二項分布と得点の期待値(平均)・分散

東京書籍｜Advanced数学Ｂ[701] p.76 問題 4

1枚の硬貨を投げて、表が出る確率は \(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\) であり、

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表が出る回数 \(X\) の二項分布は、

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　\(B\left(20, \displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\right)\)

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よって、確率変数 \(X\) の期待値(平均)と分散は、

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　\(E(X)=20\cdot \displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}=10\)

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　\(V(X)=20\cdot \displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\cdot \left(1-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\right)=5\)

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ここで、表が \(X\) 回出たときの得点は、裏は \(20-X\) 回出るので、

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\(\begin{split}&X{\, \small \times \,}10+(20-X){\, \small \times \,}(-5)
\\[3pt]~~=~&10X-100+5X
\\[3pt]~~=~&15X-100
\end{split}\)

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これより、得点の期待値(平均)は、
確率変数の変換式 \(E(aX+b)=a\,E(X)+b\) より、

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\(\begin{eqnarray}~~~E(15X-100)&=&15\,E(X)-100
\\[5pt]~~~&=&15\cdot 10-100
\\[5pt]~~~&=&50
\end{eqnarray}\)

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得点の分散は、
確率変数の変換式 \(V(aX+b)=a^2\,V(X)\) より、

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\(\begin{eqnarray}~~~V(15X-100)&=&15^{2}\,V(X)
\\[5pt]~&=&225\cdot 5
\\[5pt]~~~&=&1125
\end{eqnarray}\)

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得点の標準偏差は、分散の平方根を取り、

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\(\begin{eqnarray}~~~\sigma(15X-100)&=&\sqrt{\,V(15X-100)\,}
\\[5pt]~~~&=&\sqrt{\,1125\,}
\\[5pt]~~~&=&15\sqrt{\,5\,}
\end{eqnarray}\)

東京書籍｜Advanced数学Ｂ[701] p.76 問題 5

\({\small (1)}~\)1個のさいころを投げて、4以下の目が出る確率は \(\displaystyle \frac{\,4\,}{\,6\,}=\frac{\,2\,}{\,3\,}\) であり、

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4以下の目が出る回数 \(Y\) の二項分布は、

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　\(B\left(6, \displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}\right)\)

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ここで、4以下の目が \(Y\) 回出たとき、5以上の目は \(6-Y\) 回出るので、

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\(\begin{split}&Y{\, \small \times \,}2+(6-Y){\, \small \times \,}(-1)
\\[3pt]~~=~&2Y-6+Y
\\[3pt]~~=~&3Y-6
\end{split}\)

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よって、\(X\gt 0\) となる条件は、

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\(\begin{eqnarray}~~~3Y-6&\gt&0
\\[5pt]~~~3Y&\gt&6
\\[5pt]~~~Y&\gt&2
\end{eqnarray}\)

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\(Y\) は整数より、\(Y{\small ~≧~}3\) となる

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これより、\(X\gt 0\) となる確率は \(P(Y{\small ~≧~}3)\) であり、

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　\(P(Y{\small ~≧~}3)=1-P(Y{\small ~≦~}2)\)

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ここで、\(P(Y{\small ~≦~}2)\) を求めると、

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したがって、\(X\gt 0\) となる確率は、

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\(\begin{eqnarray}~~~P(Y{\small ~≧~}3)&=&1-P(Y{\small ~≦~}2)
\\[5pt]~~~&=&1-\frac{\,73\,}{\,729\,}
\\[5pt]~~~&=&\frac{\,656\,}{\,729\,}
\end{eqnarray}\)

 

\({\small (2)}~\)1個のさいころを投げて、4以下の目が出る確率は \(\displaystyle \frac{\,4\,}{\,6\,}=\frac{\,2\,}{\,3\,}\) であり、

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4以下の目が出る回数 \(Y\) の二項分布は、

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　\(B\left(6, \displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}\right)\)

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よって、確率変数 \(Y\) の期待値(平均)と分散は、

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　\(E(Y)=6\cdot \displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}=4\)

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　\(V(Y)=6\cdot \displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}\cdot \left(1-\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}\right)=\displaystyle \frac{\,4\,}{\,3\,}\)

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ここで、4以下の目が \(Y\) 回出たとき、5以上の目は \(6-Y\) 回出るので、

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\(\begin{split}&Y{\, \small \times \,}2+(6-Y){\, \small \times \,}(-1)
\\[3pt]~~=~&2Y-6+Y
\\[3pt]~~=~&3Y-6
\end{split}\)

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これより、\(X\) の平均は、
確率変数の変換式 \(E(aY+b)=a\,E(Y)+b\) より、

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\(\begin{eqnarray}~~~E(X)&=&E(3Y-6)
\\[5pt]~~~&=&3\,E(Y)-6
\\[5pt]~~~&=&3\cdot 4-6
\\[5pt]~~~&=&6
\end{eqnarray}\)

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\(X\) の分散は、
確率変数の変換式 \(V(aY+b)=a^2\,V(Y)\) より、

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\(\begin{eqnarray}~~~V(X)&=&V(3Y-6)
\\[5pt]~~~&=&3^{2}\,V(Y)
\\[5pt]~~~&=&9\cdot \frac{\,4\,}{\,3\,}
\\[5pt]~~~&=&12
\end{eqnarray}\)

東京書籍｜Advanced数学Ｂ[701] p.105 練習問題B 8

\({\small (1)}~\)1枚のコインを投げて、表が出る確率は \(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\) であり、

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表が出る枚数 \(X\) の二項分布は、

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　\(B\left(9, \displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\right)\)

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よって、確率変数 \(X\) の平均は、

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　\(E(X)=9\cdot \displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}=\frac{\,9\,}{\,2\,}\)

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確率変数 \(X\) の分散は、

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　\(V(X)=9\cdot \displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\cdot \left(1-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\right)=\frac{\,9\,}{\,4\,}\)

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確率変数 \(X\) の標準偏差は、分散の平方根を取り、

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\(\begin{eqnarray}~~~\sigma(X)&=&\sqrt{\,V(X)\,}
\\[5pt]~~~&=&\sqrt{\,\frac{\,9\,}{\,4\,}\,}
\\[5pt]~~~&=&\frac{\,3\,}{\,2\,}
\end{eqnarray}\)

 

\({\small (2)}~\)表が \(X\) 枚出たときの得点 \(Y\) は、

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1枚 \(10\) 点のコインを \(X\) 枚もらい、手数料 \(20\) 点が差し引かれるので、

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　\(Y=10X-20\)

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これより、得点 \(Y\) の平均は、
確率変数の変換式 \(E(aX+b)=a\,E(X)+b\) より、

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\(\begin{eqnarray}~~~E(Y)&=&E(10X-20)
\\[5pt]~~~&=&10\,E(X)-20
\\[5pt]~~~&=&10\cdot \frac{\,9\,}{\,2\,}-20
\\[5pt]~~~&=&45-20
\\[5pt]~~~&=&25
\end{eqnarray}\)

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得点 \(Y\) の分散は、
確率変数の変換式 \(V(aX+b)=a^2\,V(X)\) より、

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\(\begin{eqnarray}~~~V(Y)&=&V(10X-20)
\\[5pt]~~~&=&10^{2}\,V(X)
\\[5pt]~~~&=&100\cdot \frac{\,9\,}{\,4\,}
\\[5pt]~~~&=&225
\end{eqnarray}\)

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得点 \(Y\) の標準偏差は、分散の平方根を取り、

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\(\begin{eqnarray}~~~\sigma(Y)&=&\sqrt{\,V(Y)\,}
\\[5pt]~~~&=&\sqrt{\,225\,}
\\[5pt]~~~&=&15
\end{eqnarray}\)

東京書籍｜Standard数学Ｂ[702] p.108 Level Up 4

\({\small (1)}~\)赤球 \(1\) 個と白球 \(4\) 個、合計 \(5\) 個の球が入っている袋から \(1\) 個取り出すとき、赤球を取り出す確率は \(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,5\,}\) である

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よって、赤球を取り出す回数 \(Y\) の二項分布は、

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　\(B\left(100, \displaystyle \frac{\,1\,}{\,5\,}\right)\)

 

\({\small (2)}~\)確率変数 \(Y\) の平均は、

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　\(E(Y)=100\cdot \displaystyle \frac{\,1\,}{\,5\,}=20\)

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確率変数 \(Y\) の分散は、

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　\(\begin{eqnarray}~~~V(Y)&=&100\cdot \displaystyle \frac{\,1\,}{\,5\,}\cdot \left(1-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,5\,}\right)\\[5pt]~~~&=&100\cdot \frac{\,1\,}{\,5\,}\cdot \frac{\,4\,}{\,5\,}=16
\end{eqnarray}\)

 

\({\small (3)}~\)ここで、赤球が \(Y\) 回出たときの得点は、白球は \(100-Y\) 回出るので、

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\(\begin{split}&Y{\, \small \times \,}5+(100-Y){\, \small \times \,}2
\\[3pt]~~=~&5Y+200-2Y
\\[3pt]~~=~&3Y+200
\end{split}\)

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これより、\(X\) の平均は、
確率変数の変換式 \(E(aY+b)=a\,E(Y)+b\) より、

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\(\begin{eqnarray}~~~E(X)&=&E(3Y+200)
\\[5pt]~~~&=&3\,E(Y)+200
\\[5pt]~~~&=&3\cdot 20+200
\\[5pt]~~~&=&260
\end{eqnarray}\)

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\(X\) の分散は、
確率変数の変換式 \(V(aY+b)=a^2\,V(Y)\) より、

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\(\begin{eqnarray}~~~V(X)&=&V(3Y+200)
\\[5pt]~~~&=&3^{2}\,V(Y)
\\[5pt]~~~&=&9\cdot 16
\\[5pt]~~~&=&144
\end{eqnarray}\)

東京書籍｜Standard数学Ｂ[702] p.109 Level Up 5

1枚の硬貨を投げて、表が出る確率は \(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\) であり、

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表が出る回数 \(Y\) の二項分布は、

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　\(B\left(5, \displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\right)\)

---

ここで、表が \(Y\) 回出たとき、裏は \(5-Y\) 回出るので、

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\(\begin{split}&Y{\, \small \times \,}(+1)+(5-Y){\, \small \times \,}(-1)
\\[3pt]~~=~&Y-5+Y
\\[3pt]~~=~&2Y-5
\end{split}\)

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よって、\(X{\small ~≧~}3\) となる条件は、

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\(\begin{eqnarray}~~~2Y-5&{\small ~≧~}&3
\\[5pt]~~~2Y&{\small ~≧~}&8
\\[5pt]~~~Y&{\small ~≧~}&4
\end{eqnarray}\)

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これより、\(P(X{\small ~≧~}3)=P(Y{\small ~≧~}4)\) であり、

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\(\begin{split}&P(Y=4)+P(Y=5)
\\[5pt]~~=~&{}_5 \mathrm{ C }_4\left(\frac{\,1\,}{\,2\,}\right)^{4}\left(\frac{\,1\,}{\,2\,}\right)^{1}+{}_5 \mathrm{ C }_5\left(\frac{\,1\,}{\,2\,}\right)^{5}\left(\frac{\,1\,}{\,2\,}\right)^{0}
\\[5pt]~~=~&5\cdot \frac{\,1\,}{\,16\,}\cdot \frac{\,1\,}{\,2\,}+1\cdot \frac{\,1\,}{\,32\,}\cdot 1
\\[5pt]~~=~&\frac{\,5\,}{\,32\,}+\frac{\,1\,}{\,32\,}
\\[5pt]~~=~&\frac{\,6\,}{\,32\,}
\\[5pt]~~=~&\frac{\,3\,}{\,16\,}
\end{split}\)

 

\({\small (2)}~\)1枚の硬貨を投げて、表が出る確率は \(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\) であり、

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表が出る回数 \(Y\) の二項分布は、

---

　\(B\left(5, \displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\right)\)

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よって、確率変数 \(Y\) の平均と分散は、

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　\(E(Y)=5\cdot \displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}=\frac{\,5\,}{\,2\,}\)

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　\(V(Y)=5\cdot \displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\cdot \left(1-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\right)=\frac{\,5\,}{\,4\,}\)

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ここで、表が \(Y\) 回出たとき、裏は \(5-Y\) 回出るので、

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\(\begin{split}&Y{\, \small \times \,}(+1)+(5-Y){\, \small \times \,}(-1)
\\[3pt]~~=~&Y-5+Y
\\[3pt]~~=~&2Y-5
\end{split}\)

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これより、\(X\) の平均は、
確率変数の変換式 \(E(aY+b)=a\,E(Y)+b\) より、

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\(\begin{eqnarray}~~~E(X)&=&E(2Y-5)
\\[5pt]~~~&=&2\,E(Y)-5
\\[5pt]~~~&=&2\cdot \frac{\,5\,}{\,2\,}-5
\\[5pt]~~~&=&0
\end{eqnarray}\)

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\(X\) の分散は、
確率変数の変換式 \(V(aY+b)=a^2\,V(Y)\) より、

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\(\begin{eqnarray}~~~V(X)&=&V(2Y-5)
\\[5pt]~~~&=&2^{2}\,V(Y)
\\[5pt]~~~&=&4\cdot \frac{\,5\,}{\,4\,}
\\[5pt]~~~&=&5
\end{eqnarray}\)

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\(X\) の標準偏差は、分散の平方根を取り、

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\(\begin{eqnarray}~~~\sigma(X)&=&\sqrt{\,V(X)\,}
\\[5pt]~~~&=&\sqrt{\,5\,}
\end{eqnarray}\)