このページは、「同じ試行を重ねた和の期待値(平均)・分散」の練習問題アーカイブページとなります。
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同じ試行を重ねた和の期待値(平均)・分散 で確認できます。
問題アーカイブ01
問題アーカイブ011個のさいころを12回投げるとき、出る目の和を \( X \) とする。確率変数 \( X \) の期待値と分散を求めよ。
数研出版｜数学Ｂ[710] p.110 演習問題A 1
さいころ1個を投げたときの出た目を \(X_k\) としたときの、確率変数 \(X_k\) とその2乗の値 \({X_k}^2\) の確率分布は、
\(\begin{array}{c|cccccc|c}
{X_k}^2 & 1 & 4 & 9 & 16 & 25 & 36 & \\[5pt]
\hline
X_k & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 計 \\
\hline
P & \displaystyle\frac{\,1\,}{\,6\,} & \displaystyle\frac{\,1\,}{\,6\,} & \displaystyle\frac{\,1\,}{\,6\,} & \displaystyle\frac{\,1\,}{\,6\,} & \displaystyle\frac{\,1\,}{\,6\,} & \displaystyle\frac{\,1\,}{\,6\,} & 1
\end{array}\)
これより、確率変数 \(X_k\) の期待値(平均)は、
\(\begin{eqnarray}~~~E(X_k)&=&\displaystyle \frac{\,1+2+3+4+5+6\,}{\,6\,}=\displaystyle \frac{\,7\,}{\,2\,}
\end{eqnarray}\)
また、\({X_k}^2\) の期待値(平均)は、
\(\begin{eqnarray}~~~E\left({X_k}^2\right)&=&\displaystyle \frac{\,1+4+9+16+25+36\,}{\,6\,}=\displaystyle \frac{\,91\,}{\,6\,}\end{eqnarray}\)
よって、分散 \(V(X_k)\) は、
\(\begin{eqnarray}~~~V(X_k)&=&E\left({X_k}^2\right)-\left\{E(X_k)\right\}^2
\\[5pt]~&=&\displaystyle \frac{\,91\,}{\,6\,}-\left(\displaystyle \frac{\,7\,}{\,2\,}\right)^2=\displaystyle \frac{\,35\,}{\,12\,}
\end{eqnarray}\)
1個のさいころを投げたときの期待値(平均)は \( \displaystyle \frac{\,7\,}{\,2\,} \) 、分散は \( \displaystyle \frac{\,35\,}{\,12\,} \) となり、
さいころを12回投げたとき、それぞれの確率変数を \( X_1,\,X_2,\,\cdots,\,X_{12} \) とすると、期待値(平均)はすべて等しく
\(E(X_1)=E(X_2)=\cdots=E(X_{12})=\displaystyle \frac{\,7\,}{\,2\,}\)
よって、出た目の和の期待値(平均)は、それぞれの期待値(平均)の和より、
\(\begin{eqnarray}~~~E(X)&=&E(X_1)+E(X_2)+\cdots+E(X_{12})
\\[5pt]~&=&\displaystyle \frac{\,7\,}{\,2\,}{\, \small \times \,}12
\\[5pt]~&=&42
\end{eqnarray}\)
また、確率変数 \( X_1,\,X_2,\,\cdots,\,X_{12} \) は互いに独立で、それぞれの分散は等しく、
\(V(X_1)=V(X_2)=\cdots=V(X_{12})=\displaystyle \frac{\,35\,}{\,12\,}\)
よって、出た目の和の分散は、それぞれの分散の和より、
\(\begin{eqnarray}~V(X)&=&V(X_1)+V(X_2)+\cdots+V(X_{12})
\\[5pt]~&=&\displaystyle \frac{\,35\,}{\,12\,}{\, \small \times \,}12
\\[5pt]~~~&=&35
\end{eqnarray}\)
問題アーカイブ02
問題アーカイブ021個のさいころを4回投げて、\( k \) 回目に出た目が3の倍数のとき \( X_k=1 \) とし、3の倍数でないとき \( X_k=0 \) とする。\( X=X_1+X_2+X_3+X_4 \) とするとき、\( X \) の期待値と分散および標準偏差を求めよ。
数研出版｜高等学校数学Ｂ[711] p.108 章末問題B 8
数研出版｜新編数学Ｂ[712] p.101 章末問題B 7
さいころ1個を投げたとき、出た目が3の倍数なら \(X_k=1\)、3の倍数でないなら \(X_k=0\) としたときの、確率変数 \(X_k\) とその2乗の値 \({X_k}^2\) の確率分布は、
\(\begin{array}{c|cc|c}
{X_k}^2 & 0 & 1 & \\[5pt]
\hline
X_k & 0 & 1 & 計 \\
\hline
P & \displaystyle\frac{\,2\,}{\,3\,} & \displaystyle\frac{\,1\,}{\,3\,} & 1
\end{array}\)
これより、確率変数 \(X_k\) の期待値(平均)は、
\(\begin{eqnarray}~~~E(X_k)&=&0{\,\small \times \,}\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}+1{\,\small \times \,}\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}
\end{eqnarray}\)
また、\({X_k}^2\) の期待値(平均)は、
\(\begin{eqnarray}~~~E\left({X_k}^2\right)&=&0{\,\small \times \,}\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}+1{\,\small \times \,}\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\end{eqnarray}\)
よって、分散 \(V(X_k)\) は、
\(\begin{eqnarray}~~~V(X_k)&=&E\left({X_k}^2\right)-\left\{E(X_k)\right\}^2
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}-\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\right)^2
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,9\,}=\displaystyle \frac{\,2\,}{\,9\,}
\end{eqnarray}\)
1回の試行の期待値(平均)は \( \displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,} \) 、分散は \( \displaystyle \frac{\,2\,}{\,9\,} \) となり、
さいころを4回投げたとき、それぞれの確率変数を \( X_1,\,X_2,\,X_3,\,X_4 \) とすると、期待値(平均)はすべて等しく
\(E(X_1)=E(X_2)=E(X_3)=E(X_4)=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\)
よって、\( X \) の期待値(平均)は、それぞれの期待値(平均)の和より、
\(\begin{eqnarray}~~~E(X)&=&E(X_1)+E(X_2)+E(X_3)+E(X_4)
\\[5pt]~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}{\,\small \times \,}4
\\[5pt]~&=&\displaystyle \frac{\,4\,}{\,3\,}
\end{eqnarray}\)
\\[5pt]~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}{\,\small \times \,}4
\\[5pt]~&=&\displaystyle \frac{\,4\,}{\,3\,}
\end{eqnarray}\)
また、確率変数 \( X_1,\,X_2,\,X_3,\,X_4 \) は互いに独立で、それぞれの分散は等しく、
\(V(X_1)=V(X_2)=V(X_3)=V(X_4)=\displaystyle \frac{\,2\,}{\,9\,}\)
よって、\( X \) の分散は、それぞれの分散の和より、
\(\begin{eqnarray}~~~V(X)&=&V(X_1)+V(X_2)+V(X_3)+V(X_4)
\\[5pt]~&=&\displaystyle \frac{\,2\,}{\,9\,}{\,\small \times \,}4
\\[5pt]~&=&\displaystyle \frac{\,8\,}{\,9\,}
\end{eqnarray}\)
\\[5pt]~&=&\displaystyle \frac{\,2\,}{\,9\,}{\,\small \times \,}4
\\[5pt]~&=&\displaystyle \frac{\,8\,}{\,9\,}
\end{eqnarray}\)
標準偏差は、分散の平方根を取ると、
\(\begin{eqnarray}~~~\sigma(X)&=&\sqrt{\,V(X)\,}
\\[5pt]~&=&\sqrt{\,\displaystyle \frac{\,8\,}{\,9\,}\,}
\\[5pt]~&=&\displaystyle \frac{\,2\sqrt{\,2\,}\,}{\,3\,}
\end{eqnarray}\)
