- 数学B｜統計的な推測「偏差と分散・標準偏差」の基本例題解説ページです。
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問題｜偏差と分散・標準偏差
高校数学B｜統計的な推測
解法のPoint
偏差と分散・標準偏差
偏差を用いた、分散＆標準偏差の求め方は、
① 確率変数 \( X \) の期待値を \( m \) を求める。
1個のさいころの出た目では、
\( m=\displaystyle \frac{\,1+2+3+4+5+6\,}{\,6\,}=\displaystyle \frac{\,7\,}{\,2\,} \)
② それぞれの確率変数と期待値との差＝偏差 \( X-m \) を求め、2乗した値を \( (X-m)^2 \) も求める。
確率分布の表の上に、偏差 \( X-m\) と
偏差の2乗の値 \( (X-m)^2 \) を書く。
(X-m)^2 & \displaystyle\frac{\,25\,}{\,4\,} & \displaystyle\frac{\,9\,}{\,4\,} & \displaystyle\frac{\,1\,}{\,4\,} & \displaystyle\frac{\,1\,}{\,4\,} & \displaystyle\frac{\,9\,}{\,4\,} & \displaystyle\frac{\,25\,}{\,4\,} & \\[5pt]
\hline
X-m & -\displaystyle\frac{\,5\,}{\,2\,} & -\displaystyle\frac{\,3\,}{\,2\,} & -\displaystyle\frac{\,1\,}{\,2\,} & \displaystyle\frac{\,1\,}{\,2\,} & \displaystyle\frac{\,3\,}{\,2\,} & \displaystyle\frac{\,5\,}{\,2\,} & \\[5pt]
\hline
X & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 計 \\
\hline
P & \displaystyle\frac{\,1\,}{\,6\,} & \displaystyle\frac{\,1\,}{\,6\,} & \displaystyle\frac{\,1\,}{\,6\,} & \displaystyle\frac{\,1\,}{\,6\,} & \displaystyle\frac{\,1\,}{\,6\,} & \displaystyle\frac{\,1\,}{\,6\,} & 1
\end{array}\)
③ 偏差の2乗 \( (X-m)^2 \) の期待値が分散 \( V(X) \) となる。
\(\begin{eqnarray}~V(X)&=&\displaystyle \frac{\,25\,}{\,4\,}\cdot\displaystyle \frac{\,1\,}{\,6\,}+\displaystyle \frac{\,9\,}{\,4\,}\cdot\displaystyle \frac{\,1\,}{\,6\,}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}\cdot\displaystyle \frac{\,1\,}{\,6\,}
\\[5pt]~&&+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}\cdot\displaystyle \frac{\,1\,}{\,6\,}
+\displaystyle \frac{\,9\,}{\,4\,}\cdot\displaystyle \frac{\,1\,}{\,6\,}
+\displaystyle \frac{\,25\,}{\,4\,}\cdot\displaystyle \frac{\,1\,}{\,6\,}
\\[5pt]~&=&\displaystyle \frac{\,70\,}{\,24\,}=\displaystyle \frac{\,35\,}{\,12\,}
\end{eqnarray}\)
④ 分散に平方根をとった値が標準偏差となる。
\(\begin{eqnarray}\sigma(X)=\sqrt{\,V(X)\,}=\sqrt{\,\displaystyle \frac{\,35\,}{\,12\,}\,}=\displaystyle \frac{\,\sqrt{105}\,}{\,6\,}
\end{eqnarray}\)
※ \( \sigma \) はシグマと読む。
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詳しい解説｜偏差と分散・標準偏差
高校数学B｜統計的な推測
確率変数 \( X \) の確率分布と期待値（平均）は、
\(\begin{array}{c|ccc|c}
X & 0 & 1 & 2 & 計 \\
\hline
P & \displaystyle\frac{\,3\,}{\,10\,} & \displaystyle\frac{\,6\,}{\,10\,} & \displaystyle\frac{\,1\,}{\,10\,} & 1
\end{array}\)
\(\begin{eqnarray}~~~E(X)=m&=&\displaystyle \frac{\,0\cdot 3+1\cdot 6+2\cdot 1\,}{\,10\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,4\,}{\,5\,}
\end{eqnarray}\)
この問題の期待値(平均)の求め方はこちらから↓
それぞれの偏差 \( X-m \) と偏差の2乗 \( (X-m)^2 \) を求めると、
\(X=0\) のとき、
\( X-m=0-\displaystyle \frac{\,4\,}{\,5\,}=-\displaystyle \frac{\,4\,}{\,5\,} \)
\(X=1\) のとき、
\( X-m=1-\displaystyle \frac{\,4\,}{\,5\,}=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,5\,} \)
\(X=2\) のとき、
\( X-m=2-\displaystyle \frac{\,4\,}{\,5\,}=\displaystyle \frac{\,6\,}{\,5\,} \)
\(\begin{array}{c|ccc|c}
(X-m)^2 & \displaystyle \frac{\,16\,}{\,25\,} & \displaystyle \frac{\,1\,}{\,25\,} & \displaystyle \frac{\,36\,}{\,25\,} & 計 \\[5pt]
\hline
X-m & -\displaystyle \frac{\,4\,}{\,5\,} & \displaystyle \frac{\,1\,}{\,5\,} & \displaystyle \frac{\,6\,}{\,5\,} & 計 \\[5pt]
\hline
X & 0 & 1 & 2 & 計 \\
\hline
P & \displaystyle\frac{\,3\,}{\,10\,} & \displaystyle\frac{\,6\,}{\,10\,} & \displaystyle\frac{\,1\,}{\,10\,} & 1
\end{array}\)
偏差の2乗の期待値が分散 \( V(X) \) となるので、
\( (X-m)^2\times P \) の和より、
\(\begin{eqnarray}~~~V(X)&=&\displaystyle \frac{\,16\,}{\,25\,}\cdot\displaystyle \frac{\,3\,}{\,10\,}
+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,25\,}\cdot\displaystyle \frac{\,6\,}{\,10\,}
+\displaystyle \frac{\,36\,}{\,25\,}\cdot\displaystyle \frac{\,1\,}{\,10\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,48+6+36\,}{\,250\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,90\,}{\,250\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,9\,}{\,25\,}
\end{eqnarray}\)
また、標準偏差 \( \sigma(X) \) は、
分散 \( V(X) \) に平方根をとると、
\(\begin{eqnarray}~~~\sigma(X)&=&\sqrt{\,V(X)\,}
\\[5pt]~~~&=&\sqrt{\,\displaystyle \frac{\,9\,}{\,25\,}\,}=\displaystyle \frac{\,3\,}{\,5\,}
\end{eqnarray}\)
したがって、
分散 \( V(X)=\displaystyle \frac{\,9\,}{\,25\,} \)
標準偏差 \( \sigma(X)=\displaystyle \frac{\,3\,}{\,5\,} \)
となる
