- 数学B｜統計的な推測「確率変数の期待値(平均)」の基本例題解説ページです。
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問題｜確率変数の期待値(平均)
統計的な推測 03100本のくじの中に、賞金1000円のくじが5本、賞金100円のくじが15本、残りははずれくじであり、このくじを1本引いて得られる賞金を \( X \) 円とするとき、確率変数 \( X \) の期待値(平均)の求め方は？
高校数学B｜統計的な推測
解法のPoint
確率変数の期待値(平均)
Point：確率変数の期待値(平均)
① 確率変数 \( X \) の確率分布を書く。
さいころ1個を投げたときの出た目の値の確率分布は、
\(\begin{array}{c|cccccc|c}
X & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 計 \\
\hline
P & \displaystyle\frac{\,1\,}{\,6\,} & \displaystyle\frac{\,1\,}{\,6\,} & \displaystyle\frac{\,1\,}{\,6\,} & \displaystyle\frac{\,1\,}{\,6\,} & \displaystyle\frac{\,1\,}{\,6\,} & \displaystyle\frac{\,1\,}{\,6\,} & 1
\end{array}\)
② 対応する「確率変数 \( X \) × 確率 \( P \)」をそれぞれ計算し、その和が期待値（平均） \( E(X)=m\) である。
\(\begin{eqnarray}~~~E(X)&=&\displaystyle \frac{\,1+2+3+4+5+6\,}{\,6\,}=\displaystyle \frac{\,7\,}{\,2\,}
\end{eqnarray}\)
確率変数の期待値（平均）の求め方は、
① 確率変数 \( X \) の確率分布を書く。
さいころ1個を投げたときの出た目の値の確率分布は、
\(\begin{array}{c|cccccc|c}
X & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 計 \\
\hline
P & \displaystyle\frac{\,1\,}{\,6\,} & \displaystyle\frac{\,1\,}{\,6\,} & \displaystyle\frac{\,1\,}{\,6\,} & \displaystyle\frac{\,1\,}{\,6\,} & \displaystyle\frac{\,1\,}{\,6\,} & \displaystyle\frac{\,1\,}{\,6\,} & 1
\end{array}\)
② 対応する「確率変数 \( X \) × 確率 \( P \)」をそれぞれ計算し、その和が期待値（平均） \( E(X)=m\) である。
\(\begin{eqnarray}~~~E(X)&=&\displaystyle \frac{\,1+2+3+4+5+6\,}{\,6\,}=\displaystyle \frac{\,7\,}{\,2\,}
\end{eqnarray}\)
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詳しい解説｜確率変数の期待値(平均)
統計的な推測 03100本のくじの中に、賞金1000円のくじが5本、賞金100円のくじが15本、残りははずれくじであり、このくじを1本引いて得られる賞金を \( X \) 円とするとき、確率変数 \( X \) の期待値(平均)の求め方は？
高校数学B｜統計的な推測
確率分布は、
\(\begin{array}{c|ccc|c}
X & 1000 & 100 & 0 & 計 \\
\hline
P & \displaystyle\frac{\,5\,}{\,100\,} & \displaystyle\frac{\,15\,}{\,100\,} & \displaystyle\frac{\,80\,}{\,100\,} & 1
\end{array}\)
確率分布の書き方はこちらから↓
確率変数 \( X \) × 確率 \( P \) の和より、
\(\begin{eqnarray}~~~E(X)&=&\displaystyle \frac{\,1000\times 5 \,+\, 100\times 15 \,+\, 0\times 80\,}{\,100\,}
\end{eqnarray}\)
※ 分母はすべて \(100\) より、（確率変数）×（分子）の和 と考えると計算しやすい。
\(\begin{eqnarray}\hspace{24pt}~~~&=&\displaystyle \frac{\,5000 \,+\, 1500 \,+\, 0\,}{\,100\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,6500\,}{\,100\,}
\\[3pt]~~~&=&65
\end{eqnarray}\)
したがって、期待値（平均）は \( 65 \) 円である
