2つの確率変数で決まる得点の期待値(平均)

 

1個のさいころを投げたとき、出た目を確率変数 \(X\) とすると、
確率分布と期待値(平均) \(E(X)\) は、

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\(\begin{array}{c|cccccc|c}
X & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 計 \\
\hline
P & \displaystyle\frac{\,1\,}{\,6\,} & \displaystyle\frac{\,1\,}{\,6\,} & \displaystyle\frac{\,1\,}{\,6\,} & \displaystyle\frac{\,1\,}{\,6\,} & \displaystyle\frac{\,1\,}{\,6\,} & \displaystyle\frac{\,1\,}{\,6\,} & 1
\end{array}\)

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\(\begin{eqnarray}~~~E(X)&=&\displaystyle \frac{\,1+2+3+4+5+6\,}{\,6\,}=\displaystyle \frac{\,7\,}{\,2\,}
\end{eqnarray}\)

 

次に、硬貨の表が出ると \(2\) 、裏が出ると \(1\) の値をとる確率変数を \( Y \) とすると、確率はそれぞれ \(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\) であるので、
確率分布と期待値(平均) \(E(Y)\) は、

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\(\begin{array}{c|cc|c}
Y & 2 & 1 & 計 \\[5pt]
\hline
P & \displaystyle\frac{\,1\,}{\,2\,} & \displaystyle\frac{\,1\,}{\,2\,} & 1
\end{array}\)

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\(\begin{eqnarray}~~~E(Y)&=&\displaystyle \frac{\,2\cdot 1+1\cdot 1\,}{\,2\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}
\end{eqnarray}\)

 

ここで、得点は2つの確率変数 \( X \) と \( Y \) の積 \( XY \) で表せて、\( X \) と \( Y \) は互いに独立である

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よって、\( XY \) の期待値(平均)はそれぞれの期待値(平均)の積であるので、

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\(\begin{eqnarray}~~~E(XY)&=&E(X)\,E(Y)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,7\,}{\,2\,}{\, \small \times \,}\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,21\,}{\,4\,}
\end{eqnarray}\)