- 数学B｜統計的な推測「独立な確率変数の和の分散・標準偏差」の基本例題解説ページです。
- 目次をクリックすると各セクションへ移動します。
問題｜独立な確率変数の和の分散・標準偏差
統計的な推測 16大小2個のさいころを同時に投げ、それぞれのさいころの出た目を \( X~,~Y \) とするとき、出る目の和 \( X+Y \) や \( 2X-Y \) の分散と標準偏差の求め方は？また、大中小3個のさいころの場合での出る目の和の分散と標準偏差の求め方は？
高校数学B｜統計的な推測
解法のPoint
独立な確率変数の和の分散・標準偏差
Point：独立な確率変数の和の分散・標準偏差
① それぞれの確率変数 \(X~,~Y\) の分散 \(V(X)~,~V(Y)\) を求める。
② 確率変数 \(X~,~Y\) が互いに独立のとき、確率変数の和 \(X+Y\) の分散は、それぞれの分散の和に等しい。
\(\begin{eqnarray}V(X+Y)&=&V(X)+V(Y)\end{eqnarray}\)
③ 標準偏差は分散に平方根を取り求める。
\(\begin{eqnarray}~~~\sigma(X+Y)&=&\sqrt{\,V(X+Y)\,}
\end{eqnarray}\)
2つの確率変数 \(X~,~Y\) の和 \(X+Y\) の分散 \(V(X+Y)\) は、
① それぞれの確率変数 \(X~,~Y\) の分散 \(V(X)~,~V(Y)\) を求める。
② 確率変数 \(X~,~Y\) が互いに独立のとき、確率変数の和 \(X+Y\) の分散は、それぞれの分散の和に等しい。
\(\begin{eqnarray}V(X+Y)&=&V(X)+V(Y)\end{eqnarray}\)
また、\(a~,~b\) を実数とした \(aX+bY\) の分散は、
\(\begin{eqnarray}~~~V(aX+bY)&=&a^2 V(X)+b^2 V(Y)\end{eqnarray}\)
さらに、3つの確率変数の和 \(X+Y+Z\) の分散は、\(X~,~Y~,~Z\) が互いに独立のとき、
\(\begin{eqnarray}~~~V(X+Y+Z)&=&V(X)+V(Y)+V(Z)
\end{eqnarray}\)
③ 標準偏差は分散に平方根を取り求める。
\(\begin{eqnarray}~~~\sigma(X+Y)&=&\sqrt{\,V(X+Y)\,}
\end{eqnarray}\)
©︎ 2026 教科書より詳しい高校数学 yorikuwa.com
詳しい解説｜独立な確率変数の和の分散・標準偏差
統計的な推測 16大小2個のさいころを同時に投げ、それぞれのさいころの出た目を \( X~,~Y \) とするとき、出る目の和 \( X+Y \) や \( 2X-Y \) の分散と標準偏差の求め方は？また、大中小3個のさいころの場合での出る目の和の分散と標準偏差の求め方は？
高校数学B｜統計的な推測
さいころ1個を投げたときの出た目を \(X\) としたときの、確率変数 \(X\) とその2乗の値 \(X^2\) の確率分布は、
\(\begin{array}{c|cccccc|c}
X^2 & 1 & 4 & 9 & 16 & 25 & 36 & \\[5pt]
\hline
X & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 計 \\
\hline
P & \displaystyle\frac{\,1\,}{\,6\,} & \displaystyle\frac{\,1\,}{\,6\,} & \displaystyle\frac{\,1\,}{\,6\,} & \displaystyle\frac{\,1\,}{\,6\,} & \displaystyle\frac{\,1\,}{\,6\,} & \displaystyle\frac{\,1\,}{\,6\,} & 1
\end{array}\)
これより、確率変数 \(X\) の期待値(平均)は、
\(\begin{eqnarray}~~~E(X)&=&\displaystyle \frac{\,1+2+3+4+5+6\,}{\,6\,}=\displaystyle \frac{\,7\,}{\,2\,}
\end{eqnarray}\)
また、\(X^2\) の期待値(平均)は、
\(\begin{eqnarray}~~~E\left(X^2\right)&=&\displaystyle \frac{\,1+4+9+16+25+36\,}{\,6\,}=\displaystyle \frac{\,91\,}{\,6\,}\end{eqnarray}\)
よって、分散 \(V(X)\) は、
\(\begin{eqnarray}~~~V(X)&=&E\left(X^2\right)-\left\{E(X)\right\}^2
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,91\,}{\,6\,}-\left(\displaystyle \frac{\,7\,}{\,2\,}\right)^2=\displaystyle \frac{\,35\,}{\,12\,}
\end{eqnarray}\)
分散の求め方はこちらから↓
これより、大小2個のさいころでも分散は \(\displaystyle \frac{\,35\,}{\,12\,}\) であるので、
\(V(X)=\displaystyle \frac{\,35\,}{\,12\,}~,~V(Y)=\displaystyle \frac{\,35\,}{\,12\,}\)
よって、\(X\) と \(Y\) は互いに独立であり、出る目の和の分散は、それぞれの分散の和に等しいので、
\(\begin{eqnarray}~~~V(X+Y)&=&V(X)+V(Y)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,35\,}{\,12\,}+\displaystyle \frac{\,35\,}{\,12\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,70\,}{\,12\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,35\,}{\,6\,}
\end{eqnarray}\)
標準偏差は、分散に平方根を取るので、
\(\begin{eqnarray}~~~\sigma(X+Y)&=&\sqrt{\,V(X+Y)\,}
\\[5pt]~~~&=&\sqrt{\,\displaystyle \frac{\,35\,}{\,6\,}\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\sqrt{210}\,}{\,6\,}
\end{eqnarray}\)
また、確率変数 \(2X-Y\) の分散は、
\(\begin{eqnarray}~~~V(2X-Y)&=&2^2\,V(X)+(-1)^2\,V(Y)
\\[5pt]~~~&=&4\cdot \displaystyle \frac{\,35\,}{\,12\,}+1\cdot \displaystyle \frac{\,35\,}{\,12\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,140+35\,}{\,12\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,175\,}{\,12\,}
\end{eqnarray}\)
標準偏差は、分散に平方根を取るので、
\(\begin{eqnarray}~~~\sigma(2X-Y)&=&\sqrt{\,V(2X-Y)\,}
\\[5pt]~~~&=&\sqrt{\,\displaystyle \frac{\,175\,}{\,12\,}\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,5\sqrt{7}\,}{\,2\sqrt{3}\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,5\sqrt{21}\,}{\,6\,}
\end{eqnarray}\)
さらに、大中小3個のさいころでも、それぞれの分散は \(\displaystyle \frac{\,35\,}{\,12\,}\) で互いに独立であるので、
\(\begin{eqnarray}~~~V(X+Y+Z)&=&V(X)+V(Y)+V(Z)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,35\,}{\,12\,}+\displaystyle \frac{\,35\,}{\,12\,}+\displaystyle \frac{\,35\,}{\,12\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,35{\, \small \times \,}3\,}{\,12\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,35\,}{\,4\,}
\end{eqnarray}\)
標準偏差は、分散に平方根を取るので、
\(\begin{eqnarray}~~~\sigma(X+Y+Z)&=&\sqrt{\,V(X+Y+Z)\,}
\\[5pt]~~~&=&\sqrt{\,\displaystyle \frac{\,35\,}{\,4\,}\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\sqrt{35}\,}{\,2\,}
\end{eqnarray}\)
