- 数学B｜統計的な推測「確率変数の2乗と分散・標準偏差」の基本例題解説ページです。
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問題｜確率変数の2乗と分散・標準偏差
高校数学B｜統計的な推測
解法のPoint
確率変数の2乗と分散・標準偏差
確率変数の2乗の値の期待値(平均)を用いた分散・標準偏差の求め方は、
① 確率変数 \(X\) の期待値を求める。
1個のさいころの出た目では、
\( m=\displaystyle \frac{\,1+2+3+4+5+6\,}{\,6\,}=\displaystyle \frac{\,7\,}{\,2\,} \)
② 確率変数 \(X\) の2乗の値の期待値(平均) \(E \left(X^2\right)\) を求める。
確率分布の表の上に \(X^2\) の値を書く。
\(\begin{array}{c|cccccc|c}
X^2 & 1 & 4 & 9 & 16 & 25 & 36 & \\[5pt]
\hline
X & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 計 \\
\hline
P & \displaystyle\frac{\,1\,}{\,6\,} & \displaystyle\frac{\,1\,}{\,6\,} & \displaystyle\frac{\,1\,}{\,6\,} & \displaystyle\frac{\,1\,}{\,6\,} & \displaystyle\frac{\,1\,}{\,6\,} & \displaystyle\frac{\,1\,}{\,6\,} & 1
\end{array}\)
\(\begin{eqnarray}~~~E \left(X^2\right)&=&\displaystyle \frac{\,1+4+9+16+25+36\,}{\,6\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,91\,}{\,6\,}
\end{eqnarray}\)
③ \(X\) の2乗の期待値から \(X\) の期待値の2乗 \(m^2\) を引いた値が分散 \(V(X)\) となる。
\(\begin{eqnarray}~~~V(X)&=&E\left(X^2\right)-m^2
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,91\,}{\,6\,}-\left(\displaystyle \frac{\,7\,}{\,2\,}\right)^2=\displaystyle \frac{\,35\,}{\,12\,}
\end{eqnarray}\)
④ 分散に平方根をとった値が標準偏差となる。
\(\begin{eqnarray}\sigma(X)=\sqrt{\,V(X)\,}=\sqrt{\,\displaystyle \frac{\,35\,}{\,12\,}\,}=\displaystyle \frac{\,\sqrt{105}\,}{\,6\,}
\end{eqnarray}\)
※ \( \sigma \) はシグマと読む。
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詳しい解説｜確率変数の2乗と分散・標準偏差
赤玉2個、白玉3個の中から同時に2個の玉を取り出し、赤玉の個数を \( X \) とするとき、確率変数 \( X \) の分散と標準偏差を \( X^2 \) の期待値(平均)から求める方法は？
高校数学B｜統計的な推測
確率変数 \( X \) の確率分布と期待値（平均）は、
\(\begin{array}{c|ccc|c}
X & 0 & 1 & 2 & 計 \\
\hline
P & \displaystyle\frac{\,3\,}{\,10\,} & \displaystyle\frac{\,6\,}{\,10\,} & \displaystyle\frac{\,1\,}{\,10\,} & 1
\end{array}\)
\(\begin{eqnarray}~~~E(X)=m&=&\displaystyle \frac{\,0\cdot 3+1\cdot 6+2\cdot 1\,}{\,10\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,4\,}{\,5\,}
\end{eqnarray}\)
この問題の期待値(平均)の求め方はこちらから↓
それぞれの確率変数 \(X\) の2乗の値 \(X^2\) を求めると、
\(\begin{array}{c|ccc|c}
X^2 & 0 & 1 & 4 & \\[5pt]
\hline
X & 0 & 1 & 2 & 計 \\
\hline
P & \displaystyle\frac{\,3\,}{\,10\,} & \displaystyle\frac{\,6\,}{\,10\,} & \displaystyle\frac{\,1\,}{\,10\,} & 1
\end{array}\)
\(X^2\) の期待値(平均)は、
\(\begin{eqnarray}E(X^2)&=& \displaystyle \frac{\,0\cdot3\,+\,1\cdot6\,+\,4\cdot1\,}{\,10\,}
\\[5pt]&=& \displaystyle \frac{\,0+6+4\,}{\,10\,}\\[3pt]
&=& \displaystyle \frac{\,10\,}{\,10\,}=1
\end{eqnarray}\)
これより、分散 \(V(X)\) は、\(X^2\) の期待値(平均)から \(X\) の期待値の2乗 \(m^2\) を引いた値より、
\(\begin{eqnarray}V(X)&=& E\left(X^2\right)-m^2
\\[5pt]&=& 1-\left(\displaystyle \frac{\,4\,}{\,5\,}\right)^2
\\[5pt]&=& 1-\displaystyle \frac{\,16\,}{\,25\,}
\\[5pt]&=& \displaystyle \frac{\,25-16\,}{\,25\,}=\displaystyle \frac{\,9\,}{\,25\,}
\end{eqnarray}\)
また、標準偏差 \( \sigma(X) \) は、
分散 \( V(X) \) に平方根をとると、
\(\begin{eqnarray}~~~\sigma(X)&=&\sqrt{\,V(X)\,}
\\[5pt]~~~&=&\sqrt{\,\displaystyle \frac{\,9\,}{\,25\,}\,}=\displaystyle \frac{\,3\,}{\,5\,}
\end{eqnarray}\)
したがって、
分散 \( V(X)=\displaystyle \frac{\,9\,}{\,25\,} \)
標準偏差 \( \sigma(X)=\displaystyle \frac{\,3\,}{\,5\,} \)
となる
