- 数学B｜統計的な推測事象の独立・従属」の基本例題解説ページです。
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問題｜事象の独立・従属
高校数学B｜統計的な推測
解法のPoint
事象の独立・従属
2つの事象 \( A ~,~ B \) について、
\( P(A\cap B)=P(A)P(B) \) が成り立つとき、
\( A \) と \( B \) は互いに「独立」である。
成り立たないときは、
\( A \) と \( B \) は互いに「従属」である。
■ 独立or従属の調べ方
① それぞれの確率 \( P(A)~,~P(B)~,~P(A\cap B) \) を求める。
② 等式 \( P(A\cap B)=P(A)P(B) \) が成り立つかを調べる。
成り立つ \(~\Leftrightarrow ~ \) 独立
成り立たない \(~\Leftrightarrow ~ \) 従属
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詳しい解説｜事象の独立・従属
大小2個のさいころを投げて、大のさいころが偶数の目のある事象を \( A \) 、小のさいころが1の目である事象を \( B \) 、さいころの目の和が5である事象を \( C \) とするとき、 \( A \) と \( B \) 、 \( B \) と \( C \) 、 \( A \) と \( C \) はそれぞれ独立or従属であるか？
高校数学B｜統計的な推測
大小2個のさいころの目の和の表は、大のさいころの目を縦の列、小のさいころの目を横の行として、
\(\begin{array}{c|cccccc}~~~小\\[-5pt] 大~~~ & ~~1~~ & ~~2~~ & ~~3~~ & ~~4~~ & ~~5~~ & ~~6~~ \\[5pt]
\hline 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 \\[5pt]
2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 \\[5pt]
3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 \\[5pt]
4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 \\[5pt]
5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 11 \\[5pt]
6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 11 & 12\end{array}\)
これより、全事象は \(36\) 通りであるので、
大のさいころが偶数の目になる事象 \( A \) の確率は、
大のさいころの目が \(2~,~4~,~6\) となる \(18\) 通りより、
\(P(A)=\displaystyle \frac{\,18\,}{\,36\,}=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\)
小のさいころが1の目になる事象 \( B \) の確率は、
小のさいころの目が \(1\) となる \(6\) 通りより、
\(P(B)=\displaystyle \frac{\,6\,}{\,36\,}=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,6\,}\)
目の和が5となる事象 \( C \) の確率は、
\((4~,~1)~,~(3~,~2)~,~(2~,~3)~,~(1~,~4)\) の \(4\) 通りより、
\(P(C)=\displaystyle \frac{\,4\,}{\,36\,}=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,9\,}\)
\(\small [\,1\,]\) \(A\) と \(B\) について、\(A\cap B\) の確率は、
\((2~,~1)~,~(4~,~1)~,~(6~,~1)\) の \(3\) 通りより、
\(\begin{eqnarray}~~~P(A\cap B)&=&\displaystyle \frac{\,3\,}{\,36\,}=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,12\,}\end{eqnarray}\)
また、
\(\begin{eqnarray}~~~P(A)P(B)&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\times\displaystyle \frac{\,1\,}{\,6\,}=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,12\,}\end{eqnarray}\)
これより、\(P(A\cap B)=P(A)P(B)\) が成り立つので、\(A\) と \(B\) は互いに独立である
\(\small [\,2\,]\) \(B\) と \(C\) について、\(B\cap C\) の確率は、
\((4~,~1)\) の \(1\) 通りより、
\(\begin{eqnarray}~~~P(B\cap C)&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,36\,}\end{eqnarray}\)
また、
\(\begin{eqnarray}~~~P(B)P(C)&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,6\,}\times\displaystyle \frac{\,1\,}{\,9\,}=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,54\,}\end{eqnarray}\)
これより、\(P(B\cap C)=P(B)P(C)\) が成り立たないので、\(B\) と \(C\) は互いに従属である
\(\small [\,3\,]\) \(A\) と \(C\) について、\(A\cap C\) の確率は、
\((4~,~1)~,~(2~,~3)\) の \(2\) 通りより、
\(\begin{eqnarray}~~~P(A\cap C)&=&\displaystyle \frac{\,2\,}{\,36\,}=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,18\,}\end{eqnarray}\)
また、
\(\begin{eqnarray}~~~P(A)P(C)&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\times\displaystyle \frac{\,1\,}{\,9\,}=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,18\,}\end{eqnarray}\)
これより、\(P(A\cap C)=P(A)P(C)\) が成り立つので、\(A\) と \(C\) は互いに独立である
