このページは、「二項定理を用いた証明」の練習問題アーカイブページとなります。
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二項定理を用いた証明 で確認できます。
問題アーカイブ01
問題アーカイブ01\(n\) は自然数とする。\(5^n-1=(4+1)^n-1\) と変形することで、\(5^n-1\) が \(4\) の倍数であることを、二項定理を利用して証明せよ。
数研出版｜数学Ｂ[710] p.48 研究 練習2
[証明]
\(\begin{eqnarray}~~~&&5^n-1
\\[5pt]~~~&=&(4+1)^n-1
\end{eqnarray}\)
ここで、二項定理より \((4+1)^n\) を展開すると、
\(\begin{eqnarray}~~~&=&4^n+{}_n\mathrm{C}_1\cdot 4^{n-1}\cdot 1^1+{}_n\mathrm{C}_2\cdot 4^{n-2}\cdot 1^2+{}_n\mathrm{C}_3\cdot 4^{n-3}\cdot 1^3+\cdots+{}_n\mathrm{C}_{n-1}\cdot 4\cdot 1^{n-1}+{}_n\mathrm{C}_n\cdot 1^n-1
\\[5pt]~~~&=&4^n+{}_n\mathrm{C}_1\cdot 4^{n-1}+{}_n\mathrm{C}_2\cdot 4^{n-2}+{}_n\mathrm{C}_3\cdot 4^{n-3}+\cdots+{}_n\mathrm{C}_{n-1}\cdot 4+1-1
\\[5pt]~~~&=&4\,\left(4^{n-1}+{}_n\mathrm{C}_1\cdot 4^{n-2}+{}_n\mathrm{C}_2\cdot 4^{n-3}+{}_n\mathrm{C}_3\cdot 4^{n-4}+\cdots+{}_n\mathrm{C}_{n-1}\right)
\end{eqnarray}\)
\\[5pt]~~~&=&4^n+{}_n\mathrm{C}_1\cdot 4^{n-1}+{}_n\mathrm{C}_2\cdot 4^{n-2}+{}_n\mathrm{C}_3\cdot 4^{n-3}+\cdots+{}_n\mathrm{C}_{n-1}\cdot 4+1-1
\\[5pt]~~~&=&4\,\left(4^{n-1}+{}_n\mathrm{C}_1\cdot 4^{n-2}+{}_n\mathrm{C}_2\cdot 4^{n-3}+{}_n\mathrm{C}_3\cdot 4^{n-4}+\cdots+{}_n\mathrm{C}_{n-1}\right)
\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
かっこの中が整数より、\(5^n-1\) は \(4\) の倍数となる [終]
