- 数学B｜統計的な推測「正規分布と等式を満たす定数」の基本例題解説ページです。
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問題｜正規分布と等式を満たす定数
統計的な推測 29☆確率変数 \( X \) が正規分布 \( N(2~,~3^2) \) に従うとき、等式 \( P(\,X{\small ~≧~}a\,)=0.023 \) が成り立つような定数 \(a\) の値の求め方は？ただし、\(p(2)=0.4772 \) とする。
高校数学B｜統計的な推測
解法のPoint
正規分布と等式を満たす定数
Point：正規分布と等式を満たす定数
① 正規分布 \( N(m~,~\sigma^2) \) より、確率変数 \( Z \) への変換の式を立て、確率変数 \(X\) の範囲を確率変数 \( Z \) の範囲に変換する。
\(\begin{eqnarray}~~~Z&=&\displaystyle \frac{\,X-2\,}{\,3\,}
\end{eqnarray}\) より、
\(X=a\) のとき、\(Z=\displaystyle \frac{\,a-2\,}{\,3\,}\)
② 標準正規分布に従うことより、確率の式を計算する。
\(\begin{eqnarray}~~~P\left(\,Z{\small ~≧~}\displaystyle \frac{\,a-2\,}{\,3\,}\,\right)&=&0.023
\\[5pt]~~~0.5-p\left(\,\displaystyle \frac{\,a-2\,}{\,3\,}\,\right)&=&0.023
\\[5pt]~~~p\left(\,\displaystyle \frac{\,a-2\,}{\,3\,}\,\right)&=&0.477
\end{eqnarray}\)
③ 正規分布表より、等式を満たす定数 \(a\) の値を求める。
\(p(2)=0.4772{\small ~≒~}0.477 \) より、
\(\displaystyle \frac{\,a-2\,}{\,3\,}=2~\Leftrightarrow ~ a=8\)
正規分布に従う確率変数 \(X\) の等式を満たす定数は、
① 正規分布 \( N(m~,~\sigma^2) \) より、確率変数 \( Z \) への変換の式を立て、確率変数 \(X\) の範囲を確率変数 \( Z \) の範囲に変換する。
\(\begin{eqnarray}~~~Z&=&\displaystyle \frac{\,X-2\,}{\,3\,}
\end{eqnarray}\) より、
\(X=a\) のとき、\(Z=\displaystyle \frac{\,a-2\,}{\,3\,}\)
② 標準正規分布に従うことより、確率の式を計算する。
\(\begin{eqnarray}~~~P\left(\,Z{\small ~≧~}\displaystyle \frac{\,a-2\,}{\,3\,}\,\right)&=&0.023
\\[5pt]~~~0.5-p\left(\,\displaystyle \frac{\,a-2\,}{\,3\,}\,\right)&=&0.023
\\[5pt]~~~p\left(\,\displaystyle \frac{\,a-2\,}{\,3\,}\,\right)&=&0.477
\end{eqnarray}\)
③ 正規分布表より、等式を満たす定数 \(a\) の値を求める。
\(p(2)=0.4772{\small ~≒~}0.477 \) より、
\(\displaystyle \frac{\,a-2\,}{\,3\,}=2~\Leftrightarrow ~ a=8\)
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詳しい解説｜正規分布と等式を満たす定数
統計的な推測 29☆
確率変数 \( X \) が正規分布 \( N(2~,~3^2) \) に従うとき、等式 \( P(\,X{\small ~≧~}a\,)=0.023 \) が成り立つような定数 \(a\) の値の求め方は？ただし、\(p(2)=0.4772 \) とする。
高校数学B｜統計的な推測
確率変数 \( X \) は 正規分布 \( N(2~,~3^2) \) に従うとき、
\( Z=\displaystyle \frac{\,X-2\,}{\,3\,} \) とおくと、
確率変数 \( Z \) は 標準正規分布 \( N(0~,~1) \) に従う
よって、確率 \( P(\,X{\small ~≧~}a\,) \) は、
\( X=a \) のとき \( Z=\displaystyle \frac{\,a-2\,}{\,3\,} \)
\(\begin{eqnarray}~~~P(\,X{\small ~≧~}a\,)&=&P\left(\,Z{\small ~≧~}\displaystyle \frac{\,a-2\,}{\,3\,}\,\right)
\\[5pt]~~~&=&0.5- p\left(\,\displaystyle \frac{\,a-2\,}{\,3\,}\,\right)
\end{eqnarray}\)
この値が \( 0.023 \) となるので、
\(\begin{eqnarray}~~~0.5- p\left(\,\displaystyle \frac{\,a-2\,}{\,3\,}\,\right)&=&0.023
\\[5pt]~~~0.5-0.023&=&p\left(\,\displaystyle \frac{\,a-2\,}{\,3\,}\,\right)
\\[5pt]~~~p\left(\,\displaystyle \frac{\,a-2\,}{\,3\,}\,\right)&=&0.477
\end{eqnarray}\)
ここで \( p(2)=0.4772{\small ~≒~}0.477 \) であることより、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,a-2\,}{\,3\,}&=&2
\\[5pt]~~~a-2&=&2{\, \small \times \,} 3
\\[5pt]~~~a&=&6+2
\\[5pt]~~~a&=&8
\end{eqnarray}\)
