このページは、「数学的帰納法を用いる整数の性質の証明」の練習問題アーカイブページとなります。
この問題の解き方の詳細は↓
数学的帰納法を用いる整数の性質の証明 で確認できます。
問題アーカイブ01
数研出版｜数学Ｂ[710] p.44 練習43
数研出版｜高等学校数学Ｂ[711] p.46 練習43
数研出版｜新編数学Ｂ[712] p.43 練習45
[証明] すべての自然数 \(n\) について、
\(5^n-1\) が \(4\) の倍数である \(~ ~ ~ \cdots {\small [\,1\,]}\)
\({\small (1)}~\) \(n=1\) のとき、
\(5^1-1=4\) より、\(\small [\,1\,]\) が成り立つ
\({\small (2)}~\) \(n=k\) のとき、\(\small [\,1\,]\) が成り立つと仮定すると、
整数 \(m\) を用いて、
\(\begin{eqnarray}~~~5^k-1&=&4m
\\[3pt]~5^k&=&4m+1~ ~ ~ \cdots {\small [\,2\,]}
\end{eqnarray}\)
\(n=k+1\) のとき、
\(\begin{eqnarray}~&&5^{k+1}-1
\\[3pt]~~~&=&5^1\cdot 5^k-1
\\[3pt]~~~&=&5\left(4m+1\right)-1 \hspace{25pt}(\,∵~ {\small [\,2\,]}\,)
\\[3pt]~~~&=&20m+5-1
\\[3pt]~~~&=&20m+4
\\[3pt]~~~&=&4\left(5m+1\right)
\end{eqnarray}\)
\(5m+1\) は整数より、\(5^{k+1}-1\) は \(4\) の倍数となり、\(\small [\,1\,]\) は \(n=k+1\) のときも成り立つ
\({\small (1)}~,~{\small (2)}\) より、すべての自然数 \(n\) について \(\small [\,1\,]\) が成り立つ [終]
問題アーカイブ02
① \(n\) は自然数とする。\(4n^3-n\) は \(3\) の倍数であることを、数学的帰納法によって証明せよ。
② \(n\) は整数とする。\(4n^3-n\) は \(3\) の倍数であることを証明せよ。
数研出版｜数学Ｂ[710] p.48 研究 練習1
数研出版｜高等学校数学Ｂ[711] p.47 研究 練習1
数研出版｜新編数学Ｂ[712] p.44 研究 練習1
① [証明] すべての自然数 \(n\) について、
\(4n^3-n\) が \(3\) の倍数である \(~ ~ ~ \cdots {\small [\,1\,]}\)
\({\small (1)}~\) \(n=1\) のとき、
\(4\cdot 1^3-1=3\) より、\(\small [\,1\,]\) が成り立つ
\({\small (2)}~\) \(n=k\) のとき、\(\small [\,1\,]\) が成り立つと仮定すると、
整数 \(m\) を用いて、
\(\begin{eqnarray}~~~4k^3-k&=&3m~ ~ ~ \cdots {\small [\,2\,]}
\end{eqnarray}\)
\(n=k+1\) のとき、
\(\begin{eqnarray}~&&4(k+1)^3-(k+1)
\\[3pt]~~~&=&4\left(k^3+3k^2+3k+1\right)-k-1
\\[3pt]~~~&=&4k^3+12k^2+12k+4-k-1
\\[3pt]~~~&=&4k^3-k+12k^2+12k+3
\\[3pt]~~~&=&3m+12k^2+12k+3 \hspace{25pt}(\,∵~ {\small [\,2\,]}\,)
\\[3pt]~~~&=&3\left(m+4k^2+4k+1\right)
\end{eqnarray}\)
\(m+4k^2+4k+1\) は整数より、\(4(k+1)^3-(k+1)\) は \(3\) の倍数となり、\(\small [\,1\,]\) は \(n=k+1\) のときも成り立つ
\({\small (1)}~,~{\small (2)}\) より、すべての自然数 \(n\) について \(\small [\,1\,]\) が成り立つ [終]
② [証明] 整数を \(3\) で割ったときの余りは、\(0~,~1~,~2\) のいずれかである。
よって、すべての整数は、整数 \(k\) を用いて
\(3k~,~~3k+1~,~~3k+2\)
のいずれかの形に表される。
\({\small [\,1\,]}~\) \(n=3k\) のとき
\(\begin{eqnarray}~~~4n^3-n&=&4(3k)^3-3k
\\[3pt]~~~&=&108k^3-3k
\\[3pt]~~~&=&3\left(36k^3-k\right)
\end{eqnarray}\)
\({\small [\,2\,]}~\) \(n=3k+1\) のとき
\\[3pt]~~~&=&4\left(27k^3+27k^2+9k+1\right)-3k-1
\\[3pt]~~~&=&108k^3+108k^2+36k+4-3k-1
\\[3pt]~~~&=&108k^3+108k^2+33k+3
\\[3pt]~~~&=&3\left(36k^3+36k^2+11k+1\right)
\end{eqnarray}\)
\({\small [\,3\,]}~\) \(n=3k+2\) のとき
\\[3pt]~~~&=&4\left(27k^3+54k^2+36k+8\right)-3k-2
\\[3pt]~~~&=&108k^3+216k^2+144k+32-3k-2
\\[3pt]~~~&=&108k^3+216k^2+141k+30
\\[3pt]~~~&=&3\left(36k^3+72k^2+47k+10\right)
\end{eqnarray}\)
よって、いずれの場合も、\(4n^3-n\) は \(3\) の倍数である。[終]
問題アーカイブ03
数研出版｜高等学校数学Ｂ[711] p.49 章末問題A 7
[証明] すべての自然数 \(n\) について、
\(7^n-1\) が \(6\) の倍数である \(~ ~ ~ \cdots {\small [\,1\,]}\)
\({\small (1)}~\) \(n=1\) のとき、
\(7^1-1=6\) より、\(\small [\,1\,]\) が成り立つ
\({\small (2)}~\) \(n=k\) のとき、\(\small [\,1\,]\) が成り立つと仮定すると、
整数 \(m\) を用いて、
\(\begin{eqnarray}~~~7^k-1&=&6m
\\[3pt]~7^k&=&6m+1~ ~ ~ \cdots {\small [\,2\,]}
\end{eqnarray}\)
\(n=k+1\) のとき、
\(\begin{eqnarray}~&&7^{k+1}-1
\\[3pt]~~~&=&7^1\cdot 7^k-1
\\[3pt]~~~&=&7\left(6m+1\right)-1 \hspace{25pt}(\,∵~ {\small [\,2\,]}\,)
\\[3pt]~~~&=&42m+7-1
\\[3pt]~~~&=&42m+6
\\[3pt]~~~&=&6\left(7m+1\right)
\end{eqnarray}\)
\(7m+1\) は整数より、\(7^{k+1}-1\) は \(6\) の倍数となり、\(\small [\,1\,]\) は \(n=k+1\) のときも成り立つ
\({\small (1)}~,~{\small (2)}\) より、すべての自然数 \(n\) について \(\small [\,1\,]\) が成り立つ [終]
問題アーカイブ04
数研出版｜新編数学Ｂ[712] p.46 章末問題A 8
[証明] すべての自然数 \(n\) について、
\(2^{2n-1}+3^{2n-1}\) が \(5\) の倍数である \(~ ~ ~ \cdots {\small [\,1\,]}\)
\({\small (1)}~\) \(n=1\) のとき、
\(2^{2\cdot 1-1}+3^{2\cdot 1-1}=2^1+3^1=5\) より、\(\small [\,1\,]\) が成り立つ
\({\small (2)}~\) \(n=k\) のとき、\(\small [\,1\,]\) が成り立つと仮定すると、
整数 \(m\) を用いて、
\(\begin{eqnarray}~~~2^{2k-1}+3^{2k-1}&=&5m
\\[3pt]~2^{2k-1}&=&5m-3^{2k-1}~ ~ ~ \cdots {\small [\,2\,]}
\end{eqnarray}\)
\(n=k+1\) のとき、
\(\begin{eqnarray}~&&2^{2(k+1)-1}+3^{2(k+1)-1}
\\[3pt]~~~&=&2^{2k+1}+3^{2k+1}
\\[3pt]~~~&=&2^2\cdot 2^{2k-1}+3^2\cdot 3^{2k-1}
\\[3pt]~~~&=&4\cdot 2^{2k-1}+9\cdot 3^{2k-1}
\\[3pt]~~~&=&4\left(5m-3^{2k-1}\right)+9\cdot 3^{2k-1} \hspace{25pt}(\,∵~ {\small [\,2\,]}\,)
\\[3pt]~~~&=&20m-4\cdot 3^{2k-1}+9\cdot 3^{2k-1}
\\[3pt]~~~&=&20m+5\cdot 3^{2k-1}
\\[3pt]~~~&=&5\left(4m+3^{2k-1}\right)
\end{eqnarray}\)
\(4m+3^{2k-1}\) は整数より、\(2^{2k+1}+3^{2k+1}\) は \(5\) の倍数となり、\(\small [\,1\,]\) は \(n=k+1\) のときも成り立つ
\({\small (1)}~,~{\small (2)}\) より、すべての自然数 \(n\) について \(\small [\,1\,]\) が成り立つ [終]
問題アーカイブ05
東京書籍｜Advanced数学Ｂ[701] p.39 問8
[証明] すべての自然数 \(n\) について、
\(7^{2n}-1\) が \(8\) の倍数である \(~ ~ ~ \cdots {\small [\,1\,]}\)
\({\small (1)}~\) \(n=1\) のとき、
\(7^{2\cdot 1}-1=49-1=48=8\cdot 6\) より、\(\small [\,1\,]\) が成り立つ
\({\small (2)}~\) \(n=k\) のとき、\(\small [\,1\,]\) が成り立つと仮定すると、
整数 \(m\) を用いて、
\(\begin{eqnarray}~~~7^{2k}-1&=&8m
\\[3pt]~7^{2k}&=&8m+1~ ~ ~ \cdots {\small [\,2\,]}
\end{eqnarray}\)
\(n=k+1\) のとき、
\(\begin{eqnarray}~&&7^{2(k+1)}-1
\\[3pt]~~~&=&7^{2k+2}-1
\\[3pt]~~~&=&7^2\cdot 7^{2k}-1
\\[3pt]~~~&=&49\cdot 7^{2k}-1
\\[3pt]~~~&=&49\left(8m+1\right)-1 \hspace{25pt}(\,∵~ {\small [\,2\,]}\,)
\\[3pt]~~~&=&392m+49-1
\\[3pt]~~~&=&392m+48
\\[3pt]~~~&=&8\left(49m+6\right)
\end{eqnarray}\)
\(49m+6\) は整数より、\(7^{2(k+1)}-1\) は \(8\) の倍数となり、\(\small [\,1\,]\) は \(n=k+1\) のときも成り立つ
\({\small (1)}~,~{\small (2)}\) より、すべての自然数 \(n\) について \(\small [\,1\,]\) が成り立つ [終]
問題アーカイブ06
東京書籍｜Advanced数学Ｂ[701] p.41 問題 15
東京書籍｜Standard数学Ｂ[702] p.52 Training 23
[証明] すべての自然数 \(n\) について、
\(8^n-7n-1\) が \(49\) の倍数である \(~ ~ ~ \cdots {\small [\,1\,]}\)
\({\small (1)}~\) \(n=1\) のとき、
\(8^1-7\cdot 1-1=0=49\cdot 0\) より、\(\small [\,1\,]\) が成り立つ
\({\small (2)}~\) \(n=k\) のとき、\(\small [\,1\,]\) が成り立つと仮定すると、
整数 \(m\) を用いて、
\(\begin{eqnarray}~~~8^k-7k-1&=&49m
\\[3pt]~8^k&=&49m+7k+1~ ~ ~ \cdots {\small [\,2\,]}
\end{eqnarray}\)
\(n=k+1\) のとき、
\\[3pt]~~~&=&8\cdot 8^k-7k-7-1
\\[3pt]~~~&=&8\cdot 8^k-7k-8
\\[3pt]~~~&=&8\left(49m+7k+1\right)-7k-8 \hspace{25pt}(\,∵~ {\small [\,2\,]}\,)
\\[3pt]~~~&=&392m+56k+8-7k-8
\\[3pt]~~~&=&392m+49k
\\[3pt]~~~&=&49\left(8m+k\right)
\end{eqnarray}\)
\(8m+k\) は整数より、\(8^{k+1}-7(k+1)-1\) は \(49\) の倍数となり、\(\small [\,1\,]\) は \(n=k+1\) のときも成り立つ
\({\small (1)}~,~{\small (2)}\) より、すべての自然数 \(n\) について \(\small [\,1\,]\) が成り立つ [終]
問題アーカイブ07
東京書籍｜Standard数学Ｂ[702] p.49 問5
[証明] すべての自然数 \(n\) について、
\(4n^3-n\) が \(3\) の倍数である \(~ ~ ~ \cdots {\small [\,1\,]}\)
\({\small (1)}~\) \(n=1\) のとき、
\(4\cdot 1^3-1=3\) より、\(\small [\,1\,]\) が成り立つ
\({\small (2)}~\) \(n=k\) のとき、\(\small [\,1\,]\) が成り立つと仮定すると、
整数 \(m\) を用いて、
\(\begin{eqnarray}~~~4k^3-k&=&3m~ ~ ~ \cdots {\small [\,2\,]}
\end{eqnarray}\)
\(n=k+1\) のとき、
\(\begin{eqnarray}~&&4(k+1)^3-(k+1)
\\[3pt]~~~&=&4\left(k^3+3k^2+3k+1\right)-k-1
\\[3pt]~~~&=&4k^3+12k^2+12k+4-k-1
\\[3pt]~~~&=&4k^3-k+12k^2+12k+3
\\[3pt]~~~&=&3m+12k^2+12k+3 \hspace{25pt}(\,∵~ {\small [\,2\,]}\,)
\\[3pt]~~~&=&3\left(m+4k^2+4k+1\right)
\end{eqnarray}\)
\(m+4k^2+4k+1\) は整数より、\(4(k+1)^3-(k+1)\) は \(3\) の倍数となり、\(\small [\,1\,]\) は \(n=k+1\) のときも成り立つ
\({\small (1)}~,~{\small (2)}\) より、すべての自然数 \(n\) について \(\small [\,1\,]\) が成り立つ [終]
問題アーカイブ08
東京書籍｜Standard数学Ｂ[702] p.49 問6
[証明] すべての自然数 \(n\) について、
\(a_n\) が \(3\) の倍数である \(~ ~ ~ \cdots {\small [\,1\,]}\)
\({\small (1)}~\) \(n=1\) のとき、
\(a_1=3\) より、\(\small [\,1\,]\) が成り立つ
\({\small (2)}~\) \(n=k\) のとき、\(\small [\,1\,]\) が成り立つと仮定すると、
整数 \(m\) を用いて、
\(\begin{eqnarray}~~~a_k&=&3m~ ~ ~ \cdots {\small [\,2\,]}
\end{eqnarray}\)
\(n=k+1\) のとき、
\(\begin{eqnarray}~~~a_{k+1}&=&4a_k+3
\\[3pt]~~~&=&4\cdot 3m+3 \hspace{25pt}(\,∵~ {\small [\,2\,]}\,)
\\[3pt]~~~&=&12m+3
\\[3pt]~~~&=&3\left(4m+1\right)
\end{eqnarray}\)
\(4m+1\) は整数より、\(a_{k+1}\) は \(3\) の倍数となり、\(\small [\,1\,]\) は \(n=k+1\) のときも成り立つ
\({\small (1)}~,~{\small (2)}\) より、すべての自然数 \(n\) について \(\small [\,1\,]\) が成り立つ [終]
