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問題｜確率変数の変換
統計的な推測 08ある確率変数 \( X \) の期待値(平均)が \( E(X)=\displaystyle \frac{\,4\,}{\,5\,} \) 、分散が \( V(X)=\displaystyle \frac{\,9\,}{\,25\,} \) 、標準偏差が \( \sigma(X)=\displaystyle \frac{\,3\,}{\,5\,} \) のとき、次の確率変数の期待値(平均)、分散、標準偏差の求め方は？
\({\small (1)}~\)\( Y=2X-1 \)
\({\small (2)}~\)\( Y=-5X+2 \)
\({\small (1)}~\)\( Y=2X-1 \)
\({\small (2)}~\)\( Y=-5X+2 \)
高校数学B｜統計的な推測
解法のPoint
確率変数の変換
Point：確率変数の変換
① 確率変数 \(X\) の期待値(平均)、分散、標準偏差を求める。
期待値 \(E(X)\)、分散 \(V(X)\)、標準偏差 \(\sigma(X)\)
② 確率変数 \(Y\) の変換式より、\(Y\) の期待値(平均)、分散、標準偏差を求める。
\(Y=aX+b\) より、
期待値 \(\displaystyle E(Y)=aE(X)+b\)
分散 \(\displaystyle V(Y)=a^{2}V(X)\)
標準偏差 \(\displaystyle \sigma(Y)=\left|\,a\,\right|\sigma(X)\)
確率変数 \(X\) を \(Y=aX+b\) の変換にしたときの確率変数 \(Y\) の期待値(平均)、分散、標準偏差は、
① 確率変数 \(X\) の期待値(平均)、分散、標準偏差を求める。
期待値 \(E(X)\)、分散 \(V(X)\)、標準偏差 \(\sigma(X)\)
② 確率変数 \(Y\) の変換式より、\(Y\) の期待値(平均)、分散、標準偏差を求める。
\(Y=aX+b\) より、
期待値は \(E(X)\) を \(a\) 倍し、\(b\) を加える。
期待値 \(\displaystyle E(Y)=aE(X)+b\)
分散は \(V(X)\) を \(a^2\) 倍する。
分散 \(\displaystyle V(Y)=a^{2}V(X)\)
標準偏差は \(\sigma(X)\) を \(\left|\,a\,\right|\) 倍する。
標準偏差 \(\displaystyle \sigma(Y)=\left|\,a\,\right|\sigma(X)\)
※ 標準偏差は分散に平方根をとってもよい。
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詳しい解説｜確率変数の変換
統計的な推測 08
\({\small (1)}~\)\( Y=2X-1 \)
\({\small (2)}~\)\( Y=-5X+2 \)
ある確率変数 \( X \) の期待値(平均)が \( E(X)=\displaystyle \frac{\,4\,}{\,5\,} \) 、分散が \( V(X)=\displaystyle \frac{\,9\,}{\,25\,} \) 、標準偏差が \( \sigma(X)=\displaystyle \frac{\,3\,}{\,5\,} \) のとき、次の確率変数の期待値(平均)、分散、標準偏差の求め方は？
\({\small (1)}~\)\( Y=2X-1 \)
\({\small (2)}~\)\( Y=-5X+2 \)
高校数学B｜統計的な推測
\({\small (1)}~\)\( Y=2X-1 \) のとき
\(2\) 倍して、\(-1\) を加えるので
期待値は、
\(\begin{eqnarray}~~~E(Y)&=&2\cdot E(X)-1
\\[5pt]~~~&=&2\cdot \displaystyle \frac{\,4\,}{\,5\,}-1
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,8\,}{\,5\,}-\frac{\,5\,}{\,5\,}
\\[5pt]~~~&=&\frac{\,3\,}{\,5\,}
\end{eqnarray}\)
分散は、
\(\begin{eqnarray}~~~V(Y)&=&2^{2}\cdot V(X)
\\[5pt]~~~&=&4\cdot \displaystyle \frac{\,9\,}{\,25\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,36\,}{\,25\,}
\end{eqnarray}\)
標準偏差は、
\(\begin{eqnarray}~~~\sigma(Y)&=&\left|\,2\,\right|\cdot\sigma(X)
\\[5pt]~~~&=&2\cdot \displaystyle \frac{\,3\,}{\,5\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,6\,}{\,5\,}
\end{eqnarray}\)
※ 標準偏差は分散に平方根をとってもよい。
\({\small (2)}~\)\( Y=-5X+2 \) のとき
\(-5\) 倍して \(2\) を加えるので
期待値は、
\(\begin{eqnarray}~~~E(Y)&=&-5\cdot E(X)+2
\\[5pt]~~~&=&-5\cdot \displaystyle \frac{\,4\,}{\,5\,}+2
\\[5pt]~~~&=&-4+2
\\[3pt]~~~&=&-2
\end{eqnarray}\)
分散は、
\(\begin{eqnarray}~~~V(Y)&=&(-5)^{2}\cdot V(X)
\\[5pt]~~~&=&25\cdot \displaystyle \frac{\,9\,}{\,25\,}
\\[5pt]~~~&=&9
\end{eqnarray}\)
標準偏差は、
\(\begin{eqnarray}~~~\sigma(Y)&=&\left|\,-5\,\right|\cdot\sigma(X)
\\[5pt]~~~&=&5\cdot \displaystyle \frac{\,3\,}{\,5\,}
\\[5pt]~~~&=&3
\end{eqnarray}\)
※ 標準偏差は分散に平方根をとってもよい。
