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問題アーカイブ01
問題アーカイブ01確率変数 \(X\) のとる値の範囲が \(0{\small ~≦~}X{\small ~≦~}2\) で、その確率密度関数 \(f(x)\) が次の式で与えられるものとする。
\(~~~\displaystyle f(x)=\begin{cases}
\,ax\, & (\,0{\small ~≦~}x{\small ~≦~}1\,)\\[3pt]
\,a(2-x)\, & (\,1{\small ~≦~}x{\small ~≦~}2\,)
\end{cases}\)
\({\small (1)}~\)定数 \(a\) の値を求め、\(X\) の分布曲線をかけ。
\({\small (2)}~\)\(P(\,0.5{\small ~≦~}X{\small ~≦~}1.5\,)\) を求めよ。
\(~~~\displaystyle f(x)=\begin{cases}
\,ax\, & (\,0{\small ~≦~}x{\small ~≦~}1\,)\\[3pt]
\,a(2-x)\, & (\,1{\small ~≦~}x{\small ~≦~}2\,)
\end{cases}\)
\({\small (1)}~\)定数 \(a\) の値を求め、\(X\) の分布曲線をかけ。
\({\small (2)}~\)\(P(\,0.5{\small ~≦~}X{\small ~≦~}1.5\,)\) を求めよ。
数研出版｜数学Ｂ[710] p.87 問題 7
数研出版｜高等学校数学Ｂ[711] p.85 問題 6
\({\small (1)}~\)確率密度関数は、
\(~~~\displaystyle f(x)=\begin{cases}
\,ax\, & (\,0{\small ~≦~}x{\small ~≦~}1\,)\\[3pt]
\,a(2-x)\, & (\,1{\small ~≦~}x{\small ~≦~}2\,)
\end{cases}\)
これより、\(0{\small ~≦~}X{\small ~≦~}2\) の範囲での確率は \(\displaystyle \int_{0}^{2} f(x)\,dx = 1\) であるので、
\(\begin{eqnarray}~~~
\displaystyle \int_{0}^{1} a x\,dx+\int_{1}^{2} a(2-x)\,dx = 1\end{eqnarray}\) \(~~~\cdots \small [\,1\,]\)
ここで、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \int_{0}^{1} a x\,dx &=& a\left[ \displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}x^{2} \right]_{0}^{1}\\[5pt]
&=& a\cdot \displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\cdot 1^{2} = \displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}a
\end{eqnarray}\)
また、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \int_{1}^{2} a(2-x)\,dx &=& a\left[ 2x-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}x^{2} \right]_{1}^{2}\\[5pt]
&=& a\left\{(4-2)-\left(2-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\right)\right\}\\[5pt]
&=& a\left(2-\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}\right) = \displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}a
\end{eqnarray}\)
&=& a\left\{(4-2)-\left(2-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\right)\right\}\\[5pt]
&=& a\left(2-\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}\right) = \displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}a
\end{eqnarray}\)
よって、\(\small [\,1\,]\) に代入して、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}a+\frac{\,1\,}{\,2\,}a&=&1\\[5pt]
a&=&1
\end{eqnarray}\)
\({\small (2)}~\)\(a=1\) のとき、確率密度関数は、
\(~~~\displaystyle f(x)=\begin{cases}
\,x\, & (\,0{\small ~≦~}x{\small ~≦~}1\,)\\[5pt]
\,2-x\, & (\,1{\small ~≦~}x{\small ~≦~}2\,)
\end{cases}\)
これより、確率 \(P(\,0.5{\small ~≦~}X{\small ~≦~}1.5\,)\) は、
対称性より、\(0.5{\small ~≦~}X{\small ~≦~}1\) の範囲の面積の \(2\) 倍となるので、
\(\begin{split}&P(\,0.5{\small ~≦~}X{\small ~≦~}1.5\,)
\\[5pt]~~=~&2\left( \displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\cdot 1\cdot 1-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\cdot 0.5\cdot 0.5\right)
\\[5pt]~~=~&2\left( \displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,8\,}\right)
\\[5pt]~~=~&2\cdot \displaystyle \frac{\,4-1\,}{\,8\,}
\\[5pt]~~=~&\displaystyle \frac{\,3\,}{\,4\,}
\end{split}\)
【別解】積分を用いると、
\(\begin{split}&P(\,0.5{\small ~≦~}X{\small ~≦~}1.5\,)
\\[5pt]~~=~&\displaystyle \int_{0.5}^{1} x\,dx +\int_{1}^{1.5} (2-x)\,dx
\\[5pt]~~=~&\displaystyle \left[ \frac{\,1\,}{\,2\,}x^{2} \right]_{0.5}^{1} +\left[ 2x-\frac{\,1\,}{\,2\,}x^{2} \right]_{1}^{1.5}
\\[5pt]~~=~&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\left(1-\frac{\,1\,}{\,4\,}\right) +\left\{\left(3-\frac{\,9\,}{\,8\,}\right)-\left(2-\frac{\,1\,}{\,2\,}\right)\right\}
\\[5pt]~~=~&\displaystyle \frac{\,3\,}{\,8\,} +\frac{\,15\,}{\,8\,}-\frac{\,3\,}{\,2\,}
\\[5pt]~~=~&\displaystyle \frac{\,3\,}{\,8\,} +\frac{\,3\,}{\,8\,} = \frac{\,3\,}{\,4\,}
\end{split}\)
\\[5pt]~~=~&\displaystyle \int_{0.5}^{1} x\,dx +\int_{1}^{1.5} (2-x)\,dx
\\[5pt]~~=~&\displaystyle \left[ \frac{\,1\,}{\,2\,}x^{2} \right]_{0.5}^{1} +\left[ 2x-\frac{\,1\,}{\,2\,}x^{2} \right]_{1}^{1.5}
\\[5pt]~~=~&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\left(1-\frac{\,1\,}{\,4\,}\right) +\left\{\left(3-\frac{\,9\,}{\,8\,}\right)-\left(2-\frac{\,1\,}{\,2\,}\right)\right\}
\\[5pt]~~=~&\displaystyle \frac{\,3\,}{\,8\,} +\frac{\,15\,}{\,8\,}-\frac{\,3\,}{\,2\,}
\\[5pt]~~=~&\displaystyle \frac{\,3\,}{\,8\,} +\frac{\,3\,}{\,8\,} = \frac{\,3\,}{\,4\,}
\end{split}\)
