確率変数の和の期待値(平均)

 

1個のさいころを投げたとき、出た目を確率変数とすると、
確率分布と期待値(平均)は、

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\(\begin{array}{c|cccccc|c}
X & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 計 \\
\hline
P & \displaystyle\frac{\,1\,}{\,6\,} & \displaystyle\frac{\,1\,}{\,6\,} & \displaystyle\frac{\,1\,}{\,6\,} & \displaystyle\frac{\,1\,}{\,6\,} & \displaystyle\frac{\,1\,}{\,6\,} & \displaystyle\frac{\,1\,}{\,6\,} & 1
\end{array}\)

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\(\begin{eqnarray}~~~m&=&\displaystyle \frac{\,1+2+3+4+5+6\,}{\,6\,}=\displaystyle \frac{\,7\,}{\,2\,}
\end{eqnarray}\)

 

これより、大小2個のさいころについても、期待値(平均)はそれぞれ \(\displaystyle \frac{\,7\,}{\,2\,}\) であるので、

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\(\begin{eqnarray}~~~E(X)=\displaystyle \frac{\,7\,}{\,2\,}~,~E(Y)=\displaystyle \frac{\,7\,}{\,2\,}
\end{eqnarray}\)

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よって、出る目の和 \( X+Y \) の期待値(平均)はそれぞれの期待値(平均)の和より、

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\(\begin{eqnarray}~~~E(X+Y)&=&E(X)+E(Y)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,7\,}{\,2\,}+\displaystyle \frac{\,7\,}{\,2\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,14\,}{\,2\,}=7
\end{eqnarray}\)

 

また、確率変数 \(2X+3Y\) の期待値(平均)は、

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\(\begin{eqnarray}~~~E(2X+3Y)&=&2E(X)+3E(Y)
\\[5pt]~~~&=&2\cdot\displaystyle \frac{\,7\,}{\,2\,}+3\cdot\displaystyle \frac{\,7\,}{\,2\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,35\,}{\,2\,}
\end{eqnarray}\)

 

さらに、大中小3個のさいころでも、それぞれの期待値は \(\displaystyle \frac{\,7\,}{\,2\,}\) であるので、

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\(\begin{eqnarray}~~~E(X+Y+Z)&=&E(X)+E(Y)+E(Z)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,7\,}{\,2\,}+\displaystyle \frac{\,7\,}{\,2\,}+\displaystyle \frac{\,7\,}{\,2\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,21\,}{\,2\,}
\end{eqnarray}\)