最大値の期待値(平均)・分散・標準偏差

1枚目の番号を列、2枚目の番号を行とした表に、番号が大きい方の値を表の中に書き入れると、

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\(~~~~~~\begin{array}{c|cccc}
& 1 & 2 & 3 & 4 \\
\hline
1 & 1 & 2 & 3 & 4 \\
2 & 2 & 2 & 3 & 4 \\
3 & 3 & 3 & 3 & 4 \\
4 & 4 & 4 & 4 & 4
\end{array}\)

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それぞれのマスの確率は、

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　\(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}{\, \small \times \,}\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,16\,}\)

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これより、それぞれの \(X\) の値と、そのときの確率 \(P(X)\) は、

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　\(X=1\) のとき、\(1\) 通りあり、

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　　\(\displaystyle P(X=1)=\frac{\,1\,}{\,16\,}\)

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　\(X=2\) のとき、\(3\) 通りあり、

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　　\(\displaystyle P(X=2)=\frac{\,3\,}{\,16\,}\)

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　\(X=3\) のとき、\(5\) 通りあり、

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　　\(\displaystyle P(X=3)=\frac{\,5\,}{\,16\,}\)

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　\(X=4\) のとき、\(7\) 通りあり、

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　　\(\displaystyle P(X=4)=\frac{\,7\,}{\,16\,}\)

 

よって、確率変数 \(X\) の確率分布は、

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\(\begin{array}{c|cccc|c}
X & 1 & 2 & 3 & 4 & 計 \\
\hline
P & \displaystyle\frac{\,1\,}{\,16\,} & \displaystyle\frac{\,3\,}{\,16\,} & \displaystyle\frac{\,5\,}{\,16\,} & \displaystyle\frac{\,7\,}{\,16\,} & 1
\end{array}\)

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これより、期待値 \(E(X)\) は
確率変数 × 確率の和より、

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\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle E(X)&=&\frac{\,1\cdot1+2\cdot3+3\cdot5+4\cdot7\,}{\,16\,}
\\[5pt]~~~&=&\frac{\,1+6+15+28\,}{\,16\,}
\\[5pt]~~~&=&\frac{\,50\,}{\,16\,}=\frac{\,25\,}{\,8\,}
\end{eqnarray}\)

 

次に、確率変数の2乗の値は、

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\(\begin{array}{c|cccc|c}
X^2 & 1 & 4 & 9 & 16 & 計 \\[5pt]
\hline
X & 1 & 2 & 3 & 4 & 計 \\
\hline
P & \displaystyle\frac{\,1\,}{\,16\,} & \displaystyle\frac{\,3\,}{\,16\,} & \displaystyle\frac{\,5\,}{\,16\,} & \displaystyle\frac{\,7\,}{\,16\,} & 1
\end{array}\)

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これより、\(X^2\) の期待値 \(E(X^2)\) は、

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\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle E(X^2)&=&\frac{\,1\cdot1+4\cdot3+9\cdot5+16\cdot7\,}{\,16\,}
\\[5pt]~~~&=&\frac{\,1+12+45+112\,}{\,16\,}
\\[5pt]~~~&=&\frac{\,170\,}{\,16\,}=\frac{\,85\,}{\,8\,}
\end{eqnarray}\)

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よって、分散 \(V(X)\) は、\(X^2\) の期待値(平均) \(E(X^2)\) から \(X\) の期待値の2乗 \(\{E(X)\}^2\) を引いた値より、

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\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle V(X)&=&E(X^2)-\{E(X)\}^2
\\[5pt]~~~&=&\frac{\,85\,}{\,8\,}-\left(\frac{\,25\,}{\,8\,}\right)^2
\\[5pt]~~~&=&\frac{\,680\,}{\,64\,}-\frac{\,625\,}{\,64\,}
\\[5pt]~~~&=&\frac{\,55\,}{\,64\,}
\end{eqnarray}\)

 

また、標準偏差 \( \sigma(X) \) は、

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分散 \( V(X) \) に平方根をとると、

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\(\begin{eqnarray}~~~\sigma(X)&=&\sqrt{V(X)}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \sqrt{\frac{\,55\,}{\,64\,}}=\frac{\,\sqrt{55}\,}{\,8\,}
\end{eqnarray}\)

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したがって、

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　期待値(平均) \(E(X)=\displaystyle \frac{\,25\,}{\,8\,}\)

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　分散 \( V(X)=\displaystyle \frac{\,55\,}{\,64\,} \)

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　標準偏差 \( \sigma(X)=\displaystyle \frac{\,\sqrt{55}\,}{\,8\,} \)

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となる