- 数学B「統計的な推測」の基本例題一覧ページです。
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確率変数と期待値(平均)・分散・標準偏差
01｜確率変数と確率の表し方
統計的な推測 011個のさいころを投げて出た目を \( X \) とするとき、確率 \( P(X=1) \) 、 \( P(3{\small ~≦~}X{\small ~≦~}5) \) の求め方は？
02｜確率変数と確率分布
統計的な推測 02100本のくじの中に、賞金1000円のくじが5本、賞金100円のくじが15本、残りははずれくじであり、このくじを1本引いて得られる賞金を \( X \) 円とするとき、確率変数 \( X \) の確率分布の求め方は？
03｜確率変数の期待値(平均)
統計的な推測 03100本のくじの中に、賞金1000円のくじが5本、賞金100円のくじが15本、残りははずれくじであり、このくじを1本引いて得られる賞金を \( X \) 円とするとき、確率変数 \( X \) の期待値(平均)の求め方は？
04｜組合せと確率分布・期待値(平均)
統計的な推測 04赤玉2個、白玉3個の中から同時に2個の玉を取り出し、赤玉の個数を \( X \) とするとき、確率変数 \( X \) の期待値(平均)の求め方は？
05｜偏差と分散・標準偏差
統計的な推測 05赤玉2個、白玉3個の中から同時に2個の玉を取り出し、赤玉の個数を \( X \) とするとき、偏差を用いた確率変数 \( X \) の分散と標準偏差の求め方は？
06｜確率変数の2乗と分散・標準偏差
統計的な推測 06赤玉2個、白玉3個の中から同時に2個の玉を取り出し、赤玉の個数を \( X \) とするとき、確率変数 \( X \) の分散と標準偏差を \( X^2 \) の期待値(平均)から求める方法は？
07☆｜最大値の期待値(平均)・分散・標準偏差
統計的な推測 07☆1〜4の番号が書かれたカードから1枚引いて元に戻し、もう一度1枚引き、書かれたカードの番号の大きい方を \( X \) としたとき、確率変数 \( X \) の期待値(平均)、分散と標準偏差の求め方は？
確率変数の変換・和・積
08｜確率変数の変換
統計的な推測 08ある確率変数 \( X \) の期待値(平均)が \( E(X)=\displaystyle \frac{\,4\,}{\,5\,} \) 、分散が \( V(X)=\displaystyle \frac{\,9\,}{\,25\,} \) 、標準偏差が \( \sigma(X)=\displaystyle \frac{\,3\,}{\,5\,} \) のとき、次の確率変数の期待値(平均)、分散、標準偏差の求め方は？
\({\small (1)}~\)\( Y=2X-1 \)
\({\small (2)}~\)\( Y=-5X+2 \)
\({\small (1)}~\)\( Y=2X-1 \)
\({\small (2)}~\)\( Y=-5X+2 \)
09｜2つの確率変数の同時分布
統計的な推測 0910本中当たりが2本のくじをAが2本引き、残りのくじからBが1本引き、AとBの2人の当たりくじの本数を \( X~,~Y \) とするとき、 \( X \) と \( Y \) の同時分布の求め方は？
10｜確率変数の和の期待値(平均)
統計的な推測 10大小2個のさいころを同時に投げ、それぞれのさいころの出た目を \( X~,~Y \) とするとき、出る目の和 \( X+Y \) や \( 2X+3Y \) の期待値(平均)の求め方は？また、大中小3個のさいころの場合での出る目の和の期待値(平均)の求め方は？
11｜硬貨の合計金額の期待値(平均)
統計的な推測 1110円玉1枚、100円玉1枚、500円玉1枚を同時に投げるとき、表の出た硬貨の金額の和の期待値(平均)の求め方は？
12｜独立な確率変数
統計的な推測 1210円玉2枚と100円玉1枚を同時に投げ、10円玉の表の枚数を \( X \) 、100円玉の表の枚数を \( Y \) とするとき、確率変数 \( X \) と \( Y \) が互いに独立であることの調べ方は？
13｜事象の独立・従属
統計的な推測 13大小2個のさいころを投げて、大のさいころが偶数の目のある事象を \( A \) 、小のさいころが1の目である事象を \( B \) 、さいころの目の和が5である事象を \( C \) とするとき、 \( A \) と \( B \) 、 \( B \) と \( C \) 、 \( A \) と \( C \) はそれぞれ独立or従属であるか？
14｜独立な確率変数の積の期待値(平均)
統計的な推測 14大小2個のさいころを同時に投げ、それぞれのさいころの出た目を \( X~,~Y \) とするとき、出る目の積 \( XY \) の期待値(平均)の求め方は？また、大中小3個のさいころの場合での出る目の積の期待値(平均)の求め方は？
15☆｜2つの確率変数で決まる得点の期待値(平均)
統計的な推測 15☆1個のさいころと1枚の硬貨を投げ、硬貨で表が出ればさいころの目の数の2倍を得点とし、裏が出ればさいころの目を得点とするとき、得点の期待値(平均)の求め方は？
16｜独立な確率変数の和の分散・標準偏差
統計的な推測 16大小2個のさいころを同時に投げ、それぞれのさいころの出た目を \( X~,~Y \) とするとき、出る目の和 \( X+Y \) や \( 2X-Y \) の分散と標準偏差の求め方は？また、大中小3個のさいころの場合での出る目の和の分散と標準偏差の求め方は？
17☆｜同じ試行を重ねた和の期待値(平均)・分散
統計的な推測 17☆1個のさいころを10回投げたとき、出た目の和 \( X \) の期待値(平均)と分散、標準偏差の求め方は？
18☆｜硬貨の合計金額の分散・標準偏差
統計的な推測 18☆10円硬貨3枚と50円硬貨2枚を同時に投げたとき、表が出た硬貨の金額の合計の期待値(平均)、分散と標準偏差の求め方は？
二項分布
19｜反復試行の確率と二項分布
統計的な推測 191個のさいころを3回投げ、1の目が出る回数を \( X \) とするとき、確率変数 \( X \) の確率分布とその二項分布の求め方は？また、1の目が2回以上出る確率の求め方は？
20｜二項分布の期待値(平均)と分散・標準偏差
統計的な推測 20二項分布が \( B\left(3~,~\displaystyle \frac{\,1\,}{\,6\,}\right) \) のとき、二項分布の期待値(平均)、分散と標準偏差の求め方は？
21｜硬貨を複数回投げる二項分布
統計的な推測 211枚の硬貨を10回投げ、表が出る回数を \( X \) とするとき、確率変数 \( X \) の二項分布とその期待値(平均)、分散と標準偏差の求め方は？
22☆｜二項分布と得点の期待値(平均)・分散
統計的な推測 22☆1枚の硬貨を投げ、表が出れば5点で裏が出れば2点とし、これを12回繰り返すとき、得られる得点の期待値(平均)、分散と標準偏差の求め方は？
確率密度関数と正規分布
23｜確率密度関数と確率
統計的な推測 23確率変数 \( X \) の確率密度関数が \( f(x)=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}x \,\,(\,0{\small ~≦~}x{\small ~≦~}2\,) \) のとき、確率 \( P(\,0{\small ~≦~}X{\small ~≦~}1\,) \) 、 \( P(\,1{\small ~≦~}X{\small ~≦~}2\,) \) の求め方は？
24｜確率密度関数と期待値(平均)・分散
統計的な推測 24確率変数 \( X \) の確率密度関数が \( f(x)=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}x \,(\,0{\small ~≦~}x{\small ~≦~}2\,) \) のとき、期待値(平均)、分散と標準偏差の求め方は？
25☆｜文字係数の確率密度関数
統計的な推測 25☆確率変数 \(X\) が \(0{\small ~≦~}X{\small ~≦~}4\) の範囲をとり、確率密度関数が
\(\displaystyle f(x)=\begin{cases}
\,ax\, & (\,0{\small ~≦~}x{\small ~≦~}2\,)\\[3pt]
\,a(4-x)\, & (\,2{\small ~≦~}x{\small ~≦~}4\,)
\end{cases}\)
であるとき、定数 \(a\) の値の求め方は？また、確率 \(P(\,1{\small ~≦~}X{\small ~≦~}3\,)\) の求め方は？
\(\displaystyle f(x)=\begin{cases}
\,ax\, & (\,0{\small ~≦~}x{\small ~≦~}2\,)\\[3pt]
\,a(4-x)\, & (\,2{\small ~≦~}x{\small ~≦~}4\,)
\end{cases}\)
であるとき、定数 \(a\) の値の求め方は？また、確率 \(P(\,1{\small ~≦~}X{\small ~≦~}3\,)\) の求め方は？
26｜標準正規分布と確率
統計的な推測 26確率変数 \( Z \) が標準正規分布 \( N(0~,~1) \) に従うとき、確率 \( P(\,0{\small ~≦~}Z{\small ~≦~}1\,) \) 、 \( P(\,Z{\small ~≧~}1\,) \) 、 \( P(\,|\,Z\,|{\small ~≦~}1\,) \) の求め方は？ただし、\( p(1)=0.3413 \) とする。
27☆｜標準正規分布とp(k)
統計的な推測 27☆確率変数 \( Z \) が標準正規分布 \( N(0~,~1) \) に従うとき、\(k\gt 0\) として、確率 \( P(\,-k{\small ~≦~}Z{\small ~≦~}k\,)=0.6826 \) や \( P(\,Z{\small ~≦~}k\,)=0.9772 \) を満たす \(k\) の値の求め方は？ただし、\( p(1)=0.3413~,~p(2)=0.4772 \) とする。
28｜正規分布と標準正規分布
統計的な推測 28確率変数 \( X \) が正規分布 \( N(2~,~3^2) \) に従うとき、確率 \( P(\,-1{\small ~≦~}X{\small ~≦~}5\,) \) や \( P(\,X{\small ~≦~}8\,) \) の求め方は？ただし、\( p(1)=0.3413~,~p(2)=0.4772 \) とする。
29☆｜正規分布と等式を満たす定数
統計的な推測 29☆確率変数 \( X \) が正規分布 \( N(2~,~3^2) \) に従うとき、等式 \( P(\,X{\small ~≧~}a\,)=0.023 \) が成り立つような定数 \(a\) の値の求め方は？ただし、\(p(2)=0.4772 \) とする。
30☆｜正規分布とmやσを含む確率
統計的な推測 30☆確率変数 \( X \) が正規分布 \( N(m~,~\sigma^2) \) に従うとき、確率 \( P(\,X{\small ~≦~}m+\sigma\,) \) や \( P(\,X{\small ~≧~}m+2\sigma\,) \) の求め方は？ただし、\( p(1)=0.3413~,~p(2)=0.4772 \) とする。
31｜正規分布の確率を求める文章問題
統計的な推測 31あるクラスの男子の身長が、平均 \( 170 ~{\rm cm}\)、標準偏差 \( 3 ~{\rm cm}\) の正規分布に従うとき、身長 \( 167 ~{\rm cm}\) 以上 \( 176 ~{\rm cm}\) 以下の生徒は約何％いるか？ただし、\( p(1)=0.3413~,~p(2)=0.4772 \) とする。
32☆｜正規分布の度数を求める文章問題
統計的な推測 32☆あるクラスの男子の身長が、平均 \( 170 ~{\rm cm}\)、標準偏差 \( 3 ~{\rm cm}\) の正規分布に従い、身長 \( 173 ~{\rm cm}\) 以上の生徒が \(4\) 人いたとき、このクラスの男子は約何人であるか？ただし、\( p(1)=0.3413 \) とする。
33☆｜正規分布の基準値を求める文章問題
統計的な推測 33☆あるクラスの男子の身長が、平均 \( 170 ~{\rm cm}\)、標準偏差 \( 3 ~{\rm cm}\) の正規分布に従い、クラスの男子が \(25\) 人で、基準以上の身長の生徒が \(4\) 人いたとき、この基準の身長は約何 \({\rm cm}\) であるか？ただし、\( p(1){\small ~≒~}0.34 \) とする。
34｜二項分布と正規分布
統計的な推測 341個のさいころを \(720\) 回投げて、1の出る回数を \( X \) とするとき、 \( X \) が \(110\) 以下となる確率の求め方は？ただし、\( p(1)=0.3413 \) とする。
母集団と標本
35｜母集団分布と母平均・母標準偏差
統計的な推測 351のカードが \(3\) 枚、2のカードが \(2\) 枚、3のカードが \(1\) 枚の合計 \(6\) 枚のカードを母集団、カードの数字を変量とするとき、母集団分布、母平均と母標準偏差の求め方は？
36｜復元抽出と非復元抽出
統計的な推測 361,2,3の \(3\) 枚のカードを母集団として、復元抽出or非復元抽出で大きさ \(2\) の無作為標本を抽出し、順に \( X_1~,~X_2 \) としたとき、 \( X_1~,~X_2 \) の同時分布の求め方は？
37｜標本平均の確率分布
統計的な推測 371,2,3の \(3\) 枚のカードを母集団として、復元抽出or非復元抽出で大きさ \(2\) の無作為標本を抽出し、順に \( X_1~,~X_2 \) としたとき、 \( X_1~,~X_2 \) の標本平均の確率分布の求め方は？
38｜標本平均の期待値(平均)と標準偏差
統計的な推測 38母平均 \( 80 \) 、母標準偏差 \( 10 \) の母集団から大きさ \( 100 \) の標本を無作為抽出するとき、その標本平均 \(\overline{X}\) の期待値(平均)と標準偏差の求め方は？
39｜標本平均の文章問題
統計的な推測 39大量の製品の中の不良品の割合は \( \displaystyle \frac{\,1\,}{\,10\,} \) で、この中から標本として無作為に \(25\) 個の製品を抽出し、 \( k \) 番目に抽出された製品が不良品なら \( 1 \) 、良品なら \( 0 \) を対応させる確率変数を \( X_k \) とするとき、標本平均 \( \displaystyle \frac{\,1\,}{\,25\,}(X_1+X_2+X_3+\cdots+X_{25}) \) の期待値(平均)と標準偏差の求め方は？
40｜標本平均と正規分布
統計的な推測 40母平均 \( 50 \) 、母標準偏差 \( 30 \) の母集団から大きさ \( 100 \) の標本を無作為抽出するとき、その標本平均が \( 53 \) より大きい値をとる確率の求め方は？ただし、\( p(1)=0.3413 \) とする。
41｜標本比率と正規分布
統計的な推測 41硬貨を \( 100 \) 回投げ、表の出る相対度数を \( R \) とするとき、\( R \) が \(55\) %以上となる確率の求め方は？また、\( R \) が \(50\) %以上 \(60\) %以下となる確率は？ただし、\( p(1)=0.3413~,~\)\(p(2)=0.4772 \) とする。
42｜標本比率と大数の法則
統計的な推測 42硬貨を \( n \) 回投げ、表の出る相対度数を \( R \) とするとき、 \( n=100 \) の場合について、 \( P\left(\left|\,R-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\, \right|{\small ~≦~}0.05\right) \) の値の求め方は？また、\(n=400\) や \(n=900\) の場合では？ただし、\( p(1)=0.3413~,~\)\(p(2)=0.4772~,~\)\(p(3)=0.49865 \) とする。
推定と信頼区間
43｜母平均の推定
統計的な推測 43ある製品の中から \(400\) 個を無作為に抽出したところ、重さの平均値が \( 30~{\rm g}\) であったとき、重さの母標準偏差を \( 5~{\rm g}\) として、この製品の重さの平均値 \( m \) に対する信頼度 \( 95 \) %の信頼区間で推定する方法は？
44｜母平均の推定と標本標準偏差
統計的な推測 44ある製品の中から \(900\) 個を無作為に抽出したところ、重さの平均値が \( 20~{\rm g} \) で標準偏差が \( 4~{\rm g} \) であったとき、この製品の重さの平均値 \( m \) に対する信頼度 \( 95 \) %の信頼区間で推定する方法は？
45｜母平均の信頼区間の幅
統計的な推測 45ある製品1個あたりの重さの母標準偏差が \( 5~{\rm g} \) で、母平均 \( m \) を信頼度 \( 95 \) %で推定するとき、信頼区間の幅を \( 0.5~{\rm g} \) 以下にするためには、標本の大きさ \( n \) を少なくともいくらにすればよいか？
46｜母比率の推定
統計的な推測 46ある製品の中から \(900\) 個を無作為に抽出し調べたところ \(90\) 個の不良品があったとき、この製品の不良率 \( p \) に対する信頼度 \( 95 \) %の信頼区間で推定する方法は？
47☆｜母比率の信頼区間の幅
統計的な推測 47☆ある意見に対する賛成率が約 \(60\) %と予想されており、この意見に対する賛成率を信頼度 \(95\) %で信頼区間の幅が \(8\) %以下になるように推定したいとき、何人以上を抽出して調べればよいか？
仮説検定
48｜母比率の仮説検定(両側検定5%)
統計的な推測 48硬貨を \(100\) 回投げて表が \(58\) 回出たとき、この硬貨は表と裏の出方に偏りがあると判断してよいか有意水準 \( 5 \) %で検定する方法は？また、表が \(60\) 回のときでは？ただし、\( P(\,-1.96{\small ~≦~}Z{\small ~≦~}1.96\,){\small ~≒~}0.95~,~\)\(p(1.6)=0.4452~,~\)\(p(2)=0.4772 \) とする。
49｜母比率の仮説検定(片側検定5%)
統計的な推測 49発芽率が \( 60 \) %である種子を品種改良し、品種改良した種子から無作為に \(600\) 個を抽出したところ \(384\) 個が発芽したとき、品種改良によって発芽率が上がったと判断して良いか有意水準 \( 5 \) %で検定する方法は？ただし、\( P(\,0{\small ~≦~}Z{\small ~≦~}1.64\,){\small ~≒~}0.45~,~\)\(p(2)=0.4772 \) とする。
50☆｜母比率の仮説検定(片側検定1%)
統計的な推測 50☆ある製品の不良品率が \( 10 \) %であったが、新たに開発した製品から \(900\) 個を無作為に抽出し調べると不良品は \(72\) 個であったとき、不良品率が下がったと判断しても良いか有意水準 \( 1 \) %で検定する方法は？ただし、\( P(\,0{\small ~≦~}Z{\small ~≦~}2.33\,){\small ~≒~}0.49~,~\)\(p(2)=0.4772 \) とする。
51☆｜母比率の仮説検定と標本の個数
統計的な推測 51☆ある製品の不良品率が \( 10 \) %であったが、新たに開発した製品から \(900\) 個を無作為に抽出し調べるとき、不良品が何個までなら有意水準 \( 5 \) %で不良品率が下がったと判断できるか？ただし、\( P(\,0{\small ~≦~}Z{\small ~≦~}1.64\,){\small ~≒~}0.45\) とする。
52｜母平均の仮説検定
統計的な推測 52\(60~{\rm g}\) 入りと表示されている製品から \(100\) 個を無作為に抽出して重さを調べると平均値は \(61~{\rm g}\) であり、この製品の母標準偏差が \( 5~{\rm g} \) であるとき、1袋あたりの重さは表示通りでないと判断してよいか有意水準 \( 5 \) %で検定する方法は？ただし、\( P(\,-1.96{\small ~≦~}Z{\small ~≦~}1.96\,){\small ~≒~}0.95~,~\)\(p(2)=0.4772 \) とする。
