最大値の期待値(平均)・分散・標準偏差

数研出版｜数学Ｂ[710] p.111 演習問題B 7

\({\small (1)}~\)1回目の目を列、2回目の目を行とした表に、目が大きい方の値を表の中に書き入れると、

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\(~~\begin{array}{c|cccccc}
& 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\
\hline
1 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\
2 & 2 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\
3 & 3 & 3 & 3 & 4 & 5 & 6 \\
4 & 4 & 4 & 4 & 4 & 5 & 6 \\
5 & 5 & 5 & 5 & 5 & 5 & 6 \\
6 & 6 & 6 & 6 & 6 & 6 & 6
\end{array}\)

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それぞれのマスの確率は、

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　\(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,6\,}{\, \small \times \,}\displaystyle \frac{\,1\,}{\,6\,}=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,36\,}\)

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これより、それぞれの \(X\) の値と、そのときの確率 \(P(X)\) は、

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　\(X=1\) のとき、\(1\) 通りあり、

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　　\(\displaystyle P(X=1)=\frac{\,1\,}{\,36\,}\)

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　\(X=2\) のとき、\(3\) 通りあり、

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　　\(\displaystyle P(X=2)=\frac{\,3\,}{\,36\,}\)

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　\(X=3\) のとき、\(5\) 通りあり、

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　　\(\displaystyle P(X=3)=\frac{\,5\,}{\,36\,}\)

---

　\(X=4\) のとき、\(7\) 通りあり、

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　　\(\displaystyle P(X=4)=\frac{\,7\,}{\,36\,}\)

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　\(X=5\) のとき、\(9\) 通りあり、

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　　\(\displaystyle P(X=5)=\frac{\,9\,}{\,36\,}\)

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　\(X=6\) のとき、\(11\) 通りあり、

---

　　\(\displaystyle P(X=6)=\frac{\,11\,}{\,36\,}\)

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よって、確率変数 \(X\) の確率分布は、

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\({\small (2)}~\)期待値 \(E(X)\) は
確率変数 × 確率の和より、

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次に、確率変数の2乗の値は、

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これより、\(X^2\) の期待値 \(E(X^2)\) は、

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よって、分散 \(V(X)\) は、\(X^2\) の期待値(平均) \(E(X^2)\) から \(X\) の期待値の2乗 \(\{E(X)\}^2\) を引いた値より、

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\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle V(X)&=&E(X^2)-\{E(X)\}^2
\\[5pt]~~~&=&\frac{\,791\,}{\,36\,}-\left(\frac{\,161\,}{\,36\,}\right)^2
\\[5pt]~~~&=&\frac{\,28476\,}{\,1296\,}-\frac{\,25921\,}{\,1296\,}
\\[5pt]~~~&=&\frac{\,2555\,}{\,1296\,}
\end{eqnarray}\)

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また、標準偏差 \( \sigma(X) \) は、

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分散 \( V(X) \) に平方根をとると、

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\(\begin{eqnarray}~~~\sigma(X)&=&\sqrt{V(X)}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \sqrt{\frac{\,2555\,}{\,1296\,}}=\frac{\,\sqrt{2555}\,}{\,36\,}
\end{eqnarray}\)

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したがって、

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　期待値(平均) \(E(X)=\displaystyle \frac{\,161\,}{\,36\,}\)

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　標準偏差 \( \sigma(X)=\displaystyle \frac{\,\sqrt{2555}\,}{\,36\,} \)

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となる

東京書籍｜Advanced数学Ｂ[701] p.76 問題 1

4枚の札から2枚を同時に引く組み合わせは、

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　\(\displaystyle {}_4\mathrm{C}_2=\frac{\,4\cdot3\,}{\,2\cdot1\,}=6\) 通り

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2枚の札の組と、大きい方の数 \(X\) は、

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　\((1,\,2)\) → \(X=2\)
　\((1,\,3)\) → \(X=3\)
　\((1,\,4)\) → \(X=4\)
　\((2,\,3)\) → \(X=3\)
　\((2,\,4)\) → \(X=4\)
　\((3,\,4)\) → \(X=4\)

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これより、それぞれの \(X\) の値と、そのときの確率 \(P(X)\) は、

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　\(X=2\) のとき、\(1\) 通りあり、

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　　\(\displaystyle P(X=2)=\frac{\,1\,}{\,6\,}\)

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　\(X=3\) のとき、\(2\) 通りあり、

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　　\(\displaystyle P(X=3)=\frac{\,2\,}{\,6\,}\)

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　\(X=4\) のとき、\(3\) 通りあり、

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　　\(\displaystyle P(X=4)=\frac{\,3\,}{\,6\,}\)

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よって、確率変数 \(X\) の確率分布は、

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\(\begin{array}{c|ccc|c}
X & 2 & 3 & 4 & 計 \\
\hline
P & \displaystyle\frac{\,1\,}{\,6\,} & \displaystyle\frac{\,2\,}{\,6\,} & \displaystyle\frac{\,3\,}{\,6\,} & 1
\end{array}\)

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これより、期待値 \(E(X)\) は
確率変数 × 確率の和より、

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\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle E(X)&=&\frac{\,2\cdot1+3\cdot2+4\cdot3\,}{\,6\,}
\\[5pt]~~~&=&\frac{\,2+6+12\,}{\,6\,}
\\[5pt]~~~&=&\frac{\,20\,}{\,6\,}=\frac{\,10\,}{\,3\,}
\end{eqnarray}\)

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次に、確率変数の2乗の値は、

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\(\begin{array}{c|ccc|c}
X^2 & 4 & 9 & 16 & 計 \\[5pt]
\hline
X & 2 & 3 & 4 & 計 \\
\hline
P & \displaystyle\frac{\,1\,}{\,6\,} & \displaystyle\frac{\,2\,}{\,6\,} & \displaystyle\frac{\,3\,}{\,6\,} & 1
\end{array}\)

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これより、\(X^2\) の期待値 \(E(X^2)\) は、

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\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle E(X^2)&=&\frac{\,4\cdot1+9\cdot2+16\cdot3\,}{\,6\,}
\\[5pt]~~~&=&\frac{\,4+18+48\,}{\,6\,}
\\[5pt]~~~&=&\frac{\,70\,}{\,6\,}=\frac{\,35\,}{\,3\,}
\end{eqnarray}\)

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よって、分散 \(V(X)\) は、\(X^2\) の期待値(平均) \(E(X^2)\) から \(X\) の期待値の2乗 \(\{E(X)\}^2\) を引いた値より、

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\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle V(X)&=&E(X^2)-\{E(X)\}^2
\\[5pt]~~~&=&\frac{\,35\,}{\,3\,}-\left(\frac{\,10\,}{\,3\,}\right)^2
\\[5pt]~~~&=&\frac{\,105\,}{\,9\,}-\frac{\,100\,}{\,9\,}
\\[5pt]~~~&=&\frac{\,5\,}{\,9\,}
\end{eqnarray}\)

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また、標準偏差 \( \sigma(X) \) は、

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分散 \( V(X) \) に平方根をとると、

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\(\begin{eqnarray}~~~\sigma(X)&=&\sqrt{V(X)}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \sqrt{\frac{\,5\,}{\,9\,}}=\frac{\,\sqrt{5}\,}{\,3\,}
\end{eqnarray}\)

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したがって、

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　平均 \(E(X)=\displaystyle \frac{\,10\,}{\,3\,}\)

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　標準偏差 \( \sigma(X)=\displaystyle \frac{\,\sqrt{5}\,}{\,3\,} \)

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となる