- 数学B｜統計的な推測「反復試行の確率と二項分布」の基本例題解説ページです。
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問題｜反復試行の確率と二項分布
統計的な推測 191個のさいころを3回投げ、1の目が出る回数を \( X \) とするとき、確率変数 \( X \) の確率分布とその二項分布の求め方は？また、1の目が2回以上出る確率の求め方は？
高校数学B｜統計的な推測
解法のPoint
反復試行の確率と二項分布
Point：反復試行の確率と二項分布
\( {}_n \mathrm{C}_r \cdot p^{r} \cdot \left( 1-p \right)^{n-r} \)
\( B(n,\,p) \)
1回の試行で事象 \( \rm A \) が起こる確率を \( p \) とし、この試行を \( n \) 回行い \( \rm A \) が \( r \) 回起こる確率は、
反復試行の確率より、
\( {}_n \mathrm{C}_r \cdot p^{r} \cdot \left( 1-p \right)^{n-r} \)
\( \rm A \) が起こる回数を \( X \) とすると、確率変数 \( X \) の確率分布を「二項分布」といい、
\( B(n,\,p) \)
で表す。（ただし、\( 0\lt p\lt 1 \) ）
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詳しい解説｜反復試行の確率と二項分布
統計的な推測 19
1個のさいころを3回投げ、1の目が出る回数を \( X \) とするとき、確率変数 \( X \) の確率分布とその二項分布の求め方は？また、1の目が2回以上出る確率の求め方は？
高校数学B｜統計的な推測
さいころを1回投げたとき、1の目が出る確率は \( p=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,6\,} \) となり、
この試行を \(3\) 回くり返し、1が出る回数を \( X \) とすると、
\(\small [\,1\,]\) \( X=0 \) のとき
\(\begin{eqnarray}~~~{}_3 \mathrm{C}_0 \cdot \left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,6\,}\right)^{0}\cdot \left(\displaystyle \frac{\,5\,}{\,6\,}\right)^{3}&=&\displaystyle \frac{\,125\,}{\,216\,}
\end{eqnarray}\)
\(\small [\,2\,]\) \( X=1 \) のとき
\(\begin{eqnarray}~~~{}_3 \mathrm{C}_1 \cdot \left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,6\,}\right)^{1}\cdot \left(\displaystyle \frac{\,5\,}{\,6\,}\right)^{2}&=&\displaystyle \frac{\,75\,}{\,216\,}
\end{eqnarray}\)
\(\small [\,3\,]\) \( X=2 \) のとき
\(\begin{eqnarray}~~~{}_3 \mathrm{C}_2 \cdot \left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,6\,}\right)^{2}\cdot \left(\displaystyle \frac{\,5\,}{\,6\,}\right)^{1}&=&\displaystyle \frac{\,15\,}{\,216\,}
\end{eqnarray}\)
\(\small [\,4\,]\) \( X=3 \) のとき
\(\begin{eqnarray}~~~{}_3 \mathrm{C}_3 \cdot \left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,6\,}\right)^{3}\cdot \left(\displaystyle \frac{\,5\,}{\,6\,}\right)^{0}&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,216\,}
\end{eqnarray}\)
よって、確率分布の表は、
\(\begin{array}{c|cccc|c}
X & 0 & 1 & 2 & 3 & 計 \\[5pt]
\hline
P & \displaystyle\frac{\,125\,}{\,216\,} & \displaystyle\frac{\,75\,}{\,216\,} & \displaystyle\frac{\,15\,}{\,216\,} & \displaystyle\frac{\,1\,}{\,216\,} & 1
\end{array}\)
したがって、二項分布は \(\,B \left(3,\,\displaystyle \frac{\,1\,}{\,6\,}\right)\)
また、1の目が \(2\) 回以上出る確率は、
\(\begin{eqnarray}~~~{P}(X{\small ~≧~}2)&=&{P}(X=2)+{P}(X=3)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,15\,}{\,216\,}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,216\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,16\,}{\,216\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,2\,}{\,27\,}
\end{eqnarray}\)
