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問題｜2つの確率変数の同時分布
統計的な推測 0910本中当たりが2本のくじをAが2本引き、残りのくじからBが1本引き、AとBの2人の当たりくじの本数を \( X~,~Y \) とするとき、 \( X \) と \( Y \) の同時分布の求め方は？
高校数学B｜統計的な推測
解法のPoint
2つの確率変数の同時分布
Point：2つの確率変数の同時分布
\(P(X=a\,,\,Y=b)\)
\(~~~~~\begin{array}{c|cc|c}
~~~~Y\\[-5pt] X~~~~ & 0 & 1 & 計 \\[5pt]
\hline
0 & \displaystyle\frac{\,21\,}{\,45\,} & \displaystyle\frac{\,7\,}{\,45\,} & \displaystyle\frac{\,28\,}{\,45\,} \\[5pt]
1 & \displaystyle\frac{\,14\,}{\,45\,} & \displaystyle\frac{\,2\,}{\,45\,} & \displaystyle\frac{\,16\,}{\,45\,} \\[5pt]
2 & \displaystyle\frac{\,1\,}{\,45\,} & 0 & \displaystyle\frac{\,1\,}{\,45\,} \\[5pt]
\hline
計 & \displaystyle\frac{\,36\,}{\,45\,} & \displaystyle\frac{\,9\,}{\,45\,} & 1
\end{array}\)
2つの確率変数 \( X~,~Y \) について、
\(X=a\) かつ \(Y=b\) となる確率を次のように表す。
\(P(X=a\,,\,Y=b)\)
また、2つの確率変数 \( X~,~Y \) について、
\( X \) の値を列(縦)に、\( Y \) の値を行(横)に書き、表の中に同時に成り立つときの確率を書いた表を「同時分布」という。
\(~~~~~\begin{array}{c|cc|c}
~~~~Y\\[-5pt] X~~~~ & 0 & 1 & 計 \\[5pt]
\hline
0 & \displaystyle\frac{\,21\,}{\,45\,} & \displaystyle\frac{\,7\,}{\,45\,} & \displaystyle\frac{\,28\,}{\,45\,} \\[5pt]
1 & \displaystyle\frac{\,14\,}{\,45\,} & \displaystyle\frac{\,2\,}{\,45\,} & \displaystyle\frac{\,16\,}{\,45\,} \\[5pt]
2 & \displaystyle\frac{\,1\,}{\,45\,} & 0 & \displaystyle\frac{\,1\,}{\,45\,} \\[5pt]
\hline
計 & \displaystyle\frac{\,36\,}{\,45\,} & \displaystyle\frac{\,9\,}{\,45\,} & 1
\end{array}\)
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詳しい解説｜2つの確率変数の同時分布
統計的な推測 09
10本中当たりが2本のくじをAが2本引き、残りのくじからBが1本引き、AとBの2人の当たりくじの本数を \( X~,~Y \) とするとき、 \( X \) と \( Y \) の同時分布の求め方は？
高校数学B｜統計的な推測
Aさんの当たりくじの本数 \(X\) とBさんの当たりくじの本数 \(Y\) の組合せとその確率は、
\(X=0~,~1~,~2\)、\(Y=0~,~1\) より、
\(\small [\,1\,]\) \(X=0\) かつ \(Y=0\) のとき、
A：10本中2本引き、はずれ8本中2本引く
B：残り8本中1本引き、はずれ6本中1本引く
\(\begin{eqnarray}~~~P(X=0\,,\,Y=0)&=&\displaystyle \frac{\,{}_8\mathrm{C}_2\,}{\,{}_{10}\mathrm{C}_2\,}\cdot\frac{\,{}_6\mathrm{C}_1\,}{\,{}_8\mathrm{C}_1\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\displaystyle \frac{\,8\cdot7\,}{\,2\cdot1\,}\,}{\,\displaystyle \frac{\,10\cdot9\,}{\,2\cdot1\,}\,}\cdot\frac{\,6\,}{\,8\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,4\cdot7\,}{\,5\cdot9\,}\cdot\frac{\,3\,}{\,4\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,21\,}{\,45\,}
\end{eqnarray}\)
\(\small [\,2\,]\) \(X=0\) かつ \(Y=1\) のとき、
A：10本中2本引き、はずれ8本中2本引く
B：残り8本中1本引き、当たり2本中1本引く
\(\begin{eqnarray}~~~P(X=0\,,\,Y=1)&=&\displaystyle \frac{\,{}_8\mathrm{C}_2\,}{\,{}_{10}\mathrm{C}_2\,}\cdot\frac{\,{}_2\mathrm{C}_1\,}{\,{}_8\mathrm{C}_1\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\displaystyle \frac{\,8\cdot7\,}{\,2\cdot1\,}\,}{\,\displaystyle \frac{\,10\cdot9\,}{\,2\cdot1\,}\,}\cdot\frac{\,2\,}{\,8\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,4\cdot7\,}{\,5\cdot9\,}\cdot\frac{\,1\,}{\,4\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,7\,}{\,45\,}
\end{eqnarray}\)
\(\small [\,3\,]\) \(X=1\) かつ \(Y=0\) のとき、
A：10本中2本引き、
当たり2本中1本引き、はずれ8本中1本引く
B：残り8本中1本引き、はずれ7本中1本引く
\(\begin{eqnarray}~~~P(X=1\,,\,Y=0)&=&\displaystyle \frac{\,{}_2\mathrm{C}_1\cdot{}_8\mathrm{C}_1\,}{\,{}_{10}\mathrm{C}_2\,}\cdot\frac{\,{}_7\mathrm{C}_1\,}{\,{}_8\mathrm{C}_1\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,2\cdot8\,}{\,\displaystyle \frac{\,10\cdot9\,}{\,2\cdot1\,}\,}\cdot\frac{\,7\,}{\,8\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,2\cdot8\,}{\,5\cdot9\,}\cdot\frac{\,7\,}{\,8\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,14\,}{\,45\,}
\end{eqnarray}\)
\(\small [\,4\,]\) \(X=1\) かつ \(Y=1\) のとき、
A：10本中2本引き、
当たり2本中1本引き、はずれ8本中1本引く
B：残り8本中1本引き、当たり1本中1本引く
\(\begin{eqnarray}~~~P(X=1\,,\,Y=1)&=&\displaystyle \frac{\,{}_2\mathrm{C}_1\cdot{}_8\mathrm{C}_1\,}{\,{}_{10}\mathrm{C}_2\,}\cdot\frac{\,{}_1\mathrm{C}_1\,}{\,{}_8\mathrm{C}_1\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,2\cdot8\,}{\,\displaystyle \frac{\,10\cdot9\,}{\,2\cdot1\,}\,}\cdot\frac{\,1\,}{\,8\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,2\cdot8\,}{\,5\cdot9\,}\cdot\frac{\,1\,}{\,8\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,2\,}{\,45\,}
\end{eqnarray}\)
\(\small [\,5\,]\) \(X=2\) かつ \(Y=0\) のとき、
A：10本中2本引き、当たり2本中2本引く
B：残り8本中1本引き、はずれ8本中1本引く
\(\begin{eqnarray}~~~P(X=2\,,\,Y=0)&=&\displaystyle \frac{\,{}_2\mathrm{C}_2\,}{\,{}_{10}\mathrm{C}_2\,}\cdot\frac{\,{}_8\mathrm{C}_1\,}{\,{}_8\mathrm{C}_1\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\displaystyle \frac{\,10\cdot9\,}{\,2\cdot1\,}\,}\cdot\frac{\,1\,}{\,1\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,5\cdot9\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,45\,}
\end{eqnarray}\)
\(\small [\,6\,]\) \(X=2\) かつ \(Y=1\) のとき、
当たりくじは2本しかないので起こり得ない
\(\begin{eqnarray}~~~P(X=2\,,\,Y=1)&=&0
\end{eqnarray}\)
以上より、
\( X \) の値を列(縦)に、\( Y \) の値を行(横)にした同時分布の表は、
\(~~~~~\begin{array}{c|cc|c}
~~~~Y\\[-5pt] X~~~~ & 0 & 1 & 計 \\[5pt]
\hline
0 & \displaystyle\frac{\,21\,}{\,45\,} & \displaystyle\frac{\,7\,}{\,45\,} & \displaystyle\frac{\,28\,}{\,45\,} \\[5pt]
1 & \displaystyle\frac{\,14\,}{\,45\,} & \displaystyle\frac{\,2\,}{\,45\,} & \displaystyle\frac{\,16\,}{\,45\,} \\[5pt]
2 & \displaystyle\frac{\,1\,}{\,45\,} & 0 & \displaystyle\frac{\,1\,}{\,45\,} \\[5pt]
\hline
計 & \displaystyle\frac{\,36\,}{\,45\,} & \displaystyle\frac{\,9\,}{\,45\,} & 1
\end{array}\)
