\,,\,\cdots\,,\,{\rm A}_k\,,\,{\rm A}_{k+1}\) をとる
\(k+1\) 角形は、\(k\) 角形 \({\rm A}_1{\rm A}_2\cdots {\rm A}_k\) と三角形 \({\rm A}_1{\rm A}_k{\rm A}_{k+1}\) に分けられる
よって、\(k+1\) 角形の内角の和は、
\(\begin{eqnarray}~~~&&(k-2)\cdot 180°+180° \hspace{30pt}(\,∵~ {\small [\,2\,]}\,)
\\[3pt]~~~&=&(k-2+1)\cdot 180°
\\[3pt]~~~&=&(k-1)\cdot 180°
\\[3pt]~~~&=&\{\,(k+1)-2\,\}\cdot 180°
\end{eqnarray}\)
\\[3pt]~~~&=&(k-2+1)\cdot 180°
\\[3pt]~~~&=&(k-1)\cdot 180°
\\[3pt]~~~&=&\{\,(k+1)-2\,\}\cdot 180°
\end{eqnarray}\)
これは、\(n=k+1\) のときの \({\small [\,1\,]}\) の右辺となるので、\({\small [\,1\,]}\) は \(n=k+1\) のときも成り立つ
\({\small (1)}~,~{\small (2)}\) より、\(3\) 以上のすべての自然数 \(n\) について \({\small [\,1\,]}\) が成り立つ [終]
問題アーカイブ07
問題アーカイブ07\(n\) を自然数とするとき、次の等式が成り立つことを、数学的帰納法を用いて証明せよ。
① \(1+2+3+\cdots+n=\displaystyle\frac{\,1\,}{\,2\,}n(n+1)\)
② \(1\cdot 2+2\cdot 3+3\cdot 4+\cdots+n(n+1)\)
\(\hspace{80pt}=\displaystyle\frac{\,1\,}{\,3\,}n(n+1)(n+2)\)
① \(1+2+3+\cdots+n=\displaystyle\frac{\,1\,}{\,2\,}n(n+1)\)
② \(1\cdot 2+2\cdot 3+3\cdot 4+\cdots+n(n+1)\)
\(\hspace{80pt}=\displaystyle\frac{\,1\,}{\,3\,}n(n+1)(n+2)\)
東京書籍｜Standard数学Ｂ[702] p.49 問7
① [証明] すべての自然数 \(n\) について、
\(1+2+3+\cdots+n=\displaystyle\frac{\,1\,}{\,2\,}n(n+1)~ ~ ~ \cdots {\small [\,1\,]}\)
\({\small (1)}~\) \(n=1\) のとき、
\(\small [\,1\,]\) の左辺は \(1\)、右辺は \(\displaystyle\frac{\,1\,}{\,2\,}\cdot 1\cdot 2=1\)
よって、\(\small [\,1\,]\) が成り立つ
\({\small (2)}~\) \(n=k\) のとき \(\small [\,1\,]\) が成り立つと仮定すると、
\(1+2+3+\cdots+k=\displaystyle\frac{\,1\,}{\,2\,}k(k+1)~ ~ ~ \cdots {\small [\,2\,]}\)
ここで、\(n=k+1\) のときの \(\small [\,1\,]\) の左辺は、
\(\begin{eqnarray}~~~&&1+2+3+\cdots+k+(k+1)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,1\,}{\,2\,}k(k+1)+(k+1) \hspace{30pt}(\,∵~ {\small [\,2\,]}\,)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,1\,}{\,2\,}(k+1)\left\{\,k+2\,\right\}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,1\,}{\,2\,}(k+1)(k+2)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,1\,}{\,2\,}(k+1)\left\{\,(k+1)+1\,\right\}
\end{eqnarray}\)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,1\,}{\,2\,}k(k+1)+(k+1) \hspace{30pt}(\,∵~ {\small [\,2\,]}\,)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,1\,}{\,2\,}(k+1)\left\{\,k+2\,\right\}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,1\,}{\,2\,}(k+1)(k+2)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,1\,}{\,2\,}(k+1)\left\{\,(k+1)+1\,\right\}
\end{eqnarray}\)
これは、\(n=k+1\) のときの \(\small [\,1\,]\) の右辺となるので、\(\small [\,1\,]\) は \(n=k+1\) のときも成り立つ
\({\small (1)}~,~{\small (2)}\) より、すべての自然数 \(n\) について \(\small [\,1\,]\) が成り立つ [終]
② [証明] すべての自然数 \(n\) について、
\(1\cdot 2+2\cdot 3+3\cdot 4+\cdots+n(n+1)=\displaystyle\frac{\,1\,}{\,3\,}n(n+1)(n+2)~ ~ ~ \cdots {\small [\,1\,]}\)
\({\small (1)}~\) \(n=1\) のとき、
\(\small [\,1\,]\) の左辺は \(1\cdot 2=2\)、右辺は \(\displaystyle\frac{\,1\,}{\,3\,}\cdot 1\cdot 2\cdot 3=2\)
よって、\(\small [\,1\,]\) が成り立つ
\({\small (2)}~\) \(n=k\) のとき \(\small [\,1\,]\) が成り立つと仮定すると、
\(1\cdot 2+2\cdot 3+3\cdot 4+\cdots+k(k+1)=\displaystyle\frac{\,1\,}{\,3\,}k(k+1)(k+2)~ ~ ~ \cdots {\small [\,2\,]}\)
ここで、\(n=k+1\) のときの \(\small [\,1\,]\) の左辺は、
\(\begin{eqnarray}~~~&&1\cdot 2+2\cdot 3+3\cdot 4+\cdots+k(k+1)+(k+1)(k+2)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,1\,}{\,3\,}k(k+1)(k+2)+(k+1)(k+2) \hspace{30pt}(\,∵~ {\small [\,2\,]}\,)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,1\,}{\,3\,}(k+1)(k+2)\left\{\,k+3\,\right\}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,1\,}{\,3\,}(k+1)(k+2)(k+3)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,1\,}{\,3\,}(k+1)\left\{\,(k+1)+1\,\right\}\left\{\,(k+1)+2\,\right\}
\end{eqnarray}\)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,1\,}{\,3\,}k(k+1)(k+2)+(k+1)(k+2) \hspace{30pt}(\,∵~ {\small [\,2\,]}\,)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,1\,}{\,3\,}(k+1)(k+2)\left\{\,k+3\,\right\}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,1\,}{\,3\,}(k+1)(k+2)(k+3)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,1\,}{\,3\,}(k+1)\left\{\,(k+1)+1\,\right\}\left\{\,(k+1)+2\,\right\}
\end{eqnarray}\)
これは、\(n=k+1\) のときの \(\small [\,1\,]\) の右辺となるので、\(\small [\,1\,]\) は \(n=k+1\) のときも成り立つ
\({\small (1)}~,~{\small (2)}\) より、すべての自然数 \(n\) について \(\small [\,1\,]\) が成り立つ [終]
問題アーカイブ08
問題アーカイブ08\(n\) を自然数とするとき、次の等式が成り立つことを、数学的帰納法を用いて証明せよ。
① \(1^2+2^2+3^2+\cdots+n^2\)
\(\hspace{70pt}=\displaystyle\frac{\,1\,}{\,6\,}n(n+1)(2n+1)\)
② \(1^2+3^2+5^2+\cdots+(2n-1)^2\)
\(\hspace{70pt}=\displaystyle\frac{\,1\,}{\,3\,}n(2n+1)(2n-1)\)
③ \(1^3+2^3+3^3+\cdots+n^3\)
\(\hspace{70pt}=\displaystyle\frac{\,1\,}{\,4\,}n^2(n+1)^2\)
① \(1^2+2^2+3^2+\cdots+n^2\)
\(\hspace{70pt}=\displaystyle\frac{\,1\,}{\,6\,}n(n+1)(2n+1)\)
② \(1^2+3^2+5^2+\cdots+(2n-1)^2\)
\(\hspace{70pt}=\displaystyle\frac{\,1\,}{\,3\,}n(2n+1)(2n-1)\)
③ \(1^3+2^3+3^3+\cdots+n^3\)
\(\hspace{70pt}=\displaystyle\frac{\,1\,}{\,4\,}n^2(n+1)^2\)
東京書籍｜Standard数学Ｂ[702] p.52 Training 24
① [証明] すべての自然数 \(n\) について、
\(1^2+2^2+3^2+\cdots+n^2=\displaystyle\frac{\,1\,}{\,6\,}n(n+1)(2n+1)~ ~ ~ \cdots {\small [\,1\,]}\)
\({\small (1)}~\) \(n=1\) のとき、
\(\small [\,1\,]\) の左辺は \(1^2=1\)、右辺は \(\displaystyle\frac{\,1\,}{\,6\,}\cdot 1\cdot 2\cdot 3=1\)
よって、\(\small [\,1\,]\) が成り立つ
\({\small (2)}~\) \(n=k\) のとき \(\small [\,1\,]\) が成り立つと仮定すると、
\(1^2+2^2+3^2+\cdots+k^2=\displaystyle\frac{\,1\,}{\,6\,}k(k+1)(2k+1)~ ~ ~ \cdots {\small [\,2\,]}\)
ここで、\(n=k+1\) のときの \(\small [\,1\,]\) の左辺は、
\(\begin{eqnarray}~~~&&1^2+2^2+3^2+\cdots+k^2+(k+1)^2
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,1\,}{\,6\,}k(k+1)(2k+1)+(k+1)^2 \hspace{30pt}(\,∵~ {\small [\,2\,]}\,)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,1\,}{\,6\,}(k+1)\left\{\,k(2k+1)+6(k+1)\,\right\}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,1\,}{\,6\,}(k+1)(2k^2+7k+6)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,1\,}{\,6\,}(k+1)(k+2)(2k+3)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,1\,}{\,6\,}(k+1)\left\{\,(k+1)+1\,\right\}\left\{\,2(k+1)+1\,\right\}
\end{eqnarray}\)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,1\,}{\,6\,}k(k+1)(2k+1)+(k+1)^2 \hspace{30pt}(\,∵~ {\small [\,2\,]}\,)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,1\,}{\,6\,}(k+1)\left\{\,k(2k+1)+6(k+1)\,\right\}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,1\,}{\,6\,}(k+1)(2k^2+7k+6)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,1\,}{\,6\,}(k+1)(k+2)(2k+3)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,1\,}{\,6\,}(k+1)\left\{\,(k+1)+1\,\right\}\left\{\,2(k+1)+1\,\right\}
\end{eqnarray}\)
これは、\(n=k+1\) のときの \(\small [\,1\,]\) の右辺となるので、\(\small [\,1\,]\) は \(n=k+1\) のときも成り立つ
\({\small (1)}~,~{\small (2)}\) より、すべての自然数 \(n\) について \(\small [\,1\,]\) が成り立つ [終]
② [証明] すべての自然数 \(n\) について、
\(1^2+3^2+5^2+\cdots+(2n-1)^2=\displaystyle\frac{\,1\,}{\,3\,}n(2n+1)(2n-1)~ ~ ~ \cdots {\small [\,1\,]}\)
\({\small (1)}~\) \(n=1\) のとき、
\(\small [\,1\,]\) の左辺は \(1^2=1\)、右辺は \(\displaystyle\frac{\,1\,}{\,3\,}\cdot 1\cdot 3\cdot 1=1\)
よって、\(\small [\,1\,]\) が成り立つ
\({\small (2)}~\) \(n=k\) のとき \(\small [\,1\,]\) が成り立つと仮定すると、
\(1^2+3^2+5^2+\cdots+(2k-1)^2=\displaystyle\frac{\,1\,}{\,3\,}k(2k+1)(2k-1)~ ~ ~ \cdots {\small [\,2\,]}\)
ここで、\(n=k+1\) のときの \(\small [\,1\,]\) の左辺は、
\(\begin{eqnarray}~~~&&1^2+3^2+5^2+\cdots+(2k-1)^2+\{\,2(k+1)-1\,\}^2
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,1\,}{\,3\,}k(2k+1)(2k-1)+(2k+1)^2 \hspace{30pt}(\,∵~ {\small [\,2\,]}\,)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,1\,}{\,3\,}(2k+1)\left\{\,k(2k-1)+3(2k+1)\,\right\}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,1\,}{\,3\,}(2k+1)(2k^2+5k+3)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,1\,}{\,3\,}(2k+1)(k+1)(2k+3)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,1\,}{\,3\,}(k+1)\left\{\,2(k+1)+1\,\right\}\left\{\,2(k+1)-1\,\right\}
\end{eqnarray}\)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,1\,}{\,3\,}k(2k+1)(2k-1)+(2k+1)^2 \hspace{30pt}(\,∵~ {\small [\,2\,]}\,)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,1\,}{\,3\,}(2k+1)\left\{\,k(2k-1)+3(2k+1)\,\right\}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,1\,}{\,3\,}(2k+1)(2k^2+5k+3)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,1\,}{\,3\,}(2k+1)(k+1)(2k+3)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,1\,}{\,3\,}(k+1)\left\{\,2(k+1)+1\,\right\}\left\{\,2(k+1)-1\,\right\}
\end{eqnarray}\)
これは、\(n=k+1\) のときの \(\small [\,1\,]\) の右辺となるので、\(\small [\,1\,]\) は \(n=k+1\) のときも成り立つ
\({\small (1)}~,~{\small (2)}\) より、すべての自然数 \(n\) について \(\small [\,1\,]\) が成り立つ [終]
③ [証明] すべての自然数 \(n\) について、
\(1^3+2^3+3^3+\cdots+n^3=\displaystyle\frac{\,1\,}{\,4\,}n^2(n+1)^2~ ~ ~ \cdots {\small [\,1\,]}\)
\({\small (1)}~\) \(n=1\) のとき、
\(\small [\,1\,]\) の左辺は \(1^3=1\)、右辺は \(\displaystyle\frac{\,1\,}{\,4\,}\cdot 1^2\cdot 2^2=1\)
よって、\(\small [\,1\,]\) が成り立つ
\({\small (2)}~\) \(n=k\) のとき \(\small [\,1\,]\) が成り立つと仮定すると、
\(1^3+2^3+3^3+\cdots+k^3=\displaystyle\frac{\,1\,}{\,4\,}k^2(k+1)^2~ ~ ~ \cdots {\small [\,2\,]}\)
ここで、\(n=k+1\) のときの \(\small [\,1\,]\) の左辺は、
\(\begin{eqnarray}~~~&&1^3+2^3+3^3+\cdots+k^3+(k+1)^3
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,1\,}{\,4\,}k^2(k+1)^2+(k+1)^3 \hspace{30pt}(\,∵~ {\small [\,2\,]}\,)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,1\,}{\,4\,}(k+1)^2\left\{\,k^2+4(k+1)\,\right\}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,1\,}{\,4\,}(k+1)^2(k^2+4k+4)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,1\,}{\,4\,}(k+1)^2(k+2)^2
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,1\,}{\,4\,}(k+1)^2\left\{\,(k+1)+1\,\right\}^2
\end{eqnarray}\)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,1\,}{\,4\,}k^2(k+1)^2+(k+1)^3 \hspace{30pt}(\,∵~ {\small [\,2\,]}\,)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,1\,}{\,4\,}(k+1)^2\left\{\,k^2+4(k+1)\,\right\}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,1\,}{\,4\,}(k+1)^2(k^2+4k+4)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,1\,}{\,4\,}(k+1)^2(k+2)^2
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,1\,}{\,4\,}(k+1)^2\left\{\,(k+1)+1\,\right\}^2
\end{eqnarray}\)
これは、\(n=k+1\) のときの \(\small [\,1\,]\) の右辺となるので、\(\small [\,1\,]\) は \(n=k+1\) のときも成り立つ
\({\small (1)}~,~{\small (2)}\) より、すべての自然数 \(n\) について \(\small [\,1\,]\) が成り立つ [終]
