- 数学B｜統計的な推測「硬貨の合計金額の分散・標準偏差」の基本例題解説ページです。
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問題｜硬貨の合計金額の分散・標準偏差
統計的な推測 18☆10円硬貨3枚と50円硬貨2枚を同時に投げたとき、表が出た硬貨の金額の合計の期待値(平均)、分散と標準偏差の求め方は？
高校数学B｜統計的な推測
解法のPoint
硬貨の合計金額の分散・標準偏差
Point：硬貨の合計金額の分散・標準偏差
① それぞれの確率変数 \( X~,~Y \) の期待値(平均)、分散を求める。
10円玉3枚を投げたとき表の金額 \( X \) の
期待値(平均) \( E(X) \)、分散 \( V(X) \)
50円玉2枚を投げたとき表の金額 \( Y \) の
期待値(平均) \( E(Y) \)、分散 \( V(Y) \)
② 合計金額 \( X+Y \) の期待値(平均)と分散をそれぞれの和より求める。
期待値は、
\(\begin{eqnarray}~~~E(X+Y)&=&E(X)+E(Y)\end{eqnarray}\)
\( X \) と \( Y \) は互いに独立より、分散は、
\(\begin{eqnarray}~~~V(X+Y)&=&V(X)+V(Y)\end{eqnarray}\)
③ 標準偏差は分散に平方根を取り求める。
\(\begin{eqnarray}~~~\sigma(X+Y)&=&\sqrt{\,V(X+Y)\,}\end{eqnarray}\)
複数の硬貨を投げた合計金額の期待値(平均)と分散、標準偏差は、
① それぞれの確率変数 \( X~,~Y \) の期待値(平均)、分散を求める。
10円玉3枚を投げたとき表の金額 \( X \) の
期待値(平均) \( E(X) \)、分散 \( V(X) \)
50円玉2枚を投げたとき表の金額 \( Y \) の
期待値(平均) \( E(Y) \)、分散 \( V(Y) \)
② 合計金額 \( X+Y \) の期待値(平均)と分散をそれぞれの和より求める。
期待値は、
\(\begin{eqnarray}~~~E(X+Y)&=&E(X)+E(Y)\end{eqnarray}\)
\( X \) と \( Y \) は互いに独立より、分散は、
\(\begin{eqnarray}~~~V(X+Y)&=&V(X)+V(Y)\end{eqnarray}\)
③ 標準偏差は分散に平方根を取り求める。
\(\begin{eqnarray}~~~\sigma(X+Y)&=&\sqrt{\,V(X+Y)\,}\end{eqnarray}\)
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詳しい解説｜硬貨の合計金額の分散・標準偏差
統計的な推測 18☆
10円硬貨3枚と50円硬貨2枚を同時に投げたとき、表が出た硬貨の金額の合計の期待値(平均)、分散と標準偏差の求め方は？
高校数学B｜統計的な推測
そのまま確率変数 \(X+Y\) の確率分布を考えると、\(X+Y=0\sim130\) まであり、1つ1つの確率変数の和の値とその確率を求めるのは大変である。
よって、それぞれの期待値(平均)と分散を先に求めて、その和を利用する。
よって、それぞれの期待値(平均)と分散を先に求めて、その和を利用する。
10円玉3枚を投げたとき、表が出た金額の合計を \( X \) とすると、
確率変数 \( X \) と、その2乗 \( X^2 \) の確率分布は、
\(\begin{array}{c|cccc|c}
X^2 & 0 & 100 & 400 & 900 & \\[5pt]
\hline
X & 0 & 10 & 20 & 30 & 計 \\
\hline
P & \displaystyle\frac{\,1\,}{\,8\,} & \displaystyle\frac{\,3\,}{\,8\,} & \displaystyle\frac{\,3\,}{\,8\,} & \displaystyle\frac{\,1\,}{\,8\,} & 1
\end{array}\)
よって、期待値(平均) \( E(X) \) は、
\(\begin{eqnarray}~~~E(X)&=&\displaystyle \frac{\,0\cdot 1 + 10\cdot 3 + 20\cdot 3 + 30\cdot 1\,}{\,8\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,0+30+60+30\,}{\,8\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,120\,}{\,8\,}=15
\end{eqnarray}\)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,0+30+60+30\,}{\,8\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,120\,}{\,8\,}=15
\end{eqnarray}\)
また、\( X \) の2乗の期待値(平均) \( E(X^2) \) は、
\(\begin{eqnarray}~~~E(X^2)&=&\displaystyle \frac{\,0\cdot 1 + 100\cdot 3 + 400\cdot 3 + 900\cdot 1\,}{\,8\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,0+300+1200+900\,}{\,8\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,2400\,}{\,8\,}=300
\end{eqnarray}\)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,0+300+1200+900\,}{\,8\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,2400\,}{\,8\,}=300
\end{eqnarray}\)
これより、分散 \( V(X) \) は、
\(\begin{eqnarray}~~~V(X)&=&E(X^2)-\{E(X)\}^2
\\[5pt]~~~&=&300-15^2
\\[5pt]~~~&=&300-225=75
\end{eqnarray}\)
50円玉2枚を投げたとき、表が出た金額の合計を \( Y \) とすると、
確率変数 \( Y \) と、その2乗 \( Y^2 \) の確率分布は、
\(\begin{array}{c|ccc|c}
Y^2 & 0 & 2500 & 10000 & \\[5pt]
\hline
Y & 0 & 50 & 100 & 計 \\
\hline
P & \displaystyle\frac{\,1\,}{\,4\,} & \displaystyle\frac{\,2\,}{\,4\,} & \displaystyle\frac{\,1\,}{\,4\,} & 1
\end{array}\)
よって、期待値(平均) \( E(Y) \) は、
\(\begin{eqnarray}~~~E(Y)&=&\displaystyle \frac{\,0\cdot 1 + 50\cdot 2 + 100\cdot 1\,}{\,4\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,0+100+100\,}{\,4\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,200\,}{\,4\,}=50
\end{eqnarray}\)
また、\( Y \) の2乗の期待値(平均) \( E(Y^2) \) は、
\(\begin{eqnarray}~~~E(Y^2)&=&\displaystyle \frac{\,0\cdot 1 + 2500\cdot 2 + 10000\cdot 1\,}{\,4\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,0+5000+10000\,}{\,4\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,15000\,}{\,4\,}=3750
\end{eqnarray}\)
これより、分散 \( V(Y) \) は、
\(\begin{eqnarray}~~~V(Y)&=&E(Y^2)-\{E(Y)\}^2
\\[5pt]~~~&=&3750-50^2
\\[5pt]~~~&=&3750-2500=1250
\end{eqnarray}\)
これより、合計金額 \( X+Y \) の期待値(平均) \( E(X+Y) \) は、それぞれの期待値(平均)の和より、
\(\begin{eqnarray}~~~E(X+Y)&=&E(X)+E(Y)
\\[5pt]~~~&=&15+50
\\[5pt]~~~&=&65
\end{eqnarray}\)
\( X \) と \( Y \) は独立より、合計金額 \( X+Y \) の分散 \( V(X+Y) \) は、それぞれの分散の和より、
\(\begin{eqnarray}~~~V(X+Y)&=&V(X)+V(Y)
\\[5pt]~~~&=&75+1250
\\[5pt]~~~&=&1325
\end{eqnarray}\)
標準偏差は、分散に平方根を取ると、
\(\begin{eqnarray}~~~\sigma(X+Y)&=&\sqrt{\,V(X+Y)\,}
\\[5pt]~~~&=&\sqrt{\,1325\,}
\\[3pt]~~~&=&\sqrt{\,5^2\cdot 53\,}
\\[3pt]~~~&=&5\sqrt{\,53\,}
\end{eqnarray}\)
