同じ試行を重ねた和の期待値(平均)・分散

さいころ1個を投げたときの出た目を \(X_k\) としたときの、確率変数 \(X_k\) とその2乗の値 \({X_k}^2\) の確率分布は、

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\(\begin{array}{c|cccccc|c}
{X_k}^2 & 1 & 4 & 9 & 16 & 25 & 36 & \\[5pt]
\hline
X_k & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 計 \\
\hline
P & \displaystyle\frac{\,1\,}{\,6\,} & \displaystyle\frac{\,1\,}{\,6\,} & \displaystyle\frac{\,1\,}{\,6\,} & \displaystyle\frac{\,1\,}{\,6\,} & \displaystyle\frac{\,1\,}{\,6\,} & \displaystyle\frac{\,1\,}{\,6\,} & 1
\end{array}\)

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これより、確率変数 \(X_k\) の期待値(平均)は、

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\(\begin{eqnarray}~~~E(X_k)&=&\displaystyle \frac{\,1+2+3+4+5+6\,}{\,6\,}=\displaystyle \frac{\,7\,}{\,2\,}
\end{eqnarray}\)

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また、\({X_k}^2\) の期待値(平均)は、

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よって、分散 \(V(X_k)\) は、

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\(\begin{eqnarray}~~~V(X_k)&=&E\left({X_k}^2\right)-\left\{E(X_k)\right\}^2
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,91\,}{\,6\,}-\left(\displaystyle \frac{\,7\,}{\,2\,}\right)^2=\displaystyle \frac{\,35\,}{\,12\,}
\end{eqnarray}\)

 

分散の求め方はこちらから↓

 

1個のさいころを投げたときの期待値(平均)は \( \displaystyle \frac{\,7\,}{\,2\,} \) 、分散は \( \displaystyle \frac{\,35\,}{\,12\,} \) となり、

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さいころを10回投げたとき、それぞれの確率変数を \( X_1,\,X_2,\,\cdots,\,X_{10} \) とすると、期待値(平均)はすべて等しく

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　\(E(X_1)=E(X_2)=\cdots=E(X_{10})=\displaystyle \frac{\,7\,}{\,2\,}\)

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よって、出た目の和の期待値(平均)は、それぞれの期待値(平均)の和より、

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\(\begin{eqnarray}~~~E(X)&=&E(X_1)+E(X_2)+\cdots+E(X_{10})
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,7\,}{\,2\,}{\, \small \times \,}10
\\[5pt]~~~&=&35
\end{eqnarray}\)

 

また、確率変数 \( X_1,\,X_2,\,\cdots,\,X_{10} \) は互いに独立で、それぞれの分散は等しく、

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　\(V(X_1)=V(X_2)=\cdots=V(X_{10})=\displaystyle \frac{\,35\,}{\,12\,}\)

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よって、出た目の和の分散は、それぞれの分散の和より、

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\(\begin{eqnarray}~~~V(X)&=&V(X_1)+V(X_2)+\cdots+V(X_{10})
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,35\,}{\,12\,}{\, \small \times \,}10
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,175\,}{\,6\,}
\end{eqnarray}\)

 

標準偏差は 分散に平方根を取るので、

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\(\begin{eqnarray}~~~\sigma(X)&=&\sqrt{\,V(X)\,}
\\[5pt]~~~&=&\sqrt{\displaystyle \frac{\,175\,}{\,6\,}}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,5\sqrt{7}\,}{\,\sqrt{6}\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,5\sqrt{42}\,}{\,6\,}
\end{eqnarray}\)