このページは、「正規分布と等式を満たす定数」の練習問題アーカイブページとなります。
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正規分布と等式を満たす定数 で確認できます。
問題アーカイブ01
問題アーカイブ01確率変数 \( X \) が正規分布 \( N(50~,~10^2) \) に従うとき、\( P(\,X{\small ~≧~}\alpha\,)=0.025 \) が成り立つような \( \alpha \) の値を求めよ。
東京書籍｜Advanced数学Ｂ[701] p.85 問題 10
確率変数 \( X \) は 正規分布 \( N(50~,~10^2) \) に従うとき、
\( Z=\displaystyle \frac{\,X-50\,}{\,10\,} \) とおくと、
確率変数 \( Z \) は 標準正規分布 \( N(0~,~1) \) に従う
よって、確率 \( P(\,X{\small ~≧~}\alpha\,) \) は、
\( X=\alpha \) のとき \( Z=\displaystyle \frac{\,\alpha-50\,}{\,10\,} \)
\(\begin{eqnarray}~~~P(\,X{\small ~≧~}\alpha\,)&=&P\left(\,Z{\small ~≧~}\displaystyle \frac{\,\alpha-50\,}{\,10\,}\,\right)
\\[5pt]~~~&=&0.5- p\left(\,\displaystyle \frac{\,\alpha-50\,}{\,10\,}\,\right)
\end{eqnarray}\)
この値が \( 0.025 \) となるので、
\(\begin{eqnarray}~~~0.5- p\left(\,\displaystyle \frac{\,\alpha-50\,}{\,10\,}\,\right)&=&0.025
\\[5pt]~~~0.5-0.025&=&p\left(\,\displaystyle \frac{\,\alpha-50\,}{\,10\,}\,\right)
\\[5pt]~~~p\left(\,\displaystyle \frac{\,\alpha-50\,}{\,10\,}\,\right)&=&0.475
\end{eqnarray}\)
ここで \( p(1.96)=0.4750 \) であることより、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,\alpha-50\,}{\,10\,}&=&1.96
\\[5pt]~~~\alpha-50&=&1.96{\, \small \times \,} 10
\\[5pt]~~~\alpha&=&19.6+50
\\[5pt]~~~\alpha&=&69.6
\end{eqnarray}\)
問題アーカイブ02
問題アーカイブ02確率変数 \( X \) が正規分布 \( N(50~,~8^2) \) に従うとき
\( P(\,X{\small ~≦~}a\,)=0.93319 \)
が成り立つような \( a \) の値を求めよ。
\( P(\,X{\small ~≦~}a\,)=0.93319 \)
が成り立つような \( a \) の値を求めよ。
東京書籍｜Standard数学Ｂ[702] p.109 Level Up 7
確率変数 \( X \) は 正規分布 \( N(50~,~8^2) \) に従うとき、
\( Z=\displaystyle \frac{\,X-50\,}{\,8\,} \) とおくと、
確率変数 \( Z \) は 標準正規分布 \( N(0~,~1) \) に従う
よって、確率 \( P(\,X{\small ~≦~}a\,) \) は、
\( X=a \) のとき \( Z=\displaystyle \frac{\,a-50\,}{\,8\,} \)
\(\begin{eqnarray}~~~P(\,X{\small ~≦~}a\,)&=&P\left(\,Z{\small ~≦~}\displaystyle \frac{\,a-50\,}{\,8\,}\,\right)\\[5pt]~~~&=&0.5+ p\left(\,\displaystyle \frac{\,a-50\,}{\,8\,}\,\right)\end{eqnarray}\)
この値が \( 0.93319 \) となるので、
\(\begin{eqnarray}~~~0.5+ p\left(\,\displaystyle \frac{\,a-50\,}{\,8\,}\,\right)&=&0.93319\\[5pt]~0.93319-0.5&=&p\left(\,\displaystyle \frac{\,a-50\,}{\,8\,}\,\right)\\[5pt]~p\left(\,\displaystyle \frac{\,a-50\,}{\,8\,}\,\right)&=&0.43319\end{eqnarray}\)
ここで \( p(1.5)=0.4332 \) であることより、
\(\begin{eqnarray}~\displaystyle \frac{\,a-50\,}{\,8\,}&=&1.5\\[5pt]~a-50&=&1.5{\, \small \times \,} 8\\[5pt]~~~a&=&12+50\\[5pt]~~~a&=&62\end{eqnarray}\)
