- 数学B｜統計的な推測「独立な確率変数の積の期待値(平均)」の基本例題解説ページです。
- 目次をクリックすると各セクションへ移動します。
問題｜独立な確率変数の積の期待値(平均)
統計的な推測 14大小2個のさいころを同時に投げ、それぞれのさいころの出た目を \( X~,~Y \) とするとき、出る目の積 \( XY \) の期待値(平均)の求め方は？また、大中小3個のさいころの場合での出る目の積の期待値(平均)の求め方は？
高校数学B｜統計的な推測
解法のPoint
独立な確率変数の積の期待値(平均)
Point：独立な確率変数の積の期待値(平均)
① それぞれの期待値(平均) \(E(X)~,~E(Y)\) を求める。
② 2つの確率変数 \(X~,~Y\) が互いに独立であれば、確率変数 \(XY\) の期待値(平均)は、それぞれの期待値(平均)の積に等しい。
\(\begin{eqnarray}E(XY)&=&E(X)\,E(Y)\end{eqnarray}\)
\(\begin{eqnarray}~~~E(XYZ)&=&E(X)\,E(Y)\,E(Z)\end{eqnarray}\)
2つの確率変数 \(X~,~Y\) の積 \(XY\) の期待値(平均)は、
① それぞれの期待値(平均) \(E(X)~,~E(Y)\) を求める。
② 2つの確率変数 \(X~,~Y\) が互いに独立であれば、確率変数 \(XY\) の期待値(平均)は、それぞれの期待値(平均)の積に等しい。
\(\begin{eqnarray}E(XY)&=&E(X)\,E(Y)\end{eqnarray}\)
また、3つの確率変数の積 \(XYZ\) の期待値(平均)は、\(X~,~Y~,~Z\) が互いに独立であるとき、
\(\begin{eqnarray}~~~E(XYZ)&=&E(X)\,E(Y)\,E(Z)\end{eqnarray}\)
©︎ 2026 教科書より詳しい高校数学 yorikuwa.com
詳しい解説｜独立な確率変数の積の期待値(平均)
統計的な推測 14
大小2個のさいころを同時に投げ、それぞれのさいころの出た目を \( X~,~Y \) とするとき、出る目の積 \( XY \) の期待値(平均)の求め方は？また、大中小3個のさいころの場合での出る目の積の期待値(平均)の求め方は？
高校数学B｜統計的な推測
1個のさいころを投げたとき、出た目を確率変数とすると、
確率分布と期待値(平均)は、
\(\begin{array}{c|cccccc|c}
X & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 計 \\
\hline
P & \displaystyle\frac{\,1\,}{\,6\,} & \displaystyle\frac{\,1\,}{\,6\,} & \displaystyle\frac{\,1\,}{\,6\,} & \displaystyle\frac{\,1\,}{\,6\,} & \displaystyle\frac{\,1\,}{\,6\,} & \displaystyle\frac{\,1\,}{\,6\,} & 1
\end{array}\)
\(\begin{eqnarray}~~~m&=&\displaystyle \frac{\,1+2+3+4+5+6\,}{\,6\,}=\displaystyle \frac{\,7\,}{\,2\,}
\end{eqnarray}\)
これより、大小2個のさいころについても、期待値(平均)はそれぞれ \(\displaystyle \frac{\,7\,}{\,2\,}\) であるので、
\(\begin{eqnarray}~~~E(X)=\displaystyle \frac{\,7\,}{\,2\,}~,~E(Y)=\displaystyle \frac{\,7\,}{\,2\,}
\end{eqnarray}\)
さらに、確率変数 \(X~,~Y\) は互いに独立である
よって、出る目の積の期待値(平均)は、それぞれの期待値(平均)の積より、
\(\begin{eqnarray}~~~E(XY)&=&E(X)\,E(Y)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,7\,}{\,2\,}{\, \small \times \,} \displaystyle \frac{\,7\,}{\,2\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,49\,}{\,4\,}
\end{eqnarray}\)
また、大中小の3個のさいころでも、確率変数 \(X,\,Y,\,Z\) は互いに独立で、期待値(平均)は、
\(\begin{eqnarray}~~~E(X)&=&E(Y)=E(Z)=\displaystyle \frac{\,7\,}{\,2\,}\end{eqnarray}\)
これより、確率変数 \(XYZ\) の期待値(平均)は、
\(\begin{eqnarray}~~~E(XYZ)&=&E(X)\,E(Y)\,E(Z)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,7\,}{\,2\,}{\, \small \times \,} \displaystyle \frac{\,7\,}{\,2\,}{\, \small \times \,} \displaystyle \frac{\,7\,}{\,2\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,343\,}{\,8\,}
\end{eqnarray}\)
