- 数学B｜統計的な推測「正規分布とmやσを含む確率」の基本例題解説ページです。
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問題｜正規分布とmやσを含む確率
統計的な推測 30☆確率変数 \( X \) が正規分布 \( N(m~,~\sigma^2) \) に従うとき、確率 \( P(\,X{\small ~≦~}m+\sigma\,) \) や \( P(\,X{\small ~≧~}m+2\sigma\,) \) の求め方は？ただし、\( p(1)=0.3413~,~p(2)=0.4772 \) とする。
高校数学B｜統計的な推測
解法のPoint
正規分布とmやσを含む確率
Point：正規分布とmやσを含む確率
① 正規分布 \( N(m~,~\sigma^2) \) より、確率変数 \( Z \) への変換の式を立てる。
\(\begin{eqnarray}~~~Z&=&\displaystyle \frac{\,X-m\,}{\,\sigma\,}
\end{eqnarray}\)
② 確率変数 \(X\) の範囲を確率変数 \( Z \) の範囲に変換する。
\(X=m+\sigma\) のとき、
\(Z=\displaystyle \frac{\,(m+\sigma)-m\,}{\,\sigma\,}=1\)
③ 標準正規分布に従うので、正規分布表より確率を求める。
\(P(\,Z{\small ~≦~}1\,)=0.5+p(1)=0.8413\)
確率変数の範囲に期待値(平均) \(m\) や標準偏差 \(\sigma\) を含む確率 \( P(\,X{\small ~≦~}m+\sigma\,) \) は、
① 正規分布 \( N(m~,~\sigma^2) \) より、確率変数 \( Z \) への変換の式を立てる。
\(\begin{eqnarray}~~~Z&=&\displaystyle \frac{\,X-m\,}{\,\sigma\,}
\end{eqnarray}\)
② 確率変数 \(X\) の範囲を確率変数 \( Z \) の範囲に変換する。
\(X=m+\sigma\) のとき、
\(Z=\displaystyle \frac{\,(m+\sigma)-m\,}{\,\sigma\,}=1\)
③ 標準正規分布に従うので、正規分布表より確率を求める。
\(P(\,Z{\small ~≦~}1\,)=0.5+p(1)=0.8413\)
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詳しい解説｜正規分布とmやσを含む確率
統計的な推測 30☆
確率変数 \( X \) が正規分布 \( N(m~,~\sigma^2) \) に従うとき、確率 \( P(\,X{\small ~≦~}m+\sigma\,) \) や \( P(\,X{\small ~≧~}m+2\sigma\,) \) の求め方は？ただし、\( p(1)=0.3413~,~p(2)=0.4772 \) とする。
高校数学B｜統計的な推測
確率変数 \( X \) が正規分布 \( N(m~,~\sigma^2) \) に従うので、
\( Z=\displaystyle \frac{\,X-m\,}{\,\sigma\,} \) とおくと、
確率変数 \( Z \) は、標準正規分布 \( N(0~,~1) \) に従う
よって、確率 \( P(X{\small ~≦~}m+\sigma) \) は、
\( X=m+\sigma \) のとき、
\(\begin{eqnarray}~~~Z&=&\displaystyle \frac{\,m+\sigma-m\,}{\,\sigma\,}=\displaystyle \frac{\,\sigma\,}{\,\sigma\,}=1
\end{eqnarray}\)
これより、確率変数 \( Z \) に変換すると、
\(\begin{eqnarray}~~~P(\,X{\small ~≦~}m+\sigma\,)&=&P(\,Z{\small ~≦~}1\,)
\\[5pt]~~~&=&0.5+p(1)
\\[5pt]~~~&=&0.5+0.3413
\\[5pt]~~~&=&0.8413
\end{eqnarray}\)
また、確率 \( P(\,X{\small ~≧~}m+2\sigma\,) \) は、
\( X=m+2\sigma \) のとき、
\(\begin{eqnarray}~~~Z&=&\displaystyle \frac{\,m+2\sigma-m\,}{\,\sigma\,}=\displaystyle \frac{\,2\sigma\,}{\,\sigma\,}=2
\end{eqnarray}\)
これより、確率変数 \( Z \) に変換すると、
\(\begin{eqnarray}~~~P(\,X{\small ~≧~}m+2\sigma\,)&=&P(\,Z{\small ~≧~}2\,)
\\[5pt]~~~&=&0.5-p(2)
\\[5pt]~~~&=&0.5-0.4772
\\[5pt]~~~&=&0.0228
\end{eqnarray}\)
