- 数学B｜統計的な推測「独立な確率変数」の基本例題解説ページです。
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問題｜独立な確率変数
統計的な推測 1210円玉2枚と100円玉1枚を同時に投げ、10円玉の表の枚数を \( X \) 、100円玉の表の枚数を \( Y \) とするとき、確率変数 \( X \) と \( Y \) が互いに独立であることの調べ方は？
高校数学B｜統計的な推測
解法のPoint
独立な確率変数
Point：独立な確率変数
\(\begin{eqnarray}~P\left(X=a\,,\,Y=b\right)&=&P\left(X=a\right)\,P\left(Y=b\right)\end{eqnarray}\)
が成り立つとき、確率変数 \(X~,~Y\) は独立である。
① 2つの確率変数 \(X~,~Y\) の同時分布の表を書く。
② 具体的な \(X~,~Y\) の数値で、次の等式が成り立つことを示す。
例えば \(X=1~,~~Y=0\) のとき、
\(\begin{eqnarray}~P\left(X=1\,,\,Y=0\right)&=&P\left(X=1\right)\,P\left(Y=0\right)\end{eqnarray}\)
③ 任意の値 \(X=a~,~Y=b\) についても、\(X=a~,~Y=b\) である確率と、\(X=a\) の確率 × \(Y=b\) の確率 が等しくなることを示す。
\(\begin{eqnarray}~P\left(X=a\,,\,Y=b\right)&=&P\left(X=a\right)\,P\left(Y=b\right)\end{eqnarray}\)
2つの確率変数 \(X~,~Y\) について、
\(X\) のとる任意の値 \(a\) と、\(Y\) のとる任意の値 \(b\) で、
\(\begin{eqnarray}~P\left(X=a\,,\,Y=b\right)&=&P\left(X=a\right)\,P\left(Y=b\right)\end{eqnarray}\)
が成り立つとき、確率変数 \(X~,~Y\) は独立である。
■ 独立な確率変数の調べ方
① 2つの確率変数 \(X~,~Y\) の同時分布の表を書く。
② 具体的な \(X~,~Y\) の数値で、次の等式が成り立つことを示す。
例えば \(X=1~,~~Y=0\) のとき、
\(\begin{eqnarray}~P\left(X=1\,,\,Y=0\right)&=&P\left(X=1\right)\,P\left(Y=0\right)\end{eqnarray}\)
③ 任意の値 \(X=a~,~Y=b\) についても、\(X=a~,~Y=b\) である確率と、\(X=a\) の確率 × \(Y=b\) の確率 が等しくなることを示す。
\(\begin{eqnarray}~P\left(X=a\,,\,Y=b\right)&=&P\left(X=a\right)\,P\left(Y=b\right)\end{eqnarray}\)
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詳しい解説｜独立な確率変数
統計的な推測 12
10円玉2枚と100円玉1枚を同時に投げ、10円玉の表の枚数を \( X \) 、100円玉の表の枚数を \( Y \) とするとき、確率変数 \( X \) と \( Y \) が互いに独立であることの調べ方は？
高校数学B｜統計的な推測
10円玉2枚を投げたときの表の枚数 \(X\) の値とその確率は、
\(X=0\) のとき、\(P(X=0)=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}\)
\(X=1\) のとき、\(P(X=1)=\displaystyle \frac{\,2\,}{\,4\,}\)
\(X=2\) のとき、\(P(X=2)=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}\)
100円玉1枚を投げたときの表の枚数 \(Y\) の値とその確率は、
\(Y=0\) のとき、\(P(Y=0)=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\)
\(Y=1\) のとき、\(P(Y=1)=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\)
また、同時分布の表は縦の列を \(X\)、横の行を \(Y\) として、
\(~~~~~\begin{array}{c|cc|c}
~~~~~~~Y~\\[-5pt] ~X~~~ & ~~0~~ & ~~1~~ & ~~計~~ \\[5pt]
\hline
0 & \displaystyle\frac{\,1\,}{\,8\,} & \displaystyle\frac{\,1\,}{\,8\,} & \displaystyle\frac{\,2\,}{\,8\,} \\[5pt]
1 & \displaystyle\frac{\,2\,}{\,8\,} & \displaystyle\frac{\,2\,}{\,8\,} & \displaystyle\frac{\,4\,}{\,8\,} \\[5pt]
2 & \displaystyle\frac{\,1\,}{\,8\,} & \displaystyle\frac{\,1\,}{\,8\,} & \displaystyle\frac{\,2\,}{\,8\,} \\[5pt]
\hline
計 & \displaystyle\frac{\,4\,}{\,8\,} & \displaystyle\frac{\,4\,}{\,8\,} & 1
\end{array}\)
ここで、例えば \(X=1~,~~Y=0\) のとき、
\(P(X=1\,,\,Y=0)=\displaystyle \frac{\,2\,}{\,8\,}\)
\(P(X=1)\,P(Y=0)=\displaystyle \frac{\,2\,}{\,4\,}\cdot \displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}=\displaystyle \frac{\,2\,}{\,8\,}\)
よって、
\(\begin{eqnarray}P(X=1\,,\,Y=0)&=&P(X=1)\,P(Y=0)\end{eqnarray}\) が成り立つ
さらに、任意の値 \(X=a~,~Y=b\) についても、
\(\begin{eqnarray}~~~P\left(X=a\,,\,Y=b\right)&=&P\left(X=a\right)\,P\left(Y=b\right)\end{eqnarray}\)
が成り立つので、確率変数 \(X~,~Y\) は独立である
