偏差と分散・標準偏差

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問題アーカイブ01
問題アーカイブ02
問題アーカイブ03

問題アーカイブ01

問題アーカイブ011個のさいころを1回投げたときに出る目を \( X \) とするとき、\( X \) の分散と標準偏差を求めよ。

数研出版｜数学Ｂ[710] p.59 練習4

確率変数 \( X \) の確率分布と期待値（平均）は、

\(\begin{array}{c|cccccc|c}
X & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 計 \\
\hline
P & \displaystyle\frac{\,1\,}{\,6\,} & \displaystyle\frac{\,1\,}{\,6\,} & \displaystyle\frac{\,1\,}{\,6\,} & \displaystyle\frac{\,1\,}{\,6\,} & \displaystyle\frac{\,1\,}{\,6\,} & \displaystyle\frac{\,1\,}{\,6\,} & 1
\end{array}\)

\(\begin{eqnarray}~~~E(X)=m&=&\displaystyle \frac{\,1\cdot 1+2\cdot 1+3\cdot 1+4\cdot 1+5\cdot 1+6\cdot 1\,}{\,6\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,21\,}{\,6\,}=\displaystyle \frac{\,7\,}{\,2\,}
\end{eqnarray}\)

それぞれの偏差 \( X-m \) と偏差の2乗 \( (X-m)^2 \) を求めると、

　\(X=1\) のとき、

　　\( X-m=1-\displaystyle \frac{\,7\,}{\,2\,}=-\displaystyle \frac{\,5\,}{\,2\,} \)

　\(X=2\) のとき、

　　\( X-m=2-\displaystyle \frac{\,7\,}{\,2\,}=-\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,} \)

　\(X=3\) のとき、

　　\( X-m=3-\displaystyle \frac{\,7\,}{\,2\,}=-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,} \)

　\(X=4\) のとき、

　　\( X-m=4-\displaystyle \frac{\,7\,}{\,2\,}=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,} \)

　\(X=5\) のとき、

　　\( X-m=5-\displaystyle \frac{\,7\,}{\,2\,}=\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,} \)

　\(X=6\) のとき、

　　\( X-m=6-\displaystyle \frac{\,7\,}{\,2\,}=\displaystyle \frac{\,5\,}{\,2\,} \)

\(\begin{array}{c|cccccc|c}
(X-m)^2 & \displaystyle \frac{\,25\,}{\,4\,} & \displaystyle \frac{\,9\,}{\,4\,} & \displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,} & \displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,} & \displaystyle \frac{\,9\,}{\,4\,} & \displaystyle \frac{\,25\,}{\,4\,} & \\[5pt]
\hline
X-m & -\displaystyle \frac{\,5\,}{\,2\,} & -\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,} & -\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,} & \displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,} & \displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,} & \displaystyle \frac{\,5\,}{\,2\,} & \\[5pt]
\hline
X & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 計 \\
\hline
P & \displaystyle\frac{\,1\,}{\,6\,} & \displaystyle\frac{\,1\,}{\,6\,} & \displaystyle\frac{\,1\,}{\,6\,} & \displaystyle\frac{\,1\,}{\,6\,} & \displaystyle\frac{\,1\,}{\,6\,} & \displaystyle\frac{\,1\,}{\,6\,} & 1
\end{array}\)

偏差の2乗の期待値が分散 \( V(X) \) となるので、

\( (X-m)^2\times P \) の和より、

\(\begin{eqnarray}~~~V(X)&=&\displaystyle \frac{\,25\,}{\,4\,}\cdot\displaystyle \frac{\,1\,}{\,6\,}
+\displaystyle \frac{\,9\,}{\,4\,}\cdot\displaystyle \frac{\,1\,}{\,6\,}
+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}\cdot\displaystyle \frac{\,1\,}{\,6\,}
+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}\cdot\displaystyle \frac{\,1\,}{\,6\,}
+\displaystyle \frac{\,9\,}{\,4\,}\cdot\displaystyle \frac{\,1\,}{\,6\,}
+\displaystyle \frac{\,25\,}{\,4\,}\cdot\displaystyle \frac{\,1\,}{\,6\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,25+9+1+1+9+25\,}{\,24\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,70\,}{\,24\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,35\,}{\,12\,}
\end{eqnarray}\)

また、標準偏差 \( \sigma(X) \) は、

分散 \( V(X) \) に平方根をとると、

\(\begin{eqnarray}~~~\sigma(X)&=&\sqrt{\,V(X)\,}
\\[5pt]~~~&=&\sqrt{\,\displaystyle \frac{\,35\,}{\,12\,}\,}=\displaystyle \frac{\,\sqrt{105}\,}{\,6\,}
\end{eqnarray}\)

したがって、

　分散 \( V(X)=\displaystyle \frac{\,35\,}{\,12\,} \)

　標準偏差 \( \sigma(X)=\displaystyle \frac{\,\sqrt{105}\,}{\,6\,} \)

となる

問題アーカイブ02

問題アーカイブ02確率変数 \( X \) の確率分布が次の表で与えられるとき、\( X \) の分散を求めよ。
\(\begin{array}{c|ccc|c}
X & 0 & 1 & 2 & 計 \\
\hline
P & \displaystyle\frac{\,1\,}{\,10\,} & \displaystyle\frac{\,6\,}{\,10\,} & \displaystyle\frac{\,3\,}{\,10\,} & 1
\end{array}\)

数研出版｜高等学校数学Ｂ[711] p.59 練習6
数研出版｜新編数学Ｂ[712] p.56 練習6

確率変数 \( X \) の確率分布と期待値（平均）は、

\(\begin{array}{c|ccc|c}
X & 0 & 1 & 2 & 計 \\
\hline
P & \displaystyle\frac{\,1\,}{\,10\,} & \displaystyle\frac{\,6\,}{\,10\,} & \displaystyle\frac{\,3\,}{\,10\,} & 1
\end{array}\)

\(\begin{eqnarray}~~~E(X)=m&=&\displaystyle \frac{\,0\cdot 1+1\cdot 6+2\cdot 3\,}{\,10\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,12\,}{\,10\,}=\displaystyle \frac{\,6\,}{\,5\,}
\end{eqnarray}\)

それぞれの偏差 \( X-m \) と偏差の2乗 \( (X-m)^2 \) を求めると、

　\(X=0\) のとき、

　　\( X-m=0-\displaystyle \frac{\,6\,}{\,5\,}=-\displaystyle \frac{\,6\,}{\,5\,} \)

　\(X=1\) のとき、

　　\( X-m=1-\displaystyle \frac{\,6\,}{\,5\,}=-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,5\,} \)

　\(X=2\) のとき、

　　\( X-m=2-\displaystyle \frac{\,6\,}{\,5\,}=\displaystyle \frac{\,4\,}{\,5\,} \)

\(\begin{array}{c|ccc|c}
(X-m)^2 & \displaystyle \frac{\,36\,}{\,25\,} & \displaystyle \frac{\,1\,}{\,25\,} & \displaystyle \frac{\,16\,}{\,25\,} & \\[5pt]
\hline
X-m & -\displaystyle \frac{\,6\,}{\,5\,} & -\displaystyle \frac{\,1\,}{\,5\,} & \displaystyle \frac{\,4\,}{\,5\,} & \\[5pt]
\hline
X & 0 & 1 & 2 & 計 \\
\hline
P & \displaystyle\frac{\,1\,}{\,10\,} & \displaystyle\frac{\,6\,}{\,10\,} & \displaystyle\frac{\,3\,}{\,10\,} & 1
\end{array}\)

偏差の2乗の期待値が分散 \( V(X) \) となるので、

\( (X-m)^2\times P \) の和より、

\(\begin{eqnarray}~~~V(X)&=&\displaystyle \frac{\,36\,}{\,25\,}\cdot\displaystyle \frac{\,1\,}{\,10\,}
+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,25\,}\cdot\displaystyle \frac{\,6\,}{\,10\,}
+\displaystyle \frac{\,16\,}{\,25\,}\cdot\displaystyle \frac{\,3\,}{\,10\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,36+6+48\,}{\,250\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,90\,}{\,250\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,9\,}{\,25\,}
\end{eqnarray}\)

したがって、

　分散 \( V(X)=\displaystyle \frac{\,9\,}{\,25\,} \)

となる

問題アーカイブ03

問題アーカイブ03確率変数 \( X \)，\( Y \) が、次の表の確率分布に従うとする。\( Y \) の分散を計算して、例4の \( X \) の分散と比較せよ。
\(\begin{array}{c|ccccc|c}
Y & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 計 \\
\hline
P & \displaystyle\frac{\,2\,}{\,10\,} & \displaystyle\frac{\,2\,}{\,10\,} & \displaystyle\frac{\,2\,}{\,10\,} & \displaystyle\frac{\,2\,}{\,10\,} & \displaystyle\frac{\,2\,}{\,10\,} & 1
\end{array}\)

東京書籍｜Standard数学Ｂ[702] p.67 問5

確率変数 \( Y \) の確率分布と期待値（平均）は、

\(\begin{array}{c|ccccc|c}
Y & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 計 \\
\hline
P & \displaystyle\frac{\,2\,}{\,10\,} & \displaystyle\frac{\,2\,}{\,10\,} & \displaystyle\frac{\,2\,}{\,10\,} & \displaystyle\frac{\,2\,}{\,10\,} & \displaystyle\frac{\,2\,}{\,10\,} & 1
\end{array}\)

\(\begin{eqnarray}~~~E(Y)=m&=&\displaystyle \frac{\,1\cdot 2+2\cdot 2+3\cdot 2+4\cdot 2+5\cdot 2\,}{\,10\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,2+4+6+8+10\,}{\,10\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,30\,}{\,10\,}=3
\end{eqnarray}\)

それぞれの偏差 \( Y-m \) と偏差の2乗 \( (Y-m)^2 \) を求めると、

　\(Y=1\) のとき、

　　\( Y-m=1-3=-2 \)

　\(Y=2\) のとき、

　　\( Y-m=2-3=-1 \)

　\(Y=3\) のとき、

　　\( Y-m=3-3=0 \)

　\(Y=4\) のとき、

　　\( Y-m=4-3=1 \)

　\(Y=5\) のとき、

　　\( Y-m=5-3=2 \)

\(\begin{array}{c|ccccc|c}
(Y-m)^2 & 4 & 1 & 0 & 1 & 4 & \\[5pt]
\hline
Y-m & -2 & -1 & 0 & 1 & 2 & \\[5pt]
\hline
Y & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 計 \\
\hline
P & \displaystyle\frac{\,2\,}{\,10\,} & \displaystyle\frac{\,2\,}{\,10\,} & \displaystyle\frac{\,2\,}{\,10\,} & \displaystyle\frac{\,2\,}{\,10\,} & \displaystyle\frac{\,2\,}{\,10\,} & 1
\end{array}\)

偏差の2乗の期待値が分散 \( V(Y) \) となるので、

\( (Y-m)^2\times P \) の和より、

\(\begin{eqnarray}~~~V(Y)&=&4\cdot\displaystyle \frac{\,2\,}{\,10\,}
+1\cdot\displaystyle \frac{\,2\,}{\,10\,}
+0\cdot\displaystyle \frac{\,2\,}{\,10\,}
+1\cdot\displaystyle \frac{\,2\,}{\,10\,}
+4\cdot\displaystyle \frac{\,2\,}{\,10\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,8+2+0+2+8\,}{\,10\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,20\,}{\,10\,}=2
\end{eqnarray}\)

例4の \( X \) の分散と比較すると、

　\( V(X)=\displaystyle \frac{\,3\,}{\,5\,} \)，\( V(Y)=2 \)

より、\( V(X)\lt V(Y) \) となる

※ \( X \) と \( Y \) は期待値（平均）が同じだが、分散は \( Y \) の方が大きい。

　つまり、\( Y \) の方が散らばりが大きい。