- 数学B｜統計的な推測「二項分布と得点の期待値(平均)・分散」の基本例題解説ページです。
- 目次をクリックすると各セクションへ移動します。
問題｜二項分布と得点の期待値(平均)・分散
統計的な推測 22☆1枚の硬貨を投げ、表が出れば5点で裏が出れば2点とし、これを12回繰り返すとき、得られる得点の期待値(平均)、分散と標準偏差の求め方は？
高校数学B｜統計的な推測
解法のPoint
二項分布と得点の期待値(平均)・分散
Point：二項分布と得点の期待値(平均)・分散
① 起こる回数 \(X\) について、二項分布より期待値(平均)・分散を求める。
\(B\left(12, \displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\right)\) より、\(E(X)=6~,~V(X)=3\)
② 起こる回数 \(X\) 回と起こらない回数 \(n-X\) より得点の式を立てる。
\(\begin{eqnarray}~~~5X+(12-X)\cdot 2&=&3X+24\end{eqnarray}\)
③ 確率変数の変換 \(aX+b\) より、期待値(平均)と分散を求める。
\(E(3X+24)=3\,E(X)+24\)
\(V(3X+24)=3^{2}\,V(X)\)
④ 標準偏差は分散に平方根を取り求める。
\(\sigma(3X+24)=\sqrt{\,V(3X+24)\,}\)
反復試行の起こる回数 \(X\) に関して得点が決められている場合は、
① 起こる回数 \(X\) について、二項分布より期待値(平均)・分散を求める。
\(B\left(12, \displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\right)\) より、\(E(X)=6~,~V(X)=3\)
② 起こる回数 \(X\) 回と起こらない回数 \(n-X\) より得点の式を立てる。
\(\begin{eqnarray}~~~5X+(12-X)\cdot 2&=&3X+24\end{eqnarray}\)
③ 確率変数の変換 \(aX+b\) より、期待値(平均)と分散を求める。
\(E(3X+24)=3\,E(X)+24\)
\(V(3X+24)=3^{2}\,V(X)\)
④ 標準偏差は分散に平方根を取り求める。
\(\sigma(3X+24)=\sqrt{\,V(3X+24)\,}\)
©︎ 2026 教科書より詳しい高校数学 yorikuwa.com
詳しい解説｜二項分布と得点の期待値(平均)・分散
統計的な推測 22☆
1枚の硬貨を投げ、表が出れば5点で裏が出れば2点とし、これを12回繰り返すとき、得られる得点の期待値(平均)、分散と標準偏差の求め方は？
高校数学B｜統計的な推測
1枚の硬貨を投げて、表が出る確率は \(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\) であり、
表が出る回数 \(X\) の二項分布は、
\(B\left(12, \displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\right)\)
よって、確率変数 \(X\) の期待値(平均)と分散は、
\(E(X)=12\cdot \displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}=6\)
\(V(X)=12\cdot \displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\cdot \left(1-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\right)=3\)
ここで、表が \(X\) 回出たときの得点は、裏は \(12-X\) 回出るので、
\(\begin{split}&X{\, \small \times \,}5+(12-X){\, \small \times \,}2
\\[3pt]~~=~&5X+24-2X
\\[3pt]~~=~&3X+24
\end{split}\)
これより、得点の期待値(平均)は、
確率変数の変換式 \(E(aX+b)=a\,E(X)+b\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~E(3X+24)&=&3\,E(X)+24
\\[5pt]~~~&=&3\cdot 6+24
\\[5pt]~~~&=&42
\end{eqnarray}\)
得点の分散は、
確率変数の変換式 \(V(aX+b)=a^2\,V(X)\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~V(3X+24)&=&3^{2}\,V(X)
\\[5pt]~~~&=&9\cdot 3
\\[5pt]~~~&=&27
\end{eqnarray}\)
得点の標準偏差は、分散に平方根を取り、
\(\begin{eqnarray}~~~\sigma(3X+24)&=&\sqrt{\,V(3X+24)\,}
\\[5pt]~~~&=&\sqrt{\,27\,}
\\[5pt]~~~&=&3\sqrt{\,3\,}
\end{eqnarray}\)
