- 数学B｜統計的な推測「確率密度関数と期待値(平均)・分散」の基本例題解説ページです。
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問題｜確率密度関数と期待値(平均)・分散
統計的な推測 24確率変数 \( X \) の確率密度関数が \( f(x)=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}x \,(\,0{\small ~≦~}x{\small ~≦~}2\,) \) のとき、期待値(平均)、分散と標準偏差の求め方は？
高校数学B｜統計的な推測
解法のPoint
確率密度関数と期待値(平均)・分散
Point：確率密度関数と期待値(平均)・分散
\( y=f(x) \,\left(\, a{\small ~≦~}x{\small ~≦~}b\, \right) \)
このとき、確率変数 \( X \) の期待値(平均)は、
\(\begin{eqnarray}E(X)&=&\displaystyle \int_{a}^{b} x\,f(x)\,dx
\end{eqnarray}\)
\(\begin{eqnarray}V(X)&=&\displaystyle \int_{a}^{b} \left(x-m\right)^{2} f(x)\,dx\end{eqnarray}\)
\(\begin{eqnarray}~~~\sigma(X)&=&\sqrt{\,V(X)\,}
\end{eqnarray}\)
確率変数 \( X \) の確率密度関数が、
\( y=f(x) \,\left(\, a{\small ~≦~}x{\small ~≦~}b\, \right) \)
このとき、確率変数 \( X \) の期待値(平均)は、
\(\begin{eqnarray}E(X)&=&\displaystyle \int_{a}^{b} x\,f(x)\,dx
\end{eqnarray}\)
\( E(X)=m \) として、確率変数 \( X \) の分散は、
\(\begin{eqnarray}V(X)&=&\displaystyle \int_{a}^{b} \left(x-m\right)^{2} f(x)\,dx\end{eqnarray}\)
標準偏差は分散に平方根を取り求める。
\(\begin{eqnarray}~~~\sigma(X)&=&\sqrt{\,V(X)\,}
\end{eqnarray}\)
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詳しい解説｜確率密度関数と期待値(平均)・分散
統計的な推測 24
確率変数 \( X \) の確率密度関数が \( f(x)=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}x \,(\,0{\small ~≦~}x{\small ~≦~}2\,) \) のとき、期待値(平均)、分散と標準偏差の求め方は？
高校数学B｜統計的な推測
確率密度関数 \( f(x)=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}x \,(\,0{\small ~≦~}x{\small ~≦~}2\,) \) より、
期待値(平均) \(E(X)\) は、
\(\begin{eqnarray}~~~E(X)&=&\displaystyle \int_{0}^{2} x\cdot \left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}x\right)\,dx
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\int_{0}^{2} x^{2}\,dx
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\left[\,\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}x^{3}\,\right]_{0}^{2}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\left(\displaystyle \frac{\,8\,}{\,3\,}-0\right)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,4\,}{\,3\,}
\end{eqnarray}\)
ここで、\( m=E(X)=\displaystyle \frac{\,4\,}{\,3\,} \) とおくと、
確率変数 \( X \) の分散 \(V(X)\) は、
\(\begin{eqnarray}~~~V(X)&=&\displaystyle \int_{0}^{2}\left(x-\displaystyle \frac{\,4\,}{\,3\,}\right)^{2}\cdot \left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}x\right)\,dx
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\int_{0}^{2}\left(x^{3}-\displaystyle \frac{\,8\,}{\,3\,}x^{2}+\displaystyle \frac{\,16\,}{\,9\,}x\right)\,dx
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\left[\,\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}x^{4}-\displaystyle \frac{\,8\,}{\,9\,}x^{3}+\displaystyle \frac{\,8\,}{\,9\,}x^{2}\,\right]_{0}^{2}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\left(4-\displaystyle \frac{\,64\,}{\,9\,}+\displaystyle \frac{\,32\,}{\,9\,}\right)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\left(\displaystyle \frac{\,36\,}{\,9\,}-\displaystyle \frac{\,32\,}{\,9\,}\right)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\cdot \displaystyle \frac{\,4\,}{\,9\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,2\,}{\,9\,}
\end{eqnarray}\)
標準偏差 \(\sigma(X)\) は分散に平方根を取り、
\(\begin{eqnarray}~~~\sigma(X)&=&\sqrt{\,V(X)\,}
\\[5pt]~~~&=&\sqrt{\,\displaystyle \frac{\,2\,}{\,9\,}\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\sqrt{2}\,}{\,3\,}
\end{eqnarray}\)
