このページは、「正規分布とmやσを含む確率」の練習問題アーカイブページとなります。
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正規分布とmやσを含む確率 で確認できます。
問題アーカイブ01
問題アーカイブ01正規分布 \( N(m~,~\sigma^2) \) に従う確率変数 \( X \) に対して、確率 \( P(\,\left|\,X-m\,\right|\gt k\sigma\,) \) が次の値になるように、定数 \( k \) の値を定めよ。
\({\small (1)}~\) \( 0.006 \) \({\small (2)}~\) \( 0.242 \)
\({\small (1)}~\) \( 0.006 \) \({\small (2)}~\) \( 0.242 \)
数研出版｜高等学校数学Ｂ[711] p.107 章末問題A 3
確率変数 \( X \) が正規分布 \( N(m~,~\sigma^2) \) に従うので、
\( Z=\displaystyle \frac{\,X-m\,}{\,\sigma\,} \) とおくと、
確率変数 \( Z \) は、標準正規分布 \( N(0~,~1) \) に従う
\({\small (1)}~\) 確率 \( P(\,\left|\,X-m\,\right|\gt k\sigma\,)=0.006 \) となる \( k \) は、
\( \left|\,X-m\,\right|\gt k\sigma \) より \( X\lt m-k\sigma~,~X\gt m+k\sigma \)
\( X=m-k\sigma \) のとき、
\(\begin{eqnarray}~~~Z&=&\displaystyle \frac{\,m-k\sigma-m\,}{\,\sigma\,}=\displaystyle \frac{\,-k\sigma\,}{\,\sigma\,}=-k
\end{eqnarray}\)
\( X=m+k\sigma \) のとき、
\(\begin{eqnarray}~~~Z&=&\displaystyle \frac{\,m+k\sigma-m\,}{\,\sigma\,}=\displaystyle \frac{\,k\sigma\,}{\,\sigma\,}=k
\end{eqnarray}\)
これより、確率変数 \( Z \) に変換すると、
\(\begin{eqnarray}~~~&&P(\,\left|\,X-m\,\right|\gt k\sigma\,)
\\[5pt]~~~&=&P(\,Z\lt -k\,)+P(\,Z\gt k\,)
\\[5pt]~&=&2\,P(\,Z\gt k\,)
\\[5pt]~&=&2\left\{\,0.5-p(k)\,\right\}
\\[5pt]~~~&=&1-2\,p(k)
\end{eqnarray}\)
よって、\( 1-2\,p(k)=0.006 \) より、
\(\begin{eqnarray}~~~2\,p(k)&=&0.994
\\[5pt]~~~p(k)&=&0.497
\end{eqnarray}\)
正規分布表より \( p(2.75)=0.4970 \) なので、\( k=2.75 \)
\({\small (2)}~\) 確率 \( P(\,\left|\,X-m\,\right|\gt k\sigma\,)=0.242 \) となる \( k \) は、
\({\small (1)}\) と同様に、確率変数 \( Z \) に変換すると、
\(\begin{eqnarray}~P(\,\left|\,X-m\,\right|\gt k\sigma\,)&=&1-2\,p(k)
\end{eqnarray}\)
よって、\( 1-2\,p(k)=0.242 \) より、
\(\begin{eqnarray}~~~2\,p(k)&=&0.758
\\[5pt]~~~p(k)&=&0.379
\end{eqnarray}\)
正規分布表より \( p(1.17)=0.3790 \) なので、\( k=1.17 \)
問題アーカイブ02
問題アーカイブ02確率変数 \( X \) が正規分布 \( N(m~,~\sigma^2) \) に従うとき、次の確率を求めよ。
\({\small (1)}~\) \( P(\,X\lt m-1.5\sigma\,) \)
\({\small (2)}~\) \( P(\,m-\sigma{\small ~≦~}X{\small ~≦~}m+\sigma\,) \)
\({\small (3)}~\) \( P(\,m-2\sigma\lt X\lt m+2\sigma\,) \)
\({\small (4)}~\) \( P(\,X\gt m+3\sigma\,) \)
\({\small (1)}~\) \( P(\,X\lt m-1.5\sigma\,) \)
\({\small (2)}~\) \( P(\,m-\sigma{\small ~≦~}X{\small ~≦~}m+\sigma\,) \)
\({\small (3)}~\) \( P(\,m-2\sigma\lt X\lt m+2\sigma\,) \)
\({\small (4)}~\) \( P(\,X\gt m+3\sigma\,) \)
東京書籍｜Advanced数学Ｂ[701] p.104 練習問題A 2
\({\small (1)}~\)確率変数 \( X \) が正規分布 \( N(m~,~\sigma^2) \) に従うので、
\( Z=\displaystyle \frac{\,X-m\,}{\,\sigma\,} \) とおくと、
確率変数 \( Z \) は、標準正規分布 \( N(0~,~1) \) に従う
\({\small (1)}~\) 確率 \( P(\,X\lt m-1.5\sigma\,) \) は、
\( X=m-1.5\sigma \) のとき、
\(\begin{eqnarray}~~~Z&=&\displaystyle \frac{\,m-1.5\sigma-m\,}{\,\sigma\,}=\displaystyle \frac{\,-1.5\sigma\,}{\,\sigma\,}=-1.5
\end{eqnarray}\)
これより、確率変数 \( Z \) に変換すると、
\(\begin{eqnarray}~~~P(\,X\lt m-1.5\sigma\,)&=&P(\,Z\lt -1.5\,)
\\[5pt]~&=&0.5-p(1.5)
\\[5pt]~&=&0.5-0.4332
\\[5pt]~~~&=&0.0668
\end{eqnarray}\)
\({\small (2)}~\) 確率 \( P(\,m-\sigma{\small ~≦~}X{\small ~≦~}m+\sigma\,) \) は、
\( X=m-\sigma \) のとき \( Z=-1 \)、\( X=m+\sigma \) のとき \( Z=1 \)
これより、確率変数 \( Z \) に変換すると、
\(\begin{eqnarray}~~~&&P(\,m-\sigma{\small ~≦~}X{\small ~≦~}m+\sigma\,)
\\[5pt]~&=&P(\,-1{\small ~≦~}Z{\small ~≦~}1\,)
\\[5pt]~&=&2\,p(1)
\\[5pt]~&=&2{\small ~\times~}0.3413
\\[5pt]~~~&=&0.6826
\end{eqnarray}\)
\({\small (3)}~\) 確率 \( P(\,m-2\sigma\lt X\lt m+2\sigma\,) \) は、
\( X=m-2\sigma \) のとき \( Z=-2 \)、\( X=m+2\sigma \) のとき \( Z=2 \)
これより、確率変数 \( Z \) に変換すると、
\(\begin{eqnarray}~~~&&P(\,m-2\sigma\lt X\lt m+2\sigma\,)
\\[5pt]~~~&=&P(\,-2\lt Z\lt 2\,)
\\[5pt]~&=&2\,p(2)
\\[5pt]~&=&2{\small ~\times~}0.4772
\\[5pt]~~~&=&0.9544
\end{eqnarray}\)
\({\small (4)}~\) 確率 \( P(\,X\gt m+3\sigma\,) \) は、
\( X=m+3\sigma \) のとき、
\(\begin{eqnarray}~~~Z&=&\displaystyle \frac{\,m+3\sigma-m\,}{\,\sigma\,}=\displaystyle \frac{\,3\sigma\,}{\,\sigma\,}=3
\end{eqnarray}\)
これより、確率変数 \( Z \) に変換すると、
\(\begin{eqnarray}~~~P(\,X\gt m+3\sigma\,)&=&P(\,Z\gt 3\,)
\\[5pt]~&=&0.5-p(3)
\\[5pt]~&=&0.5-0.4987
\\[5pt]~~~&=&0.0013
\end{eqnarray}\)
