- 数学B｜統計的な推測「確率変数と確率分布」の基本例題解説ページです。
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問題｜確率変数と確率分布
統計的な推測 02100本のくじの中に、賞金1000円のくじが5本、賞金100円のくじが15本、残りははずれくじであり、このくじを1本引いて得られる賞金を \( X \) 円とするとき、確率変数 \( X \) の確率分布の求め方は？
高校数学B｜統計的な推測
解法のPoint
確率変数と確率分布
Point：確率変数と確率分布
さいころ1個を投げたときの出た目の値 \(X\) の確率分布は、
① 確率変数 \(X\) の値を調べる。
さいころの出た目より、
\( X=1~,~2~,~3~,~4~,~5~,~6 \)
② それぞれの確率変数 \(X\) について確率を求める。
さいころの目の出方は同様に確からしいので、
すべて \( \displaystyle \frac{\,1\,}{\,6\,} \) となる。
※ 確率は約分できても約分しない。
③ 1行目に「確率変数」、2行目に「対応する確率」を書き並べた表を作る。また、列の最後に「計」と確率の合計の \(1\) を書く。
\(\begin{array}{c|cccccc|c}
X & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 計 \\
\hline
P & \displaystyle\frac{\,1\,}{\,6\,} & \displaystyle\frac{\,1\,}{\,6\,} & \displaystyle\frac{\,1\,}{\,6\,} & \displaystyle\frac{\,1\,}{\,6\,} & \displaystyle\frac{\,1\,}{\,6\,} & \displaystyle\frac{\,1\,}{\,6\,} & 1
\end{array}\)
このとき、確率変数 \(X\) はこの確率分布に「従う」という。
確率変数 \(X\) の値と、それぞれの値の確率の対応を表にしたものを「確率分布」という。
さいころ1個を投げたときの出た目の値 \(X\) の確率分布は、
① 確率変数 \(X\) の値を調べる。
さいころの出た目より、
\( X=1~,~2~,~3~,~4~,~5~,~6 \)
② それぞれの確率変数 \(X\) について確率を求める。
さいころの目の出方は同様に確からしいので、
すべて \( \displaystyle \frac{\,1\,}{\,6\,} \) となる。
※ 確率は約分できても約分しない。
③ 1行目に「確率変数」、2行目に「対応する確率」を書き並べた表を作る。また、列の最後に「計」と確率の合計の \(1\) を書く。
\(\begin{array}{c|cccccc|c}
X & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 計 \\
\hline
P & \displaystyle\frac{\,1\,}{\,6\,} & \displaystyle\frac{\,1\,}{\,6\,} & \displaystyle\frac{\,1\,}{\,6\,} & \displaystyle\frac{\,1\,}{\,6\,} & \displaystyle\frac{\,1\,}{\,6\,} & \displaystyle\frac{\,1\,}{\,6\,} & 1
\end{array}\)
このとき、確率変数 \(X\) はこの確率分布に「従う」という。
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詳しい解説｜確率変数と確率分布
統計的な推測 02
100本のくじの中に、賞金1000円のくじが5本、賞金100円のくじが15本、残りははずれくじであり、このくじを1本引いて得られる賞金を \( X \) 円とするとき、確率変数 \( X \) の確率分布の求め方は？
高校数学B｜統計的な推測
確率変数 \( X \) はくじの賞金より、
\(X=1000~,~100~,~0\)
それぞれの確率は、
\(\small [\,1\,]\) \( X=1000 \) のとき
100本中、1000円の当たりは5本より、
\(P(\,X=1000\,)=\displaystyle \frac{\,5\,}{\,100\,} \)
※ 約分しない。
\(\small [\,2\,]\) \( X=100 \) のとき
100本中、100円の当たりは15本より、
\(P(\,X=100\,)=\displaystyle \frac{\,15\,}{\,100\,} \)
※ 約分しない。
\(\small [\,3\,]\) \( X=0 \) のとき
100本中、はずれの本数は
\( 100-(5+15)=80 \) 本より、
\(P(\,X=0\,)=\displaystyle \frac{\,80\,}{\,100\,} \)
※ 約分しない。
【別解】
余事象の確率より、
\(\begin{split}&P(\,X=0\,)
\\[5pt]~~=~&1-P(\,X=1000\,)-P(\,X=100\,)
\\[5pt]~~=~&1-\left(\displaystyle \frac{\,5\,}{\,100\,}+\displaystyle \frac{\,15\,}{\,100\,}\right)
\\[5pt]~~=~&\displaystyle \frac{\,80\,}{\,100\,}
\end{split}\)
余事象の確率より、
\(\begin{split}&P(\,X=0\,)
\\[5pt]~~=~&1-P(\,X=1000\,)-P(\,X=100\,)
\\[5pt]~~=~&1-\left(\displaystyle \frac{\,5\,}{\,100\,}+\displaystyle \frac{\,15\,}{\,100\,}\right)
\\[5pt]~~=~&\displaystyle \frac{\,80\,}{\,100\,}
\end{split}\)
したがって、\(\small [\,1\,]\)〜\(\small [\,3\,]\) より、確率分布の表は、
\(\begin{array}{c|ccc|c}
X & 1000 & 100 & 0 & 計 \\
\hline
P & \displaystyle\frac{\,5\,}{\,100\,} & \displaystyle\frac{\,15\,}{\,100\,} & \displaystyle\frac{\,80\,}{\,100\,} & 1
\end{array}\)
