- 数学B｜統計的な推測「正規分布と標準正規分布」の基本例題解説ページです。
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問題｜正規分布と標準正規分布
統計的な推測 28確率変数 \( X \) が正規分布 \( N(2~,~3^2) \) に従うとき、確率 \( P(\,-1{\small ~≦~}X{\small ~≦~}5\,) \) や \( P(\,X{\small ~≦~}8\,) \) の求め方は？ただし、\( p(1)=0.3413~,~p(2)=0.4772 \) とする。
高校数学B｜統計的な推測
解法のPoint
正規分布と標準正規分布
Point：正規分布と標準正規分布
\(\begin{eqnarray}Z&=&\displaystyle \frac{\,X-m\,}{\,\sigma\,}
\end{eqnarray}\)
① 正規分布 \( N(m~,~\sigma^2) \) より、確率変数 \( Z \) への変換の式を立てる。
\(\begin{eqnarray}~~~Z&=&\displaystyle \frac{\,X-2\,}{\,3\,}
\end{eqnarray}\)
② 確率変数 \(X\) の範囲を確率変数 \( Z \) の範囲に変換する。
\(X=2\) のとき、\(Z=0\)
\(X=5\) のとき、\(Z=1\)
よって、\(P(\,2{\small ~≦~}X{\small ~≦~}5\,)=P(\,0{\small ~≦~}Z{\small ~≦~}1\,)\)
③ 標準正規分布に従うので、正規分布表より確率を求める。
\(P(\,0{\small ~≦~}Z{\small ~≦~}1\,)=p(1)=0.3413\)
確率変数 \( X \) が正規分布 \( N(m~,~\sigma^2) \) に従うとき、
\(\begin{eqnarray}Z&=&\displaystyle \frac{\,X-m\,}{\,\sigma\,}
\end{eqnarray}\)
とおくと、確率変数 \( Z \) は標準正規分布 \( N(0~,~1) \) に従う。
確率変数 \( X \) が正規分布 \( N(2~,~3^2) \) に従うとき、確率 \( P(\,2{\small ~≦~}X{\small ~≦~}5\,) \) は、
① 正規分布 \( N(m~,~\sigma^2) \) より、確率変数 \( Z \) への変換の式を立てる。
\(\begin{eqnarray}~~~Z&=&\displaystyle \frac{\,X-2\,}{\,3\,}
\end{eqnarray}\)
② 確率変数 \(X\) の範囲を確率変数 \( Z \) の範囲に変換する。
\(X=2\) のとき、\(Z=0\)
\(X=5\) のとき、\(Z=1\)
よって、\(P(\,2{\small ~≦~}X{\small ~≦~}5\,)=P(\,0{\small ~≦~}Z{\small ~≦~}1\,)\)
③ 標準正規分布に従うので、正規分布表より確率を求める。
\(P(\,0{\small ~≦~}Z{\small ~≦~}1\,)=p(1)=0.3413\)
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詳しい解説｜正規分布と標準正規分布
統計的な推測 28
確率変数 \( X \) が正規分布 \( N(2~,~3^2) \) に従うとき、確率 \( P(\,-1{\small ~≦~}X{\small ~≦~}5\,) \) や \( P(\,X{\small ~≦~}8\,) \) の求め方は？ただし、\( p(1)=0.3413~,~p(2)=0.4772 \) とする。
高校数学B｜統計的な推測
確率変数 \( X \) は正規分布 \( N(2~,~3^2) \) に従うので、
\(\begin{eqnarray}~~~Z&=&\displaystyle \frac{\,X-2\,}{\,3\,}
\end{eqnarray}\)
とおくと、確率変数 \( Z \) は標準正規分布 \( N(0~,~1) \) に従う
よって、確率 \( P(\,-1{\small ~≦~}X{\small ~≦~}5\,) \) は、
\( X=-1 \) のとき、
\(\begin{eqnarray}~~~Z&=&\displaystyle \frac{\,-1-2\,}{\,3\,}=\displaystyle \frac{\,-3\,}{\,3\,}=-1
\end{eqnarray}\)
\( X=5 \) のとき、
\(\begin{eqnarray}~~~Z&=&\displaystyle \frac{\,5-2\,}{\,3\,}=\displaystyle \frac{\,3\,}{\,3\,}=1
\end{eqnarray}\)
これより、確率変数 \( Z \) に変換すると、
\(\begin{eqnarray}~~~P(\,-1{\small ~≦~}X{\small ~≦~}5\,)
&=&P(\,-1{\small ~≦~}Z{\small ~≦~}1\,)
\\[5pt]~~~&=&p(1)\times 2
\\[5pt]~~~&=&0.3413\times 2
\\[5pt]~~~&=&0.6826
\end{eqnarray}\)
また、確率 \( P(\,X{\small ~≦~}8\,) \) は、
\( X=8 \) のとき、
\(\begin{eqnarray}~~~Z&=&\displaystyle \frac{\,8-2\,}{\,3\,}=\displaystyle \frac{\,6\,}{\,3\,}=2
\end{eqnarray}\)
これより、確率変数 \( Z \) に変換すると、
\(\begin{eqnarray}~~~P(\,X{\small ~≦~}8\,)&=&P(\,Z{\small ~≦~}2\,)
\\[5pt]~~~&=&0.5 + p(2)
\\[5pt]~~~&=&0.5 + 0.4772
\\[5pt]~~~&=&0.9772
\end{eqnarray}\)
