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問題アーカイブ01
問題アーカイブ01\(1\) 個のさいころと \(1\) 枚の硬貨を投げる。硬貨の表が出ればさいころの目の \(3\) 倍を得点とし、裏が出ればさいころの目を得点とする。このときの得点の平均を求めよ。
東京書籍｜Advanced数学Ｂ[701] p.76 問題 3
そのまま得点を確率変数として期待値(平均)を求めようとすると、
確率変数が \(1~,~2~,~3~,~\cdots ~,~18\) の範囲まで取り、それぞれの確率を求めて期待値(平均)を求めるのが大変になる。
よって、独立な2つの確率変数の積と考えて、それぞれの期待値(平均)から求める。
確率変数が \(1~,~2~,~3~,~\cdots ~,~18\) の範囲まで取り、それぞれの確率を求めて期待値(平均)を求めるのが大変になる。
よって、独立な2つの確率変数の積と考えて、それぞれの期待値(平均)から求める。
1個のさいころを投げたとき、出た目を確率変数 \(X\) とすると、
確率分布と期待値(平均) \(E(X)\) は、
\(\begin{array}{c|cccccc|c}
X & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 計 \\
\hline
P & \displaystyle\frac{\,1\,}{\,6\,} & \displaystyle\frac{\,1\,}{\,6\,} & \displaystyle\frac{\,1\,}{\,6\,} & \displaystyle\frac{\,1\,}{\,6\,} & \displaystyle\frac{\,1\,}{\,6\,} & \displaystyle\frac{\,1\,}{\,6\,} & 1
\end{array}\)
\(\begin{eqnarray}~~~E(X)&=&\displaystyle \frac{\,1+2+3+4+5+6\,}{\,6\,}=\displaystyle \frac{\,7\,}{\,2\,}
\end{eqnarray}\)
次に、硬貨の表が出ると \(3\) 、裏が出ると \(1\) の値をとる確率変数を \( Y \) とすると、確率はそれぞれ \(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\) であるので、
確率分布と期待値(平均) \(E(Y)\) は、
\(\begin{array}{c|cc|c}
Y & 3 & 1 & 計 \\[5pt]
\hline
P & \displaystyle\frac{\,1\,}{\,2\,} & \displaystyle\frac{\,1\,}{\,2\,} & 1
\end{array}\)
\(\begin{eqnarray}~E(Y)&=&\displaystyle \frac{\,3\cdot 1+1\cdot 1\,}{\,2\,}
\\[5pt]~&=&\displaystyle \frac{\,4\,}{\,2\,}=2
\end{eqnarray}\)
ここで、得点は2つの確率変数 \( X \) と \( Y \) の積 \( XY \) で表せて、\( X \) と \( Y \) は互いに独立である
よって、\( XY \) の期待値(平均)はそれぞれの期待値(平均)の積であるので、
\(\begin{eqnarray}~~~E(XY)&=&E(X)\,E(Y)
\\[5pt]~&=&\displaystyle \frac{\,7\,}{\,2\,}{\, \small \times \,}2
\\[5pt]~~~&=&7
\end{eqnarray}\)
