- 数学B｜統計的な推測「硬貨の合計金額の期待値(平均)」の基本例題解説ページです。
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問題｜硬貨の合計金額の期待値(平均)
統計的な推測 1110円玉1枚、100円玉1枚、500円玉1枚を同時に投げるとき、表の出た硬貨の金額の和の期待値(平均)の求め方は？
高校数学B｜統計的な推測
解法のPoint
硬貨の合計金額の期待値(平均)
Point：硬貨の合計金額の期待値(平均)
① それぞれの硬貨の期待値(平均)を個別に計算する。
10円玉1枚： \( E(X)=5 \)
100円玉1枚： \( E(Y)=50 \)
500円玉1枚： \( E(Z)=250 \)
② それぞれの期待値(平均)の和が、全部の合計の期待値(平均)と等しくなる。
\(\begin{eqnarray}~~~E(X+Y+Z)&=&E(X)+E(Y)+E(Z)
\\[5pt]~~~&=&5+50+250=305
\end{eqnarray}\)
複数種類の硬貨を投げたときの、表の出た硬貨の合計金額の期待値(平均)は、
① それぞれの硬貨の期待値(平均)を個別に計算する。
10円玉1枚： \( E(X)=5 \)
100円玉1枚： \( E(Y)=50 \)
500円玉1枚： \( E(Z)=250 \)
② それぞれの期待値(平均)の和が、全部の合計の期待値(平均)と等しくなる。
\(\begin{eqnarray}~~~E(X+Y+Z)&=&E(X)+E(Y)+E(Z)
\\[5pt]~~~&=&5+50+250=305
\end{eqnarray}\)
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詳しい解説｜硬貨の合計金額の期待値(平均)
統計的な推測 11
10円玉1枚、100円玉1枚、500円玉1枚を同時に投げるとき、表の出た硬貨の金額の和の期待値(平均)の求め方は？
高校数学B｜統計的な推測
そのまま確率変数 \(X+Y+Z\) の確率分布を考えると、
\(X+Y+Z=0~,~10~,~100~,~\cdots~,~610\) まであり、1つ1つの確率変数の和の値とその確率を求めるのは大変である。
よって、それぞれの期待値(平均)を先に求めて、その和を利用する。
\(X+Y+Z=0~,~10~,~100~,~\cdots~,~610\) まであり、1つ1つの確率変数の和の値とその確率を求めるのは大変である。
よって、それぞれの期待値(平均)を先に求めて、その和を利用する。
硬貨を1枚投げたとき、表が出る確率は \( \displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,} \) であるので、
10円玉1枚を投げたときの金額の期待値(平均) \(E(X)\) は、
\(\begin{array}{c|cc|c}
X & 0 & 10 & 計 \\[5pt]
\hline
P & \displaystyle\frac{\,1\,}{\,2\,} & \displaystyle\frac{\,1\,}{\,2\,} & 1
\end{array}\)
\(\begin{eqnarray}~~~E(X)&=&\displaystyle \frac{\,0\cdot 1+10\cdot 1\,}{\,2\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,10\,}{\,2\,}
\\[5pt]~~~&=&5
\end{eqnarray}\)
100円玉1枚を投げたときの金額の期待値(平均) \(E(Y)\) は、
\(\begin{array}{c|cc|c}
Y & 0 & 100 & 計 \\[5pt]
\hline
P & \displaystyle\frac{\,1\,}{\,2\,} & \displaystyle\frac{\,1\,}{\,2\,} & 1
\end{array}\)
\(\begin{eqnarray}~~~E(Y)&=&\displaystyle \frac{\,0\cdot 1+100\cdot 1\,}{\,2\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,100\,}{\,2\,}
\\[5pt]~~~&=&50
\end{eqnarray}\)
500円玉1枚を投げたときの金額の期待値(平均) \(E(Z)\) は、
\(\begin{array}{c|cc|c}
Z & 0 & 500 & 計 \\[5pt]
\hline
P & \displaystyle\frac{\,1\,}{\,2\,} & \displaystyle\frac{\,1\,}{\,2\,} & 1
\end{array}\)
\(\begin{eqnarray}~~~E(Z)&=&\displaystyle \frac{\,0\cdot 1+500\cdot 1\,}{\,2\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,500\,}{\,2\,}
\\[5pt]~~~&=&250
\end{eqnarray}\)
よって、合計金額 \(X+Y+Z\) の期待値(平均)は、それぞれの期待値(平均)の和より、
\(\begin{eqnarray}~~~E(X+Y+Z)&=&E(X)+E(Y)+E(Z)
\\[5pt]~~~&=&5+50+250
\\[5pt]~~~&=&305
\end{eqnarray}\)
したがって、期待値(平均)は \(305\) 円
