- 数学B｜統計的な推測「標準正規分布と確率」の基本例題解説ページです。
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問題｜標準正規分布と確率
高校数学B｜統計的な推測
解法のPoint
標準正規分布と確率
期待値(平均) \( m=0 \)、標準偏差 \( \sigma=1 \) の正規分布を「標準正規分布 \( N(0~,~1) \) 」という。
確率変数 \(Z\) が標準正規分布 \( N(0~,~1) \) に従い、\(0{\small ~≦~}Z{\small ~≦~}u\) を満たす確率を、
\(\begin{eqnarray}P(\,0{\small ~≦~}Z{\small ~≦~}u\,)&=&p(u)
\end{eqnarray}\)
と表し、
正規分布表より、面積 \( p(u) \) を読み取る。
また、\(p(-u)\) の値は面積の対称性より、\(p(u)\) と等しくなる。
\(\begin{eqnarray}~~~P(\,-u{\small ~≦~}Z{\small ~≦~}0\,)&=&P(\,0{\small ~≦~}Z{\small ~≦~}u)\,
\\[3pt]~~~&=&p(u)
\end{eqnarray}\)
さらに、全体の面積が \(1\) となるので、左右それぞれの面積は \(0.5\) となる。
\(\begin{eqnarray}~~~P(\,Z{\small ~≧~}0\,)=P(\,Z{\small ~≦~}0\,)=0.5
\end{eqnarray}\)
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詳しい解説｜標準正規分布と確率
確率変数 \( Z \) が標準正規分布 \( N(0~,~1) \) に従うとき、確率 \( P(\,0{\small ~≦~}Z{\small ~≦~}1\,) \) 、 \( P(\,Z{\small ~≧~}1\,) \) 、 \( P(\,|\,Z\,|{\small ~≦~}1\,) \) の求め方は？ただし、\( p(1)=0.3413 \) とする。
高校数学B｜統計的な推測
確率変数 \(Z\) が標準正規分布 \( N(0~,~1) \) に従う
\(P(\,0{\small ~≦~}Z{\small ~≦~}1\,)\) はグラフの \(0{\small ~≦~}Z{\small ~≦~}1\) の面積が \(p(1)\) となるので、正規分布表より、
\(\begin{eqnarray}~~~P(\,0{\small ~≦~}Z{\small ~≦~}1\,)&=&p(1)
\\[3pt]~~~&=&0.3413
\end{eqnarray}\)
\( P(\,Z{\small ~≧~}1\,) \) はグラフの \(Z{\small ~≧~}1\) の部分で、右半分の \(0.5\) から \(p(1)\) を引いた面積になるので、
\(\begin{eqnarray}~~~P(\,Z{\small ~≧~}1\,)&=&0.5-p(1)
\\[3pt]~~~&=&0.5-0.3413
\\[3pt]~~~&=&0.1587
\end{eqnarray}\)
\(|\,Z\,|{\small ~≦~}1~\Leftrightarrow ~ -1{\small ~≦~}Z{\small ~≦~}1\) となり、グラフから \(p(1)\) の面積の \(2\) 倍となるので、
\(\begin{eqnarray}~~~P(\,|\,Z\,|{\small ~≦~}1\,)&=&P(\,-1{\small ~≦~}Z{\small ~≦~}1\,)
\\[3pt]~~~&=&p(1){\, \small \times \,}2
\\[3pt]~~~&=&0.3413{\, \small \times \,}2
\\[3pt]~~~&=&0.6826
\end{eqnarray}\)
