確率変数の2乗と分散・標準偏差

数研出版｜数学Ｂ[710] p.60 練習5

取り出す赤玉の個数が確率変数 \( X \) より、

---

　\( X=1~,~2~,~3 \)

---

\(\small [\,1\,]\) \( X=1 \) のとき

---

　すべての場合の数は、
　赤玉3個、白玉2個から3個を取り出すので、

---

　　\({}_5 \mathrm{C}_3=\displaystyle \frac{\,5\cdot 4\cdot 3\,}{\,3\cdot 2\cdot 1\,}=10\) 通り

---

　赤玉1個、白玉2個を取り出すのは、

---

　　\({}_3 \mathrm{C}_1 {\, \small \times \,} {}_2 \mathrm{C}_2=3{\, \small \times \,} 1=3\) 通り

---

よって、確率は \(\displaystyle \frac{\,3\,}{\,10\,}\)

---

\(\small [\,2\,]\) \( X=2 \) のとき

---

　すべての場合の数 10通りの中で、

---

　赤玉2個、白玉1個を取り出すのは、

---

　　\({}_3 \mathrm{C}_2 {\, \small \times \,} {}_2 \mathrm{C}_1=3{\, \small \times \,} 2=6\) 通り

---

よって、確率は \(\displaystyle \frac{\,6\,}{\,10\,}\)　※ 約分はしない。

---

\(\small [\,3\,]\) \( X=3 \) のとき

---

　すべての場合の数 10通りの中で、

---

　赤玉3個を取り出すのは、

---

　　\({}_3 \mathrm{C}_3=1\) 通り

---

よって、確率は \(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,10\,}\)

---

\(\small [\,1\,]\) 〜 \(\small [\,3\,]\) より、確率分布は、

---

\(\begin{array}{c|ccc|c}
X & 1 & 2 & 3 & 計 \\
\hline
P & \displaystyle\frac{\,3\,}{\,10\,} & \displaystyle\frac{\,6\,}{\,10\,} & \displaystyle\frac{\,1\,}{\,10\,} & 1
\end{array}\)

---

※ 確率の合計が \(1\) であることを確認。

---

期待値(平均)は、確率変数 \( X \) × 確率 \( P \) の和より、

---

※ 分母はすべて \(10\) より、確率変数 × 分子の値 で考える。

---

\(\begin{eqnarray}~~~E(X)&=&\displaystyle \frac{\,1{\, \small \times \,} 3+2{\, \small \times \,} 6+3{\, \small \times \,} 1\,}{\,10\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,3+12+3\,}{\,10\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,18\,}{\,10\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,9\,}{\,5\,}
\end{eqnarray}\)

---

それぞれの確率変数 \(X\) の2乗の値 \(X^2\) を求めると、

---

\(\begin{array}{c|ccc|c}
X^2 & 1 & 4 & 9 & \\[5pt]
\hline
X & 1 & 2 & 3 & 計 \\
\hline
P & \displaystyle\frac{\,3\,}{\,10\,} & \displaystyle\frac{\,6\,}{\,10\,} & \displaystyle\frac{\,1\,}{\,10\,} & 1
\end{array}\)

---

\(X^2\) の期待値(平均)は、

---

\(\begin{eqnarray}E(X^2)&=& \displaystyle \frac{\,1\cdot3\,+\,4\cdot6\,+\,9\cdot1\,}{\,10\,}
\\[5pt]&=& \displaystyle \frac{\,3+24+9\,}{\,10\,}\\[3pt]
&=& \displaystyle \frac{\,36\,}{\,10\,}=\displaystyle \frac{\,18\,}{\,5\,}
\end{eqnarray}\)

---

これより、分散 \(V(X)\) は、\(X^2\) の期待値(平均)から \(X\) の期待値の2乗 \(m^2\) を引いた値より、

---

\(\begin{eqnarray}V(X)&=& E\left(X^2\right)-m^2
\\[5pt]&=& \displaystyle \frac{\,18\,}{\,5\,}-\left(\displaystyle \frac{\,9\,}{\,5\,}\right)^2
\\[5pt]&=& \displaystyle \frac{\,18\,}{\,5\,}-\displaystyle \frac{\,81\,}{\,25\,}
\\[5pt]&=& \displaystyle \frac{\,90-81\,}{\,25\,}=\displaystyle \frac{\,9\,}{\,25\,}
\end{eqnarray}\)

---

また、標準偏差 \( \sigma(X) \) は、

---

分散 \( V(X) \) に平方根をとると、

---

\(\begin{eqnarray}~~~\sigma(X)&=&\sqrt{\,V(X)\,}
\\[5pt]~~~&=&\sqrt{\,\displaystyle \frac{\,9\,}{\,25\,}\,}=\displaystyle \frac{\,3\,}{\,5\,}
\end{eqnarray}\)

---

したがって、

---

　分散 \( V(X)=\displaystyle \frac{\,9\,}{\,25\,} \)

---

　標準偏差 \( \sigma(X)=\displaystyle \frac{\,3\,}{\,5\,} \)

---

となる

数研出版｜数学Ｂ[710] p.87 問題 1

出る目の差の絶対値が確率変数 \( X \) より、

---

　\( X=0~,~1~,~2~,~3~,~4~,~5 \)

---

すべての場合の数は、
さいころを2回投げるので、

---

　　\(6^2=36\) 通り

---

\(\small [\,1\,]\) \( X=0 \) のとき

---

　2回とも同じ目が出るのは、

---

　　\(6\) 通り

---

よって、確率は \(\displaystyle \frac{\,6\,}{\,36\,}\)

---

\(\small [\,2\,]\) \( X=1 \) のとき

---

　目の差の絶対値が1となるのは、

---

　　\((1~,~2)~,~(2~,~1)~,~(2~,~3)~,~(3~,~2)~,~\cdots\) より \(10\) 通り

---

よって、確率は \(\displaystyle \frac{\,10\,}{\,36\,}\)

---

\(\small [\,3\,]\) \( X=2 \) のとき

---

　目の差の絶対値が2となるのは、

---

　　\((1~,~3)~,~(3~,~1)~,~(2~,~4)~,~(4~,~2)~,~\cdots\) より \(8\) 通り

---

よって、確率は \(\displaystyle \frac{\,8\,}{\,36\,}\)

---

\(\small [\,4\,]\) \( X=3 \) のとき

---

　目の差の絶対値が3となるのは、

---

　　\((1~,~4)~,~(4~,~1)~,~(2~,~5)~,~(5~,~2)~,~\cdots\) より \(6\) 通り

---

よって、確率は \(\displaystyle \frac{\,6\,}{\,36\,}\)

---

\(\small [\,5\,]\) \( X=4 \) のとき

---

　目の差の絶対値が4となるのは、

---

　　\((1~,~5)~,~(5~,~1)~,~(2~,~6)~,~(6~,~2)\) より \(4\) 通り

---

よって、確率は \(\displaystyle \frac{\,4\,}{\,36\,}\)

---

\(\small [\,6\,]\) \( X=5 \) のとき

---

　目の差の絶対値が5となるのは、

---

　　\((1~,~6)~,~(6~,~1)\) より \(2\) 通り

---

よって、確率は \(\displaystyle \frac{\,2\,}{\,36\,}\)

---

\(\small [\,1\,]\) 〜 \(\small [\,6\,]\) より、確率分布は、

---

---

※ 確率の合計が \(1\) であることを確認。

---

期待値(平均)は、確率変数 \( X \) × 確率 \( P \) の和より、

---

※ 分母はすべて \(36\) より、確率変数 × 分子の値 で考える。

---

---

それぞれの確率変数 \(X\) の2乗の値 \(X^2\) を求めると、

---

---

\(X^2\) の期待値(平均)は、

---

---

これより、分散 \(V(X)\) は、\(X^2\) の期待値(平均)から \(X\) の期待値の2乗 \(m^2\) を引いた値より、

---

\(\begin{eqnarray}~~~V(X)&=& E\left(X^2\right)-m^2
\\[5pt]&=& \displaystyle \frac{\,35\,}{\,6\,}-\left(\displaystyle \frac{\,35\,}{\,18\,}\right)^2
\\[5pt]&=& \displaystyle \frac{\,35\,}{\,6\,}-\displaystyle \frac{\,1225\,}{\,324\,}
\\[5pt]&=& \displaystyle \frac{\,1890-1225\,}{\,324\,}=\displaystyle \frac{\,665\,}{\,324\,}
\end{eqnarray}\)

---

したがって、

---

　期待値 \( E(X)=\displaystyle \frac{\,35\,}{\,18\,} \)

---

　分散 \( V(X)=\displaystyle \frac{\,665\,}{\,324\,} \)

---

となる

数研出版｜高等学校数学Ｂ[711] p.59 練習7
数研出版｜新編数学Ｂ[712] p.57 練習7

取り出す白玉の個数が確率変数 \( X \) より、

---

　\( X=0~,~1~,~2 \)

---

\(\small [\,1\,]\) \( X=0 \) のとき

---

　すべての場合の数は、
　白玉2個、黒玉3個から2個を取り出すので、

---

　　\({}_5 \mathrm{C}_2=\displaystyle \frac{\,5\cdot 4\,}{\,2\cdot 1\,}=10\) 通り

---

　黒玉2個を取り出すのは、

---

　　\({}_3 \mathrm{C}_2=\displaystyle \frac{\,3\cdot 2\,}{\,2\cdot 1\,}=3\) 通り

---

よって、確率は \(\displaystyle \frac{\,3\,}{\,10\,}\)

---

\(\small [\,2\,]\) \( X=1 \) のとき

---

　すべての場合の数 10通りの中で、

---

　白玉1個、黒玉1個を取り出すのは、

---

　　\({}_2 \mathrm{C}_1 {\, \small \times \,} {}_3 \mathrm{C}_1=2{\, \small \times \,} 3=6\) 通り

---

よって、確率は \(\displaystyle \frac{\,6\,}{\,10\,}\)　※ 約分はしない。

---

\(\small [\,3\,]\) \( X=2 \) のとき

---

　すべての場合の数 10通りの中で、

---

　白玉2個を取り出すのは、

---

　　\({}_2 \mathrm{C}_2=1\) 通り

---

よって、確率は \(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,10\,}\)

---

\(\small [\,1\,]\) 〜 \(\small [\,3\,]\) より、確率分布は、

---

\(\begin{array}{c|ccc|c}
X & 0 & 1 & 2 & 計 \\
\hline
P & \displaystyle\frac{\,3\,}{\,10\,} & \displaystyle\frac{\,6\,}{\,10\,} & \displaystyle\frac{\,1\,}{\,10\,} & 1
\end{array}\)

---

※ 確率の合計が \(1\) であることを確認。

---

期待値(平均)は、確率変数 \( X \) × 確率 \( P \) の和より、

---

※ 分母はすべて \(10\) より、確率変数 × 分子の値 で考える。

---

\(\begin{eqnarray}~~~E(X)&=&\displaystyle \frac{\,0{\, \small \times \,} 3+1{\, \small \times \,} 6+2{\, \small \times \,} 1\,}{\,10\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,0+6+2\,}{\,10\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,8\,}{\,10\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,4\,}{\,5\,}
\end{eqnarray}\)

---

それぞれの確率変数 \(X\) の2乗の値 \(X^2\) を求めると、

---

\(\begin{array}{c|ccc|c}
X^2 & 0 & 1 & 4 & \\[5pt]
\hline
X & 0 & 1 & 2 & 計 \\
\hline
P & \displaystyle\frac{\,3\,}{\,10\,} & \displaystyle\frac{\,6\,}{\,10\,} & \displaystyle\frac{\,1\,}{\,10\,} & 1
\end{array}\)

---

\(X^2\) の期待値(平均)は、

---

\(\begin{eqnarray}~~~E(X^2)&=& \displaystyle \frac{\,0\cdot3\,+\,1\cdot6\,+\,4\cdot1\,}{\,10\,}
\\[5pt]&=& \displaystyle \frac{\,0+6+4\,}{\,10\,}\\[3pt]
&=& \displaystyle \frac{\,10\,}{\,10\,}=1
\end{eqnarray}\)

---

これより、分散 \(V(X)\) は、\(X^2\) の期待値(平均)から \(X\) の期待値の2乗 \(m^2\) を引いた値より、

---

\(\begin{eqnarray}~~~V(X)&=& E\left(X^2\right)-m^2
\\[5pt]&=& 1-\left(\displaystyle \frac{\,4\,}{\,5\,}\right)^2
\\[5pt]&=& 1-\displaystyle \frac{\,16\,}{\,25\,}
\\[5pt]&=& \displaystyle \frac{\,25-16\,}{\,25\,}=\displaystyle \frac{\,9\,}{\,25\,}
\end{eqnarray}\)

---

したがって、

---

　分散 \( V(X)=\displaystyle \frac{\,9\,}{\,25\,} \)

---

となる

数研出版｜高等学校数学Ｂ[711] p.60 練習8
数研出版｜新編数学Ｂ[712] p.58 練習8

期待値(平均)は、確率変数 \( X \) × 確率 \( P \) の和より、

---

※ 分母はすべて \(6\) より、確率変数 × 分子の値 で考える。

---

\(\begin{eqnarray}~~~E(X)&=&\displaystyle \frac{\,0{\, \small \times \,} 3+1{\, \small \times \,} 2+2{\, \small \times \,} 1\,}{\,6\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,0+2+2\,}{\,6\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,4\,}{\,6\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}
\end{eqnarray}\)

---

それぞれの確率変数 \(X\) の2乗の値 \(X^2\) を求めると、

---

\(\begin{array}{c|ccc|c}
X^2 & 0 & 1 & 4 & \\[5pt]
\hline
X & 0 & 1 & 2 & 計 \\
\hline
P & \displaystyle\frac{\,3\,}{\,6\,} & \displaystyle\frac{\,2\,}{\,6\,} & \displaystyle\frac{\,1\,}{\,6\,} & 1
\end{array}\)

---

\(X^2\) の期待値(平均)は、

---

\(\begin{eqnarray}E(X^2)&=& \displaystyle \frac{\,0\cdot3\,+\,1\cdot2\,+\,4\cdot1\,}{\,6\,}
\\[5pt]&=& \displaystyle \frac{\,0+2+4\,}{\,6\,}\\[3pt]
&=& \displaystyle \frac{\,6\,}{\,6\,}=1
\end{eqnarray}\)

---

\({\small (1)}~\) 分散 \(V(X)\) は、\(X^2\) の期待値(平均)から \(X\) の期待値の2乗 \(m^2\) を引いた値より、

---

\(\begin{eqnarray}V(X)&=& E\left(X^2\right)-m^2
\\[5pt]&=& 1-\left(\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}\right)^2
\\[5pt]&=& 1-\displaystyle \frac{\,4\,}{\,9\,}
\\[5pt]&=& \displaystyle \frac{\,9-4\,}{\,9\,}=\displaystyle \frac{\,5\,}{\,9\,}
\end{eqnarray}\)

---

\({\small (2)}~\) 標準偏差 \( \sigma(X) \) は、

---

分散 \( V(X) \) に平方根をとると、

---

\(\begin{eqnarray}~~~\sigma(X)&=&\sqrt{\,V(X)\,}
\\[5pt]~~~&=&\sqrt{\,\displaystyle \frac{\,5\,}{\,9\,}\,}=\displaystyle \frac{\,\sqrt{5}\,}{\,3\,}
\end{eqnarray}\)

---

したがって、

---

　\({\small (1)}~\) 分散 \( V(X)=\displaystyle \frac{\,5\,}{\,9\,} \)

---

　\({\small (2)}~\) 標準偏差 \( \sigma(X)=\displaystyle \frac{\,\sqrt{5}\,}{\,3\,} \)

---

となる

数研出版｜高等学校数学Ｂ[711] p.85 問題 1

札の番号が確率変数 \( X \) より、

---

　\( X=1~,~2~,~3 \)

---

すべての場合の数は、
札の合計枚数より、

---

　　\(3+4+5=12\) 枚

---

\(\small [\,1\,]\) \( X=1 \) のとき

---

　番号1の札を取り出すのは、

---

　　\(3\) 枚

---

よって、確率は \(\displaystyle \frac{\,3\,}{\,12\,}\)

---

\(\small [\,2\,]\) \( X=2 \) のとき

---

　番号2の札を取り出すのは、

---

　　\(4\) 枚

---

よって、確率は \(\displaystyle \frac{\,4\,}{\,12\,}\)　※ 約分はしない。

---

\(\small [\,3\,]\) \( X=3 \) のとき

---

　番号3の札を取り出すのは、

---

　　\(5\) 枚

---

よって、確率は \(\displaystyle \frac{\,5\,}{\,12\,}\)

---

\(\small [\,1\,]\) 〜 \(\small [\,3\,]\) より、確率分布は、

---

\(\begin{array}{c|ccc|c}
X & 1 & 2 & 3 & 計 \\
\hline
P & \displaystyle\frac{\,3\,}{\,12\,} & \displaystyle\frac{\,4\,}{\,12\,} & \displaystyle\frac{\,5\,}{\,12\,} & 1
\end{array}\)

---

※ 確率の合計が \(1\) であることを確認。

---

期待値(平均)は、確率変数 \( X \) × 確率 \( P \) の和より、

---

※ 分母はすべて \(12\) より、確率変数 × 分子の値 で考える。

---

\(\begin{eqnarray}~~~E(X)&=&\displaystyle \frac{\,1{\, \small \times \,} 3+2{\, \small \times \,} 4+3{\, \small \times \,} 5\,}{\,12\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,3+8+15\,}{\,12\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,26\,}{\,12\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,13\,}{\,6\,}
\end{eqnarray}\)

---

それぞれの確率変数 \(X\) の2乗の値 \(X^2\) を求めると、

---

\(\begin{array}{c|ccc|c}
X^2 & 1 & 4 & 9 & \\[5pt]
\hline
X & 1 & 2 & 3 & 計 \\
\hline
P & \displaystyle\frac{\,3\,}{\,12\,} & \displaystyle\frac{\,4\,}{\,12\,} & \displaystyle\frac{\,5\,}{\,12\,} & 1
\end{array}\)

---

\(X^2\) の期待値(平均)は、

---

\(\begin{eqnarray}~~~E(X^2)&=& \displaystyle \frac{\,1\cdot3\,+\,4\cdot4\,+\,9\cdot5\,}{\,12\,}
\\[5pt]&=& \displaystyle \frac{\,3+16+45\,}{\,12\,}\\[3pt]
&=& \displaystyle \frac{\,64\,}{\,12\,}=\displaystyle \frac{\,16\,}{\,3\,}
\end{eqnarray}\)

---

これより、分散 \(V(X)\) は、\(X^2\) の期待値(平均)から \(X\) の期待値の2乗 \(m^2\) を引いた値より、

---

\(\begin{eqnarray}~~~V(X)&=& E\left(X^2\right)-m^2
\\[5pt]&=& \displaystyle \frac{\,16\,}{\,3\,}-\left(\displaystyle \frac{\,13\,}{\,6\,}\right)^2
\\[5pt]&=& \displaystyle \frac{\,16\,}{\,3\,}-\displaystyle \frac{\,169\,}{\,36\,}
\\[5pt]&=& \displaystyle \frac{\,192-169\,}{\,36\,}=\displaystyle \frac{\,23\,}{\,36\,}
\end{eqnarray}\)

---

また、標準偏差 \( \sigma(X) \) は、

---

分散 \( V(X) \) に平方根をとると、

---

\(\begin{eqnarray}~~~\sigma(X)&=&\sqrt{\,V(X)\,}
\\[5pt]~~~&=&\sqrt{\,\displaystyle \frac{\,23\,}{\,36\,}\,}=\displaystyle \frac{\,\sqrt{23}\,}{\,6\,}
\end{eqnarray}\)

---

したがって、

---

　期待値 \( E(X)=\displaystyle \frac{\,13\,}{\,6\,} \)

---

　分散 \( V(X)=\displaystyle \frac{\,23\,}{\,36\,} \)

---

　標準偏差 \( \sigma(X)=\displaystyle \frac{\,\sqrt{23}\,}{\,6\,} \)

---

となる

数研出版｜新編数学Ｂ[712] p.100 章末問題A 1(1)

取り出す白玉の個数が確率変数 \( X \) より、

---

　\( X=0~,~1~,~2~,~3 \)

---

\(\small [\,1\,]\) \( X=0 \) のとき

---

　すべての場合の数は、
　白玉3個、黒玉5個から4個を取り出すので、

---

　　\({}_8 \mathrm{C}_4=\displaystyle \frac{\,8\cdot 7\cdot 6\cdot 5\,}{\,4\cdot 3\cdot 2\cdot 1\,}=70\) 通り

---

　黒玉4個を取り出すのは、

---

　　\({}_5 \mathrm{C}_4=5\) 通り

---

よって、確率は \(\displaystyle \frac{\,5\,}{\,70\,}\)

---

\(\small [\,2\,]\) \( X=1 \) のとき

---

　すべての場合の数 70通りの中で、

---

　白玉1個、黒玉3個を取り出すのは、

---

　　\({}_3 \mathrm{C}_1 {\, \small \times \,} {}_5 \mathrm{C}_3=3{\, \small \times \,} 10=30\) 通り

---

よって、確率は \(\displaystyle \frac{\,30\,}{\,70\,}\)　※ 約分はしない。

---

\(\small [\,3\,]\) \( X=2 \) のとき

---

　すべての場合の数 70通りの中で、

---

　白玉2個、黒玉2個を取り出すのは、

---

　　\({}_3 \mathrm{C}_2 {\, \small \times \,} {}_5 \mathrm{C}_2=3{\, \small \times \,} 10=30\) 通り

---

よって、確率は \(\displaystyle \frac{\,30\,}{\,70\,}\)

---

\(\small [\,4\,]\) \( X=3 \) のとき

---

　すべての場合の数 70通りの中で、

---

　白玉3個、黒玉1個を取り出すのは、

---

　　\({}_3 \mathrm{C}_3 {\, \small \times \,} {}_5 \mathrm{C}_1=1{\, \small \times \,} 5=5\) 通り

---

よって、確率は \(\displaystyle \frac{\,5\,}{\,70\,}\)

---

\(\small [\,1\,]\) 〜 \(\small [\,4\,]\) より、確率分布は、

---

\(\begin{array}{c|cccc|c}
X & 0 & 1 & 2 & 3 & 計 \\
\hline
P & \displaystyle\frac{\,5\,}{\,70\,} & \displaystyle\frac{\,30\,}{\,70\,} & \displaystyle\frac{\,30\,}{\,70\,} & \displaystyle\frac{\,5\,}{\,70\,} & 1
\end{array}\)

---

※ 確率の合計が \(1\) であることを確認。

---

期待値(平均)は、確率変数 \( X \) × 確率 \( P \) の和より、

---

※ 分母はすべて \(70\) より、確率変数 × 分子の値 で考える。

---

\(\begin{eqnarray}~~~E(X)&=&\displaystyle \frac{\,0{\, \small \times \,} 5+1{\, \small \times \,} 30+2{\, \small \times \,} 30+3{\, \small \times \,} 5\,}{\,70\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,0+30+60+15\,}{\,70\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,105\,}{\,70\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}
\end{eqnarray}\)

---

それぞれの確率変数 \(X\) の2乗の値 \(X^2\) を求めると、

---

\(\begin{array}{c|cccc|c}
X^2 & 0 & 1 & 4 & 9 & \\[5pt]
\hline
X & 0 & 1 & 2 & 3 & 計 \\
\hline
P & \displaystyle\frac{\,5\,}{\,70\,} & \displaystyle\frac{\,30\,}{\,70\,} & \displaystyle\frac{\,30\,}{\,70\,} & \displaystyle\frac{\,5\,}{\,70\,} & 1
\end{array}\)

---

\(X^2\) の期待値(平均)は、

---

\(\begin{eqnarray}~~~E(X^2)&=& \displaystyle \frac{\,0\cdot5\,+\,1\cdot30\,+\,4\cdot30\,+\,9\cdot5\,}{\,70\,}
\\[5pt]&=& \displaystyle \frac{\,0+30+120+45\,}{\,70\,}\\[3pt]
&=& \displaystyle \frac{\,195\,}{\,70\,}=\displaystyle \frac{\,39\,}{\,14\,}
\end{eqnarray}\)

---

これより、分散 \(V(X)\) は、\(X^2\) の期待値(平均)から \(X\) の期待値の2乗 \(m^2\) を引いた値より、

---

\(\begin{eqnarray}~~~V(X)&=& E\left(X^2\right)-m^2
\\[5pt]&=& \displaystyle \frac{\,39\,}{\,14\,}-\left(\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}\right)^2
\\[5pt]&=& \displaystyle \frac{\,39\,}{\,14\,}-\displaystyle \frac{\,9\,}{\,4\,}
\\[5pt]&=& \displaystyle \frac{\,78-63\,}{\,28\,}=\displaystyle \frac{\,15\,}{\,28\,}
\end{eqnarray}\)

---

したがって、確率分布は、

---

\(\begin{array}{c|cccc|c}
X & 0 & 1 & 2 & 3 & 計 \\
\hline
P & \displaystyle\frac{\,1\,}{\,14\,} & \displaystyle\frac{\,6\,}{\,14\,} & \displaystyle\frac{\,6\,}{\,14\,} & \displaystyle\frac{\,1\,}{\,14\,} & 1
\end{array}\)

---

　期待値 \( E(X)=\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,} \)

---

　分散 \( V(X)=\displaystyle \frac{\,15\,}{\,28\,} \)

---

となる

東京書籍｜Advanced数学Ｂ[701] p.65 問8

表が出る回数が確率変数 \( X \) より、

---

　\( X=0~,~1~,~2~,~3 \)

---

すべての場合の数は、
硬貨を3回投げるので、

---

　　\(2^3=8\) 通り

---

\(\small [\,1\,]\) \( X=0 \) のとき

---

　3回とも裏が出るのは、

---

　　\(1\) 通り

---

よって、確率は \(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,8\,}\)

---

\(\small [\,2\,]\) \( X=1 \) のとき

---

　表が1回出るのは、

---

　　\({}_3 \mathrm{C}_1=3\) 通り

---

よって、確率は \(\displaystyle \frac{\,3\,}{\,8\,}\)

---

\(\small [\,3\,]\) \( X=2 \) のとき

---

　表が2回出るのは、

---

　　\({}_3 \mathrm{C}_2=3\) 通り

---

よって、確率は \(\displaystyle \frac{\,3\,}{\,8\,}\)

---

\(\small [\,4\,]\) \( X=3 \) のとき

---

　3回とも表が出るのは、

---

　　\(1\) 通り

---

よって、確率は \(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,8\,}\)

---

\(\small [\,1\,]\) 〜 \(\small [\,4\,]\) より、確率分布は、

---

\(\begin{array}{c|cccc|c}
X & 0 & 1 & 2 & 3 & 計 \\
\hline
P & \displaystyle\frac{\,1\,}{\,8\,} & \displaystyle\frac{\,3\,}{\,8\,} & \displaystyle\frac{\,3\,}{\,8\,} & \displaystyle\frac{\,1\,}{\,8\,} & 1
\end{array}\)

---

※ 確率の合計が \(1\) であることを確認。

---

期待値(平均)は、確率変数 \( X \) × 確率 \( P \) の和より、

---

※ 分母はすべて \(8\) より、確率変数 × 分子の値 で考える。

---

---

それぞれの確率変数 \(X\) の2乗の値 \(X^2\) を求めると、

---

\(\begin{array}{c|cccc|c}
X^2 & 0 & 1 & 4 & 9 & \\[5pt]
\hline
X & 0 & 1 & 2 & 3 & 計 \\
\hline
P & \displaystyle\frac{\,1\,}{\,8\,} & \displaystyle\frac{\,3\,}{\,8\,} & \displaystyle\frac{\,3\,}{\,8\,} & \displaystyle\frac{\,1\,}{\,8\,} & 1
\end{array}\)

---

\(X^2\) の期待値(平均)は、

---

---

これより、分散 \(V(X)\) は、\(X^2\) の期待値(平均)から \(X\) の期待値の2乗 \(m^2\) を引いた値より、

---

\(\begin{eqnarray}~~~V(X)&=& E\left(X^2\right)-m^2
\\[5pt]&=& 3-\left(\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}\right)^2
\\[5pt]&=& 3-\displaystyle \frac{\,9\,}{\,4\,}
\\[5pt]&=& \displaystyle \frac{\,12-9\,}{\,4\,}=\displaystyle \frac{\,3\,}{\,4\,}
\end{eqnarray}\)

---

また、標準偏差 \( \sigma(X) \) は、

---

分散 \( V(X) \) に平方根をとると、

---

\(\begin{eqnarray}~~~\sigma(X)&=&\sqrt{\,V(X)\,}
\\[5pt]~~~&=&\sqrt{\,\displaystyle \frac{\,3\,}{\,4\,}\,}=\displaystyle \frac{\,\sqrt{3}\,}{\,2\,}
\end{eqnarray}\)

---

したがって、

---

　標準偏差 \( \sigma(X)=\displaystyle \frac{\,\sqrt{3}\,}{\,2\,} \)

---

となる

東京書籍｜Advanced数学Ｂ[701] p.66 問9

一致するカードの枚数が確率変数 \( X \) より、

---

　\( X=0~,~1~,~2~,~3~,~4 \)

---

※ 3枚一致すれば必ず4枚目も一致するので \( X=3 \) はない。

---

すべての場合の数は、
4枚のカードを4つの封筒に入れるので、

---

　　\(4!=24\) 通り

---

\(\small [\,1\,]\) \( X=0 \) のとき

---

　1枚も一致しないのは、

---

　　\(9\) 通り

---

よって、確率は \(\displaystyle \frac{\,9\,}{\,24\,}\)

---

\(\small [\,2\,]\) \( X=1 \) のとき

---

　1枚だけ一致するのは、

---

　一致する1枚の選び方 \({}_4 \mathrm{C}_1=4\) 通り

---

　残り3枚がすべて不一致となる \(2\) 通り より、

---

　　\(4{\, \small \times \,} 2=8\) 通り

---

よって、確率は \(\displaystyle \frac{\,8\,}{\,24\,}\)

---

\(\small [\,3\,]\) \( X=2 \) のとき

---

　2枚だけ一致するのは、

---

　一致する2枚の選び方 \({}_4 \mathrm{C}_2=6\) 通り

---

　残り2枚がすべて不一致となる \(1\) 通り より、

---

　　\(6{\, \small \times \,} 1=6\) 通り

---

よって、確率は \(\displaystyle \frac{\,6\,}{\,24\,}\)

---

\(\small [\,4\,]\) \( X=4 \) のとき

---

　4枚すべて一致するのは、

---

　　\(1\) 通り

---

よって、確率は \(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,24\,}\)

---

\(\small [\,1\,]\) 〜 \(\small [\,4\,]\) より、確率分布は、

---

\(\begin{array}{c|cccc|c}
X & 0 & 1 & 2 & 4 & 計 \\
\hline
P & \displaystyle\frac{\,9\,}{\,24\,} & \displaystyle\frac{\,8\,}{\,24\,} & \displaystyle\frac{\,6\,}{\,24\,} & \displaystyle\frac{\,1\,}{\,24\,} & 1
\end{array}\)

---

※ 確率の合計が \(1\) であることを確認。

---

期待値(平均)は、確率変数 \( X \) × 確率 \( P \) の和より、

---

※ 分母はすべて \(24\) より、確率変数 × 分子の値 で考える。

---

---

それぞれの確率変数 \(X\) の2乗の値 \(X^2\) を求めると、

---

\(\begin{array}{c|cccc|c}
X^2 & 0 & 1 & 4 & 16 & \\[5pt]
\hline
X & 0 & 1 & 2 & 4 & 計 \\
\hline
P & \displaystyle\frac{\,9\,}{\,24\,} & \displaystyle\frac{\,8\,}{\,24\,} & \displaystyle\frac{\,6\,}{\,24\,} & \displaystyle\frac{\,1\,}{\,24\,} & 1
\end{array}\)

---

\(X^2\) の期待値(平均)は、

---

---

これより、分散 \(V(X)\) は、\(X^2\) の期待値(平均)から \(X\) の期待値の2乗 \(m^2\) を引いた値より、

---

\(\begin{eqnarray}V(X)&=& E\left(X^2\right)-m^2
\\[5pt]&=& 2-1^2
\\[5pt]&=& 2-1=1
\end{eqnarray}\)

---

また、標準偏差 \( \sigma(X) \) は、

---

分散 \( V(X) \) に平方根をとると、

---

\(\begin{eqnarray}~~~\sigma(X)&=&\sqrt{\,V(X)\,}
\\[5pt]~~~&=&\sqrt{\,1\,}=1
\end{eqnarray}\)

---

したがって、

---

　平均 \( E(X)=1 \)

---

　分散 \( V(X)=1 \)

---

　標準偏差 \( \sigma(X)=1 \)

---

となる

東京書籍｜Advanced数学Ｂ[701] p.76 問題 2

初めて赤球が含まれるまでの回数が確率変数 \( X \) より、

---

　\( X=1~,~2~,~3 \)

---

※ 球は計6個で2個ずつ取り出すので、最大3回で終了する。

---

\(\small [\,1\,]\) \( X=1 \) のとき

---

　1回目で赤球が含まれるのは、

---

　すべての場合の数は \({}_6 \mathrm{C}_2=15\) 通り

---

　1回目で赤球が含まれない（白球2個）のは、

---

　　\({}_4 \mathrm{C}_2=6\) 通り

---

　よって、1回目で赤球が含まれるのは、

---

　　\(15-6=9\) 通り

---

よって、確率は \(\displaystyle \frac{\,9\,}{\,15\,}\)

---

\(\small [\,2\,]\) \( X=2 \) のとき

---

　1回目は白球2個、2回目で初めて赤球が含まれる

---

　1回目で白球2個を取り出す確率は \(\displaystyle \frac{\,6\,}{\,15\,}\)

---

　残りは赤球2個、白球2個の計4個

---

　2回目で赤球が含まれない確率は \(\displaystyle \frac{\,{}_2 \mathrm{C}_2\,}{\,{}_4 \mathrm{C}_2\,}=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,6\,}\)

---

　2回目で赤球が含まれる確率は \(1-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,6\,}=\displaystyle \frac{\,5\,}{\,6\,}\)

---

よって、確率は \(\displaystyle \frac{\,6\,}{\,15\,}{\, \small \times \,}\displaystyle \frac{\,5\,}{\,6\,}=\displaystyle \frac{\,5\,}{\,15\,}\)

---

\(\small [\,3\,]\) \( X=3 \) のとき

---

　1回目、2回目とも白球のみ、3回目で赤球が含まれる

---

　1回目で白球2個を取り出す確率は \(\displaystyle \frac{\,6\,}{\,15\,}\)

---

　2回目で白球2個を取り出す確率は \(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,6\,}\)

---

　残りは赤球2個のみなので、3回目は必ず赤球が含まれる

---

よって、確率は \(\displaystyle \frac{\,6\,}{\,15\,}{\, \small \times \,}\displaystyle \frac{\,1\,}{\,6\,}{\, \small \times \,} 1=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,15\,}\)

---

\(\small [\,1\,]\) 〜 \(\small [\,3\,]\) より、確率分布は、

---

\(\begin{array}{c|ccc|c}
X & 1 & 2 & 3 & 計 \\
\hline
P & \displaystyle\frac{\,9\,}{\,15\,} & \displaystyle\frac{\,5\,}{\,15\,} & \displaystyle\frac{\,1\,}{\,15\,} & 1
\end{array}\)

---

※ 確率の合計が \(1\) であることを確認。

---

期待値(平均)は、確率変数 \( X \) × 確率 \( P \) の和より、

---

※ 分母はすべて \(15\) より、確率変数 × 分子の値 で考える。

---

\(\begin{eqnarray}~~~E(X)&=&\displaystyle \frac{\,1{\, \small \times \,} 9+2{\, \small \times \,} 5+3{\, \small \times \,} 1\,}{\,15\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,9+10+3\,}{\,15\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,22\,}{\,15\,}
\end{eqnarray}\)

---

それぞれの確率変数 \(X\) の2乗の値 \(X^2\) を求めると、

---

\(\begin{array}{c|ccc|c}
X^2 & 1 & 4 & 9 & \\[5pt]
\hline
X & 1 & 2 & 3 & 計 \\
\hline
P & \displaystyle\frac{\,9\,}{\,15\,} & \displaystyle\frac{\,5\,}{\,15\,} & \displaystyle\frac{\,1\,}{\,15\,} & 1
\end{array}\)

---

\(X^2\) の期待値(平均)は、

---

\(\begin{eqnarray}~~~E(X^2)&=& \displaystyle \frac{\,1\cdot9\,+\,4\cdot5\,+\,9\cdot1\,}{\,15\,}
\\[5pt]&=& \displaystyle \frac{\,9+20+9\,}{\,15\,}\\[3pt]
&=& \displaystyle \frac{\,38\,}{\,15\,}
\end{eqnarray}\)

---

これより、分散 \(V(X)\) は、\(X^2\) の期待値(平均)から \(X\) の期待値の2乗 \(m^2\) を引いた値より、

---

\(\begin{eqnarray}~~~V(X)&=& E\left(X^2\right)-m^2
\\[5pt]&=& \displaystyle \frac{\,38\,}{\,15\,}-\left(\displaystyle \frac{\,22\,}{\,15\,}\right)^2
\\[5pt]&=& \displaystyle \frac{\,38\,}{\,15\,}-\displaystyle \frac{\,484\,}{\,225\,}
\\[5pt]&=& \displaystyle \frac{\,570-484\,}{\,225\,}=\displaystyle \frac{\,86\,}{\,225\,}
\end{eqnarray}\)

---

また、標準偏差 \( \sigma(X) \) は、

---

分散 \( V(X) \) に平方根をとると、

---

\(\begin{eqnarray}~~~\sigma(X)&=&\sqrt{\,V(X)\,}
\\[5pt]~~~&=&\sqrt{\,\displaystyle \frac{\,86\,}{\,225\,}\,}=\displaystyle \frac{\,\sqrt{86}\,}{\,15\,}
\end{eqnarray}\)

---

したがって、

---

　平均 \( E(X)=\displaystyle \frac{\,22\,}{\,15\,} \)

---

　標準偏差 \( \sigma(X)=\displaystyle \frac{\,\sqrt{86}\,}{\,15\,} \)

---

となる

東京書籍｜Advanced数学Ｂ[701] p.104 練習問題A 1(1)

取り出す赤球の個数が確率変数 \( X \) より、

---

　\( X=0~,~1~,~2 \)

---

\(\small [\,1\,]\) \( X=0 \) のとき

---

　すべての場合の数は、
　赤球4個、白球6個から2個を取り出すので、

---

　　\({}_{10} \mathrm{C}_2=\displaystyle \frac{\,10\cdot 9\,}{\,2\cdot 1\,}=45\) 通り

---

　白球2個を取り出すのは、

---

　　\({}_6 \mathrm{C}_2=\displaystyle \frac{\,6\cdot 5\,}{\,2\cdot 1\,}=15\) 通り

---

よって、確率は \(\displaystyle \frac{\,15\,}{\,45\,}\)

---

\(\small [\,2\,]\) \( X=1 \) のとき

---

　すべての場合の数 45通りの中で、

---

　赤球1個、白球1個を取り出すのは、

---

　　\({}_4 \mathrm{C}_1 {\, \small \times \,} {}_6 \mathrm{C}_1=4{\, \small \times \,} 6=24\) 通り

---

よって、確率は \(\displaystyle \frac{\,24\,}{\,45\,}\)　※ 約分はしない。

---

\(\small [\,3\,]\) \( X=2 \) のとき

---

　すべての場合の数 45通りの中で、

---

　赤球2個を取り出すのは、

---

　　\({}_4 \mathrm{C}_2=\displaystyle \frac{\,4\cdot 3\,}{\,2\cdot 1\,}=6\) 通り

---

よって、確率は \(\displaystyle \frac{\,6\,}{\,45\,}\)

---

\(\small [\,1\,]\) 〜 \(\small [\,3\,]\) より、確率分布は、

---

\(\begin{array}{c|ccc|c}
X & 0 & 1 & 2 & 計 \\
\hline
P & \displaystyle\frac{\,15\,}{\,45\,} & \displaystyle\frac{\,24\,}{\,45\,} & \displaystyle\frac{\,6\,}{\,45\,} & 1
\end{array}\)

---

※ 確率の合計が \(1\) であることを確認。

---

期待値(平均)は、確率変数 \( X \) × 確率 \( P \) の和より、

---

※ 分母はすべて \(45\) より、確率変数 × 分子の値 で考える。

---

\(\begin{eqnarray}~~~E(X)&=&\displaystyle \frac{\,0{\, \small \times \,} 15+1{\, \small \times \,} 24+2{\, \small \times \,} 6\,}{\,45\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,0+24+12\,}{\,45\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,36\,}{\,45\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,4\,}{\,5\,}
\end{eqnarray}\)

---

それぞれの確率変数 \(X\) の2乗の値 \(X^2\) を求めると、

---

\(\begin{array}{c|ccc|c}
X^2 & 0 & 1 & 4 & \\[5pt]
\hline
X & 0 & 1 & 2 & 計 \\
\hline
P & \displaystyle\frac{\,15\,}{\,45\,} & \displaystyle\frac{\,24\,}{\,45\,} & \displaystyle\frac{\,6\,}{\,45\,} & 1
\end{array}\)

---

\(X^2\) の期待値(平均)は、

---

\(\begin{eqnarray}~~~E(X^2)&=& \displaystyle \frac{\,0\cdot15\,+\,1\cdot24\,+\,4\cdot6\,}{\,45\,}
\\[5pt]&=& \displaystyle \frac{\,0+24+24\,}{\,45\,}\\[3pt]
&=& \displaystyle \frac{\,48\,}{\,45\,}=\displaystyle \frac{\,16\,}{\,15\,}
\end{eqnarray}\)

---

これより、分散 \(V(X)\) は、\(X^2\) の期待値(平均)から \(X\) の期待値の2乗 \(m^2\) を引いた値より、

---

\(\begin{eqnarray}~~~V(X)&=& E\left(X^2\right)-m^2
\\[5pt]&=& \displaystyle \frac{\,16\,}{\,15\,}-\left(\displaystyle \frac{\,4\,}{\,5\,}\right)^2
\\[5pt]&=& \displaystyle \frac{\,16\,}{\,15\,}-\displaystyle \frac{\,16\,}{\,25\,}
\\[5pt]&=& \displaystyle \frac{\,80-48\,}{\,75\,}=\displaystyle \frac{\,32\,}{\,75\,}
\end{eqnarray}\)

---

また、標準偏差 \( \sigma(X) \) は、

---

分散 \( V(X) \) に平方根をとると、

---

\(\begin{eqnarray}~~~\sigma(X)&=&\sqrt{\,V(X)\,}
\\[5pt]~~~&=&\sqrt{\,\displaystyle \frac{\,32\,}{\,75\,}\,}=\displaystyle \frac{\,4\sqrt{6}\,}{\,15\,}
\end{eqnarray}\)

---

したがって、

---

　平均 \( E(X)=\displaystyle \frac{\,4\,}{\,5\,} \)

---

　分散 \( V(X)=\displaystyle \frac{\,32\,}{\,75\,} \)

---

　標準偏差 \( \sigma(X)=\displaystyle \frac{\,4\sqrt{6}\,}{\,15\,} \)

---

となる

東京書籍｜Standard数学Ｂ[702] p.68 問6

賞金が確率変数 \( X \) より、

---

　\( X=0~,~200~,~500 \)　（単位：円）

---

※ ハズレ（0円）は \(10-1-3=6\) 本

---

\(\small [\,1\,]\) \( X=0 \) のとき

---

　ハズレを引くのは、

---

　　\(6\) 本

---

よって、確率は \(\displaystyle \frac{\,6\,}{\,10\,}\)

---

\(\small [\,2\,]\) \( X=200 \) のとき

---

　2等を引くのは、

---

　　\(3\) 本

---

よって、確率は \(\displaystyle \frac{\,3\,}{\,10\,}\)

---

\(\small [\,3\,]\) \( X=500 \) のとき

---

　1等を引くのは、

---

　　\(1\) 本

---

よって、確率は \(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,10\,}\)

---

\(\small [\,1\,]\) 〜 \(\small [\,3\,]\) より、確率分布は、

---

\(\begin{array}{c|ccc|c}
X & 0 & 200 & 500 & 計 \\
\hline
P & \displaystyle\frac{\,6\,}{\,10\,} & \displaystyle\frac{\,3\,}{\,10\,} & \displaystyle\frac{\,1\,}{\,10\,} & 1
\end{array}\)

---

※ 確率の合計が \(1\) であることを確認。

---

期待値(平均)は、確率変数 \( X \) × 確率 \( P \) の和より、

---

※ 分母はすべて \(10\) より、確率変数 × 分子の値 で考える。

---

\(\begin{eqnarray}~~~E(X)&=&\displaystyle \frac{\,0{\, \small \times \,} 6+200{\, \small \times \,} 3+500{\, \small \times \,} 1\,}{\,10\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,0+600+500\,}{\,10\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1100\,}{\,10\,}=110
\end{eqnarray}\)

---

それぞれの確率変数 \(X\) の2乗の値 \(X^2\) を求めると、

---

\(\begin{array}{c|ccc|c}
X^2 & 0 & 40000 & 250000 & \\[5pt]
\hline
X & 0 & 200 & 500 & 計 \\
\hline
P & \displaystyle\frac{\,6\,}{\,10\,} & \displaystyle\frac{\,3\,}{\,10\,} & \displaystyle\frac{\,1\,}{\,10\,} & 1
\end{array}\)

---

\(X^2\) の期待値(平均)は、

---

---

これより、分散 \(V(X)\) は、\(X^2\) の期待値(平均)から \(X\) の期待値の2乗 \(m^2\) を引いた値より、

---

\(\begin{eqnarray}~~~V(X)&=& E\left(X^2\right)-m^2
\\[5pt]&=& 37000-110^2
\\[5pt]&=& 37000-12100
\\[5pt]&=& 24900
\end{eqnarray}\)

---

また、標準偏差 \( \sigma(X) \) は、

---

分散 \( V(X) \) に平方根をとると、

---

\(\begin{eqnarray}~~~\sigma(X)&=&\sqrt{\,V(X)\,}
\\[5pt]~~~&=&\sqrt{\,24900\,}=10\sqrt{249}
\end{eqnarray}\)

---

したがって、

---

　標準偏差 \( \sigma(X)=10\sqrt{249} \) 円

---

となる

東京書籍｜Standard数学Ｂ[702] p.81 Training 1

もらえる賞金の合計が確率変数 \( X \) より、

---

　\( X=0~,~500~,~1000~,~1500 \)　（単位：円）

---

※ ハズレ（0円）は \(6-1-2=3\) 本

---

すべての場合の数は、
6本から2本を引くので、

---

　　\({}_6 \mathrm{C}_2=15\) 通り

---

\(\small [\,1\,]\) \( X=0 \) のとき

---

　ハズレ2本を引くのは、

---

　　\({}_3 \mathrm{C}_2=3\) 通り

---

よって、確率は \(\displaystyle \frac{\,3\,}{\,15\,}\)

---

\(\small [\,2\,]\) \( X=500 \) のとき

---

　2等1本とハズレ1本を引くのは、

---

　　\({}_2 \mathrm{C}_1 {\, \small \times \,} {}_3 \mathrm{C}_1=2{\, \small \times \,} 3=6\) 通り

---

よって、確率は \(\displaystyle \frac{\,6\,}{\,15\,}\)

---

\(\small [\,3\,]\) \( X=1000 \) のとき

---

　1等1本とハズレ1本を引くのは、

---

　　\({}_1 \mathrm{C}_1 {\, \small \times \,} {}_3 \mathrm{C}_1=1{\, \small \times \,} 3=3\) 通り

---

　2等2本を引くのは、

---

　　\({}_2 \mathrm{C}_2=1\) 通り

---

　合計 \(3+1=4\) 通り

---

よって、確率は \(\displaystyle \frac{\,4\,}{\,15\,}\)

---

\(\small [\,4\,]\) \( X=1500 \) のとき

---

　1等1本と2等1本を引くのは、

---

　　\({}_1 \mathrm{C}_1 {\, \small \times \,} {}_2 \mathrm{C}_1=1{\, \small \times \,} 2=2\) 通り

---

よって、確率は \(\displaystyle \frac{\,2\,}{\,15\,}\)

---

\({\small (1)}~\) \(\small [\,1\,]\) 〜 \(\small [\,4\,]\) より、確率分布は、

---

\(\begin{array}{c|cccc|c}
X & 0 & 500 & 1000 & 1500 & 計 \\
\hline
P & \displaystyle\frac{\,3\,}{\,15\,} & \displaystyle\frac{\,6\,}{\,15\,} & \displaystyle\frac{\,4\,}{\,15\,} & \displaystyle\frac{\,2\,}{\,15\,} & 1
\end{array}\)

---

※ 確率の合計が \(1\) であることを確認。

---

\({\small (2)}~\) 期待値(平均)は、確率変数 \( X \) × 確率 \( P \) の和より、

---

※ 分母はすべて \(15\) より、確率変数 × 分子の値 で考える。

---

---

\({\small (3)}~\) それぞれの確率変数 \(X\) の2乗の値 \(X^2\) を求めると、

---

---

\(X^2\) の期待値(平均)は、

---

---

これより、分散 \(V(X)\) は、\(X^2\) の期待値(平均)から \(X\) の期待値の2乗 \(m^2\) を引いた値より、

---

---

また、標準偏差 \( \sigma(X) \) は、

---

分散 \( V(X) \) に平方根をとると、

---

\(\begin{eqnarray}~~~\sigma(X)&=&\sqrt{\,V(X)\,}
\\[5pt]~~~&=&\sqrt{\,\displaystyle \frac{\,2000000\,}{\,9\,}\,}=\displaystyle \frac{\,1000\sqrt{2}\,}{\,3\,}
\end{eqnarray}\)

---

したがって、

---

\({\small (1)}~\) 確率分布は、

---

\(\begin{array}{c|cccc|c}
X & 0 & 500 & 1000 & 1500 & 計 \\
\hline
P & \displaystyle\frac{\,1\,}{\,5\,} & \displaystyle\frac{\,2\,}{\,5\,} & \displaystyle\frac{\,4\,}{\,15\,} & \displaystyle\frac{\,2\,}{\,15\,} & 1
\end{array}\)

---

\({\small (2)}~\) 平均 \( E(X)=\displaystyle \frac{\,2000\,}{\,3\,} \) 円

---

\({\small (3)}~\) 分散 \( V(X)=\displaystyle \frac{\,2000000\,}{\,9\,} \)

---

　　標準偏差 \( \sigma(X)=\displaystyle \frac{\,1000\sqrt{2}\,}{\,3\,} \) 円

---

となる

東京書籍｜Standard数学Ｂ[702] p.108 Level Up 1

初めて赤球を取り出す回数が確率変数 \( X \) より、

---

　\( X=1~,~2~,~3 \)

---

※ 球は計6個で2個ずつ取り出すので、最大3回で終了する。

---

\(\small [\,1\,]\) \( X=1 \) のとき

---

　1回目で赤球が含まれるのは、

---

　すべての場合の数は \({}_6 \mathrm{C}_2=15\) 通り

---

　1回目で赤球が含まれない（白球2個）のは、

---

　　\({}_4 \mathrm{C}_2=6\) 通り

---

　よって、1回目で赤球が含まれるのは、

---

　　\(15-6=9\) 通り

---

よって、確率は \(\displaystyle \frac{\,9\,}{\,15\,}\)

---

\(\small [\,2\,]\) \( X=2 \) のとき

---

　1回目は白球2個、2回目で初めて赤球が含まれる

---

　1回目で白球2個を取り出す確率は \(\displaystyle \frac{\,6\,}{\,15\,}\)

---

　残りは赤球2個、白球2個の計4個

---

　2回目で赤球が含まれない確率は \(\displaystyle \frac{\,{}_2 \mathrm{C}_2\,}{\,{}_4 \mathrm{C}_2\,}=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,6\,}\)

---

　2回目で赤球が含まれる確率は \(1-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,6\,}=\displaystyle \frac{\,5\,}{\,6\,}\)

---

よって、確率は \(\displaystyle \frac{\,6\,}{\,15\,}{\, \small \times \,}\displaystyle \frac{\,5\,}{\,6\,}=\displaystyle \frac{\,5\,}{\,15\,}\)

---

\(\small [\,3\,]\) \( X=3 \) のとき

---

　1回目、2回目とも白球のみ、3回目で赤球が含まれる

---

　1回目で白球2個を取り出す確率は \(\displaystyle \frac{\,6\,}{\,15\,}\)

---

　2回目で白球2個を取り出す確率は \(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,6\,}\)

---

　残りは赤球2個のみなので、3回目は必ず赤球が含まれる

---

よって、確率は \(\displaystyle \frac{\,6\,}{\,15\,}{\, \small \times \,}\displaystyle \frac{\,1\,}{\,6\,}{\, \small \times \,} 1=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,15\,}\)

---

\(\small [\,1\,]\) 〜 \(\small [\,3\,]\) より、確率分布は、

---

\(\begin{array}{c|ccc|c}
X & 1 & 2 & 3 & 計 \\
\hline
P & \displaystyle\frac{\,9\,}{\,15\,} & \displaystyle\frac{\,5\,}{\,15\,} & \displaystyle\frac{\,1\,}{\,15\,} & 1
\end{array}\)

---

※ 確率の合計が \(1\) であることを確認。

---

期待値(平均)は、確率変数 \( X \) × 確率 \( P \) の和より、

---

※ 分母はすべて \(15\) より、確率変数 × 分子の値 で考える。

---

\(\begin{eqnarray}~~~E(X)&=&\displaystyle \frac{\,1{\, \small \times \,} 9+2{\, \small \times \,} 5+3{\, \small \times \,} 1\,}{\,15\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,9+10+3\,}{\,15\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,22\,}{\,15\,}
\end{eqnarray}\)

---

それぞれの確率変数 \(X\) の2乗の値 \(X^2\) を求めると、

---

\(\begin{array}{c|ccc|c}
X^2 & 1 & 4 & 9 & \\[5pt]
\hline
X & 1 & 2 & 3 & 計 \\
\hline
P & \displaystyle\frac{\,9\,}{\,15\,} & \displaystyle\frac{\,5\,}{\,15\,} & \displaystyle\frac{\,1\,}{\,15\,} & 1
\end{array}\)

---

\(X^2\) の期待値(平均)は、

---

\(\begin{eqnarray}~~~E(X^2)&=& \displaystyle \frac{\,1\cdot9\,+\,4\cdot5\,+\,9\cdot1\,}{\,15\,}
\\[5pt]&=& \displaystyle \frac{\,9+20+9\,}{\,15\,}\\[3pt]
&=& \displaystyle \frac{\,38\,}{\,15\,}
\end{eqnarray}\)

---

これより、分散 \(V(X)\) は、\(X^2\) の期待値(平均)から \(X\) の期待値の2乗 \(m^2\) を引いた値より、

---

\(\begin{eqnarray}~~~V(X)&=& E\left(X^2\right)-m^2
\\[5pt]&=& \displaystyle \frac{\,38\,}{\,15\,}-\left(\displaystyle \frac{\,22\,}{\,15\,}\right)^2
\\[5pt]&=& \displaystyle \frac{\,38\,}{\,15\,}-\displaystyle \frac{\,484\,}{\,225\,}
\\[5pt]&=& \displaystyle \frac{\,570-484\,}{\,225\,}=\displaystyle \frac{\,86\,}{\,225\,}
\end{eqnarray}\)

---

したがって、

---

　平均 \( E(X)=\displaystyle \frac{\,22\,}{\,15\,} \)

---

　分散 \( V(X)=\displaystyle \frac{\,86\,}{\,225\,} \)

---

となる