組合せと確率分布・期待値(平均)

確率分布の書き方はこちらから↓

確率変数の期待値(平均)の求め方はこちらから↓

取り出す赤玉の個数が確率変数 \( X \) より、

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　\( X=0~,~1~,~2 \)

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\(\small [\,1\,]\) \( X=0 \) のとき

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　すべての場合の数は、
　赤玉2個、白玉3個から2個を取り出すので、

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　　\({}_5 \mathrm{C}_2=\displaystyle \frac{\,5\cdot 4\,}{\,2\cdot 1\,}=10\) 通り

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　白玉2個を取り出すのは、

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　　\({}_3 \mathrm{C}_2=\displaystyle \frac{\,3\cdot 2\,}{\,2\cdot 1\,}=3\) 通り

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よって、確率は \(\displaystyle \frac{\,3\,}{\,10\,}\)

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\(\small [\,2\,]\) \( X=1 \) のとき

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　すべての場合の数 10通りの中で、

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　赤玉1個、白玉1個を取り出すのは、

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　　\({}_2 \mathrm{C}_1 {\, \small \times \,} {}_3 \mathrm{C}_1=2{\, \small \times \,} 3=6\) 通り

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よって、確率は \(\displaystyle \frac{\,6\,}{\,10\,}\)　※ 約分はしない。

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\(\small [\,3\,]\) \( X=2 \) のとき

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　すべての場合の数 10通りの中で、

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　赤玉2個を取り出すのは、

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　　\({}_2 \mathrm{C}_2=1\) 通り

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よって、確率は \(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,10\,}\)

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\(\small [\,1\,]\) 〜 \(\small [\,3\,]\) より、確率分布は、

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\(\begin{array}{c|ccc|c}
X & 0 & 1 & 2 & 計 \\
\hline
P & \displaystyle\frac{\,3\,}{\,10\,} & \displaystyle\frac{\,6\,}{\,10\,} & \displaystyle\frac{\,1\,}{\,10\,} & 1
\end{array}\)

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※ 確率の合計が \(1\) であることを確認。

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期待値(平均)は、確率変数 \( X \) × 確率 \( P \) の和より、

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※ 分母はすべて \(10\) より、確率変数 × 分子の値 で考える。

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\(\begin{eqnarray}~~~E(X)&=&\displaystyle \frac{\,0{\, \small \times \,} 3+1{\, \small \times \,} 6+2{\, \small \times \,} 1\,}{\,10\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,0+6+2\,}{\,10\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,8\,}{\,10\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,4\,}{\,5\,}
\end{eqnarray}\)

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したがって、期待値（平均）は \(\displaystyle \frac{\,4\,}{\,5\,}\) となる