このページは、「硬貨の合計金額の分散・標準偏差」の練習問題アーカイブページとなります。
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問題アーカイブ01
問題アーカイブ0150円硬貨2枚と100円硬貨3枚を同時に投げるとき，表の出た硬貨の金額の和の期待値と標準偏差を求めよ。
数研出版｜数学Ｂ[710] p.110 演習問題A 2
そのまま確率変数 \(X+Y\) の確率分布を考えると、\(X+Y=0\sim400\) まであり、1つ1つの確率変数の和の値とその確率を求めるのは大変である。
よって、それぞれの期待値(平均)と分散を先に求めて、その和を利用する。
よって、それぞれの期待値(平均)と分散を先に求めて、その和を利用する。
50円玉2枚を投げたとき、表が出た金額の合計を \( X \) とすると、
確率変数 \( X \) と、その2乗 \( X^2 \) の確率分布は、
\(\begin{array}{c|ccc|c}
X^2 & 0 & 2500 & 10000 & \\[5pt]
\hline
X & 0 & 50 & 100 & 計 \\
\hline
P & \displaystyle\frac{\,1\,}{\,4\,} & \displaystyle\frac{\,2\,}{\,4\,} & \displaystyle\frac{\,1\,}{\,4\,} & 1
\end{array}\)
よって、期待値(平均) \( E(X) \) は、
\(\begin{eqnarray}~~~E(X)&=&\displaystyle \frac{\,0\cdot 1 + 50\cdot 2 + 100\cdot 1\,}{\,4\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,0+100+100\,}{\,4\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,200\,}{\,4\,}=50
\end{eqnarray}\)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,0+100+100\,}{\,4\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,200\,}{\,4\,}=50
\end{eqnarray}\)
また、\( X \) の2乗の期待値(平均) \( E(X^2) \) は、
\(\begin{eqnarray}~E(X^2)&=&\displaystyle \frac{\,0\cdot 1 + 2500\cdot 2 + 10000\cdot 1\,}{\,4\,}
\\[5pt]~&=&\displaystyle \frac{\,0+5000+10000\,}{\,4\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,15000\,}{\,4\,}=3750
\end{eqnarray}\)
\\[5pt]~&=&\displaystyle \frac{\,0+5000+10000\,}{\,4\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,15000\,}{\,4\,}=3750
\end{eqnarray}\)
これより、分散 \( V(X) \) は、
\(\begin{eqnarray}~~~V(X)&=&E(X^2)-\{E(X)\}^2
\\[5pt]~~~&=&3750-50^2
\\[5pt]~~~&=&3750-2500=1250
\end{eqnarray}\)
100円玉3枚を投げたとき、表が出た金額の合計を \( Y \) とすると、
確率変数 \( Y \) と、その2乗 \( Y^2 \) の確率分布は、
\(\begin{array}{c|cccc|c}
Y^2 & 0 & 10000 & 40000 & 90000 & \\[5pt]
\hline
Y & 0 & 100 & 200 & 300 & 計 \\
\hline
P & \displaystyle\frac{\,1\,}{\,8\,} & \displaystyle\frac{\,3\,}{\,8\,} & \displaystyle\frac{\,3\,}{\,8\,} & \displaystyle\frac{\,1\,}{\,8\,} & 1
\end{array}\)
よって、期待値(平均) \( E(Y) \) は、
\(\begin{eqnarray}~~~E(Y)&=&\displaystyle \frac{\,0\cdot 1 + 100\cdot 3 + 200\cdot 3 + 300\cdot 1\,}{\,8\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,0+300+600+300\,}{\,8\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1200\,}{\,8\,}=150
\end{eqnarray}\)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,0+300+600+300\,}{\,8\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1200\,}{\,8\,}=150
\end{eqnarray}\)
また、\( Y \) の2乗の期待値(平均) \( E(Y^2) \) は、
\(\begin{eqnarray}~E(Y^2)&=&\displaystyle \frac{\,0\cdot 1 + 10000\cdot 3 + 40000\cdot 3 + 90000\cdot 1\,}{\,8\,}
\\[5pt]~&=&\displaystyle \frac{\,0+30000+120000+90000\,}{\,8\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,240000\,}{\,8\,}=30000
\end{eqnarray}\)
\\[5pt]~&=&\displaystyle \frac{\,0+30000+120000+90000\,}{\,8\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,240000\,}{\,8\,}=30000
\end{eqnarray}\)
これより、分散 \( V(Y) \) は、
\(\begin{eqnarray}~~~V(Y)&=&E(Y^2)-\{E(Y)\}^2
\\[5pt]~~~&=&30000-150^2
\\[5pt]~~~&=&30000-22500=7500
\end{eqnarray}\)
これより、合計金額 \( X+Y \) の期待値(平均) \( E(X+Y) \) は、それぞれの期待値(平均)の和より、
\(\begin{eqnarray}~~~E(X+Y)&=&E(X)+E(Y)
\\[5pt]~~~&=&50+150
\\[5pt]~~~&=&200
\end{eqnarray}\)
\( X \) と \( Y \) は独立より、合計金額 \( X+Y \) の分散 \( V(X+Y) \) は、それぞれの分散の和より、
\(\begin{eqnarray}~~~V(X+Y)&=&V(X)+V(Y)
\\[5pt]~~~&=&1250+7500
\\[5pt]~~~&=&8750
\end{eqnarray}\)
標準偏差は、分散の平方根を取ると、
\(\begin{eqnarray}~~~\sigma(X+Y)&=&\sqrt{\,V(X+Y)\,}
\\[5pt]~~~&=&\sqrt{\,8750\,}
\\[3pt]~~~&=&\sqrt{\,25^2\cdot 14\,}
\\[3pt]~~~&=&25\sqrt{\,14\,}
\end{eqnarray}\)
