このページは、「数学的帰納法を用いる一般項の証明」の練習問題アーカイブページとなります。
この問題の解き方の詳細は↓
数学的帰納法を用いる一般項の証明 で確認できます。
問題アーカイブ01
問題アーカイブ01次の条件によって定められる数列 \(\{a_n\}\) の一般項を求めよ。
\(a_1=2~,~a_{n+1}=2-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,a_n\,}\)
\((\,n=1~,~2~,~3~,~\cdots\,)\)
\(a_1=2~,~a_{n+1}=2-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,a_n\,}\)
\((\,n=1~,~2~,~3~,~\cdots\,)\)
数研出版｜数学Ｂ[710] p.46 練習45
数研出版｜高等学校数学Ｂ[711] p.48 問題 19
数研出版｜新編数学Ｂ[712] p.45 補充問題 10
初項と漸化式より、
\(\begin{eqnarray}~~~a_2&=&2-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,a_1\,}=2-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}=\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}\end{eqnarray}\)
\(\begin{eqnarray}~a_3&=&2-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,a_2\,}
\\[5pt]~&=&2-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}\,}
\\[5pt]~~&=&2-\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}=\displaystyle \frac{\,4\,}{\,3\,}\end{eqnarray}\)
\(\begin{eqnarray}~a_4&=&2-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,a_3\,}
\\[5pt]~&=&2-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\displaystyle \frac{\,4\,}{\,3\,}\,}
\\[5pt]~~&=&2-\displaystyle \frac{\,3\,}{\,4\,}=\displaystyle \frac{\,5\,}{\,4\,}\end{eqnarray}\)
これより、数列 \(\{a_n\}\) の一般項は、次のように推測される
\(a_n=\displaystyle \frac{\,n+1\,}{\,n\,}~ ~ ~ \cdots {\small [\,1\,]}\)
この推測が正しいことを、数学的帰納法を用いて証明する
\({\small (1)}~\) \(n=1\) のとき、
\(\begin{eqnarray}~a_1&=&\displaystyle \frac{\,1+1\,}{\,1\,}=\displaystyle \frac{\,2\,}{\,1\,}=2\end{eqnarray}\)
よって、\(n=1\) で \(\small [\,1\,]\) は成り立つ
\({\small (2)}~\) \(n=k\) のとき、\(\small [\,1\,]\) が成り立つと仮定すると、
\(a_k=\displaystyle \frac{\,k+1\,}{\,k\,}~ ~ ~ \cdots {\small [\,2\,]}\)
\(n=k+1\) のとき、漸化式より、
\(\begin{eqnarray}~a_{k+1}&=&2-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,a_k\,}
\end{eqnarray}\)
\(\small [\,2\,]\) より、
\(\begin{eqnarray}&=&2-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\displaystyle \frac{\,k+1\,}{\,k\,}\,}
\\[5pt]~&=&2-\displaystyle \frac{\,k\,}{\,k+1\,}
\\[5pt]~~&=&\displaystyle \frac{\,2(k+1)-k\,}{\,k+1\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,2k+2-k\,}{\,k+1\,}
\\[5pt]~~&=&\displaystyle \frac{\,k+2\,}{\,k+1\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,(k+1)+1\,}{\,k+1\,}\end{eqnarray}\)
これより、\(\small [\,1\,]\) は \(n=k+1\) のときも成り立つ
\({\small (1)}\,,\,{\small (2)}\) より、すべての自然数 \(n\) について \(\small [\,1\,]\) が成り立つ [終]
したがって、数列 \(\{a_n\}\) の一般項は、
\(a_n=\displaystyle \frac{\,n+1\,}{\,n\,}\)
問題アーカイブ02
問題アーカイブ02次の条件によって定められる数列 \(\{a_n\}\) がある。
\(a_1=1~,~a_{n+1}=\displaystyle \frac{\,4\,}{\,4-a_n\,}\)
\((\,n=1~,~2~,~3~,~\cdots\,)\)
① \(a_2\,,\,\,a_3\,,\,\,a_4\,,\,\,a_5\) を求めよ。
② 一般項 \(a_n\) を推測して、その結果を数学的帰納法によって証明せよ。
\(a_1=1~,~a_{n+1}=\displaystyle \frac{\,4\,}{\,4-a_n\,}\)
\((\,n=1~,~2~,~3~,~\cdots\,)\)
① \(a_2\,,\,\,a_3\,,\,\,a_4\,,\,\,a_5\) を求めよ。
② 一般項 \(a_n\) を推測して、その結果を数学的帰納法によって証明せよ。
数研出版｜数学Ｂ[710] p.49 問題 12
① 初項と漸化式より、
\(\begin{eqnarray}~~~a_2&=&\displaystyle \frac{\,4\,}{\,4-a_1\,}=\displaystyle \frac{\,4\,}{\,4-1\,}=\displaystyle \frac{\,4\,}{\,3\,}\end{eqnarray}\)
\(\begin{eqnarray}~a_3&=&\displaystyle \frac{\,4\,}{\,4-a_2\,}
\\[5pt]~&=&\displaystyle \frac{\,4\,}{\,4-\displaystyle \frac{\,4\,}{\,3\,}\,}
\\[5pt]~~&=&\displaystyle \frac{\,4\,}{\,\displaystyle \frac{\,12-4\,}{\,3\,}\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,4\,}{\,\displaystyle \frac{\,8\,}{\,3\,}\,}=\displaystyle \frac{\,4{\, \small \times \,}3\,}{\,8\,}=\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}\end{eqnarray}\)
\(\begin{eqnarray}~a_4&=&\displaystyle \frac{\,4\,}{\,4-a_3\,}
\\[5pt]~&=&\displaystyle \frac{\,4\,}{\,4-\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}\,}
\\[5pt]~~&=&\displaystyle \frac{\,4\,}{\,\displaystyle \frac{\,8-3\,}{\,2\,}\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,4\,}{\,\displaystyle \frac{\,5\,}{\,2\,}\,}=\displaystyle \frac{\,4{\, \small \times \,}2\,}{\,5\,}=\displaystyle \frac{\,8\,}{\,5\,}\end{eqnarray}\)
\(\begin{eqnarray}~a_5&=&\displaystyle \frac{\,4\,}{\,4-a_4\,}
\\[5pt]~&=&\displaystyle \frac{\,4\,}{\,4-\displaystyle \frac{\,8\,}{\,5\,}\,}
\\[5pt]~~&=&\displaystyle \frac{\,4\,}{\,\displaystyle \frac{\,20-8\,}{\,5\,}\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,4\,}{\,\displaystyle \frac{\,12\,}{\,5\,}\,}=\displaystyle \frac{\,4{\, \small \times \,}5\,}{\,12\,}=\displaystyle \frac{\,5\,}{\,3\,}\end{eqnarray}\)
したがって、
\(a_2=\displaystyle \frac{\,4\,}{\,3\,}\,,\,\,a_3=\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}\,,\,\,a_4=\displaystyle \frac{\,8\,}{\,5\,}\,,\,\,a_5=\displaystyle \frac{\,5\,}{\,3\,}\)
② ① の結果より、
\(a_1=1=\displaystyle \frac{\,2\,}{\,2\,}\,,\,\,a_2=\displaystyle \frac{\,4\,}{\,3\,}\,,\,\,a_3=\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}=\displaystyle \frac{\,6\,}{\,4\,}\,,\,\,a_4=\displaystyle \frac{\,8\,}{\,5\,}\,,\,\,a_5=\displaystyle \frac{\,5\,}{\,3\,}=\displaystyle \frac{\,10\,}{\,6\,}\)
これより、数列 \(\{a_n\}\) の一般項は、次のように推測される
\(a_n=\displaystyle \frac{\,2n\,}{\,n+1\,}~ ~ ~ \cdots {\small [\,1\,]}\)
この推測が正しいことを、数学的帰納法を用いて証明する
\({\small (1)}~\) \(n=1\) のとき、
\(\begin{eqnarray}~a_1&=&\displaystyle \frac{\,2\cdot 1\,}{\,1+1\,}=\displaystyle \frac{\,2\,}{\,2\,}=1\end{eqnarray}\)
よって、\(n=1\) で \(\small [\,1\,]\) は成り立つ
\({\small (2)}~\) \(n=k\) のとき、\(\small [\,1\,]\) が成り立つと仮定すると、
\(a_k=\displaystyle \frac{\,2k\,}{\,k+1\,}~ ~ ~ \cdots {\small [\,2\,]}\)
\(n=k+1\) のとき、漸化式より、
\(\begin{eqnarray}~a_{k+1}&=&\displaystyle \frac{\,4\,}{\,4-a_k\,}
\end{eqnarray}\)
\(\small [\,2\,]\) より、
\(\begin{eqnarray}&=&\displaystyle \frac{\,4\,}{\,4-\displaystyle \frac{\,2k\,}{\,k+1\,}\,}
\\[5pt]~&=&\displaystyle \frac{\,4\,}{\,\displaystyle \frac{\,4(k+1)-2k\,}{\,k+1\,}\,}
\\[5pt]~~&=&\displaystyle \frac{\,4(k+1)\,}{\,4k+4-2k\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,4(k+1)\,}{\,2k+4\,}
\\[5pt]~~&=&\displaystyle \frac{\,4(k+1)\,}{\,2(k+2)\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,2(k+1)\,}{\,k+2\,}
\\[5pt]~~&=&\displaystyle \frac{\,2(k+1)\,}{\,(k+1)+1\,}\end{eqnarray}\)
これより、\(\small [\,1\,]\) は \(n=k+1\) のときも成り立つ
\({\small (1)}\,,\,{\small (2)}\) より、すべての自然数 \(n\) について \(\small [\,1\,]\) が成り立つ [終]
したがって、数列 \(\{a_n\}\) の一般項は、
\(a_n=\displaystyle \frac{\,2n\,}{\,n+1\,}\)
問題アーカイブ03
問題アーカイブ03次のように定められた数列 \(\{a_n\}\) の一般項を求めよ。
\(a_1=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}~,~a_{n+1}=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2-a_n\,}\)
\((\,n=1~,~2~,~3~,~\cdots\,)\)
\(a_1=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}~,~a_{n+1}=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2-a_n\,}\)
\((\,n=1~,~2~,~3~,~\cdots\,)\)
東京書籍｜Advanced数学Ｂ[701] p.40 問9
東京書籍｜Standard数学Ｂ[702] p.51 Challenge例題 問1
初項と漸化式より、
\(\begin{eqnarray}~~~a_2&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2-a_1\,}=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\,}=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}\,}=\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}\end{eqnarray}\)
\(\begin{eqnarray}~a_3&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2-a_2\,}=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2-\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}\,}=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\displaystyle \frac{\,4\,}{\,3\,}\,}=\displaystyle \frac{\,3\,}{\,4\,}\end{eqnarray}\)
\(\begin{eqnarray}~a_4&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2-a_3\,}=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2-\displaystyle \frac{\,3\,}{\,4\,}\,}=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\displaystyle \frac{\,5\,}{\,4\,}\,}=\displaystyle \frac{\,4\,}{\,5\,}\end{eqnarray}\)
これより、数列 \(\{a_n\}\) の一般項は、次のように推測される
\(a_n=\displaystyle \frac{\,n\,}{\,n+1\,}~ ~ ~ \cdots {\small [\,1\,]}\)
この推測が正しいことを、数学的帰納法を用いて証明する
\({\small (1)}~\) \(n=1\) のとき、
\(\begin{eqnarray}~a_1&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,1+1\,}=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\end{eqnarray}\)
よって、\(n=1\) で \(\small [\,1\,]\) は成り立つ
\({\small (2)}~\) \(n=k\) のとき、\(\small [\,1\,]\) が成り立つと仮定すると、
\(a_k=\displaystyle \frac{\,k\,}{\,k+1\,}~ ~ ~ \cdots {\small [\,2\,]}\)
\(n=k+1\) のとき、漸化式より、
\(\begin{eqnarray}~a_{k+1}&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2-a_k\,}
\end{eqnarray}\)
\(\small [\,2\,]\) より、
\(\begin{eqnarray}&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2-\displaystyle \frac{\,k\,}{\,k+1\,}\,}
\\[5pt]~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\displaystyle \frac{\,2(k+1)-k\,}{\,k+1\,}\,}
\\[5pt]~~&=&\displaystyle \frac{\,k+1\,}{\,2k+2-k\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,k+1\,}{\,k+2\,}
\\[5pt]~~&=&\displaystyle \frac{\,k+1\,}{\,(k+1)+1\,}\end{eqnarray}\)
これより、\(\small [\,1\,]\) は \(n=k+1\) のときも成り立つ
\({\small (1)}\,,\,{\small (2)}\) より、すべての自然数 \(n\) について \(\small [\,1\,]\) が成り立つ [終]
したがって、数列 \(\{a_n\}\) の一般項は、
\(a_n=\displaystyle \frac{\,n\,}{\,n+1\,}\)
問題アーカイブ04
問題アーカイブ04次の数列について、
\(1\,,\,\)
\(1+2+1\,,\,\)
\(1+2+3+2+1\,,\,\)
\(1+2+3+4+3+2+1\,,\,\)
\(\cdots\)
① この数列の各項を順次計算することにより、一般項を推測せよ。
② 数学的帰納法を用いて、\({\small (1)}\) で推測した式が正しいことを証明せよ。
\(1\,,\,\)
\(1+2+1\,,\,\)
\(1+2+3+2+1\,,\,\)
\(1+2+3+4+3+2+1\,,\,\)
\(\cdots\)
① この数列の各項を順次計算することにより、一般項を推測せよ。
② 数学的帰納法を用いて、\({\small (1)}\) で推測した式が正しいことを証明せよ。
東京書籍｜Advanced数学Ｂ[701] p.44 練習問題A 8
東京書籍｜Standard数学Ｂ[702] p.55 Level Up 13
① 数列 \(\{a_n\}\) の各項を順次計算すると、
\(\begin{eqnarray}~~~a_1&=&1\end{eqnarray}\)
\(\begin{eqnarray}~~~a_2&=&1+2+1=4\end{eqnarray}\)
\(\begin{eqnarray}~~~a_3&=&1+2+3+2+1=9\end{eqnarray}\)
\(\begin{eqnarray}~~~a_4&=&1+2+3+4+3+2+1=16\end{eqnarray}\)
これより、
\(a_1=1=1^2\,,\,\,a_2=4=2^2\,,\,\,a_3=9=3^2\,,\,\,a_4=16=4^2\)
したがって、数列 \(\{a_n\}\) の一般項は、次のように推測される
\(a_n=n^2\)
② ①より、一般項は \(a_n=n^2~ ~ ~ \cdots {\small [\,1\,]}\) と推測される
この推測が正しいことを、数学的帰納法を用いて証明する
\({\small (1)}~\) \(n=1\) のとき、
\(\begin{eqnarray}~a_1&=&1^2=1\end{eqnarray}\)
よって、\(n=1\) で \(\small [\,1\,]\) は成り立つ
\({\small (2)}~\) \(n=k\) のとき、\(\small [\,1\,]\) が成り立つと仮定すると、
\(\begin{eqnarray}~~~a_k&=&1+2+\cdots+(k-1)+k+(k-1)+\cdots+2+1
\\[3pt]~&=&k^2~ ~ ~ \cdots {\small [\,2\,]}
\end{eqnarray}\)
\\[3pt]~&=&k^2~ ~ ~ \cdots {\small [\,2\,]}
\end{eqnarray}\)
\(n=k+1\) のとき、
\(\begin{eqnarray}~~~a_{k+1}&=&1+2+\cdots+k+(k+1)+k+\cdots+2+1
\end{eqnarray}\)
\end{eqnarray}\)
ここで、\(a_k\) と \(a_{k+1}\) の関係を考えると、
\(a_k=1+2+\cdots+(k-1)+k+(k-1)+\cdots+2+1\)
\(a_{k+1}=1+2+\cdots+(k-1)+k+(k+1)+k+(k-1)+\cdots+2+1\)
よって、
\(\begin{eqnarray}~a_{k+1}&=&a_k+k+(k+1)
\\[5pt]~&=&a_k+2k+1
\end{eqnarray}\)
\(\small [\,2\,]\) より、
\(\begin{eqnarray}~a_{k+1}&=&k^2+2k+1
\\[5pt]~&=&(k+1)^2\end{eqnarray}\)
これより、\(\small [\,1\,]\) は \(n=k+1\) のときも成り立つ
\({\small (1)}\,,\,{\small (2)}\) より、すべての自然数 \(n\) について \(\small [\,1\,]\) が成り立つ [終]
したがって、数列 \(\{a_n\}\) の一般項は、
\(a_n=n^2\)
