- 数学B｜統計的な推測「正規分布の確率を求める文章問題」の基本例題解説ページです。
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問題｜正規分布の確率を求める文章問題
統計的な推測 31あるクラスの男子の身長が、平均 \( 170 ~{\rm cm}\)、標準偏差 \( 3 ~{\rm cm}\) の正規分布に従うとき、身長 \( 167 ~{\rm cm}\) 以上 \( 176 ~{\rm cm}\) 以下の生徒は約何％いるか？ただし、\( p(1)=0.3413~,~p(2)=0.4772 \) とする。
高校数学B｜統計的な推測
解法のPoint
正規分布の確率を求める文章問題
Point：正規分布の確率を求める文章問題
① 文章より、期待値(平均) \( m \)、標準偏差 \( \sigma \) と確率変数の範囲を読み取る。
身長 \( X \) を確率変数として、
\( m=170~,~ \sigma=3 \) より、
正規分布 \( N(170~,~3^2) \) に従う。
求める確率は、\( P(\,167{\small ~≦~}X{\small ~≦~}176\,) \)
② 変換式より、標準正規分布に従う確率変数 \(Z\) の式にする。
\( Z=\displaystyle \frac{\,X-170\,}{\,3\,} \) より、
\( P(\,167{\small ~≦~}X{\small ~≦~}176\,)=P(-1\,{\small ~≦~}Z{\small ~≦~}2\,) \)
③ 標準正規分布の表より、確率を求める。
\(\begin{eqnarray}~~~P(-1\,{\small ~≦~}Z{\small ~≦~}2\,)&=&p(1)+p(2)
\\[3pt]~~~&=&0.8185\end{eqnarray}\)
よって、約 \( 81.9 \) %
正規分布の文章問題で、特定の範囲の確率の求め方は、
① 文章より、期待値(平均) \( m \)、標準偏差 \( \sigma \) と確率変数の範囲を読み取る。
身長 \( X \) を確率変数として、
\( m=170~,~ \sigma=3 \) より、
正規分布 \( N(170~,~3^2) \) に従う。
求める確率は、\( P(\,167{\small ~≦~}X{\small ~≦~}176\,) \)
② 変換式より、標準正規分布に従う確率変数 \(Z\) の式にする。
\( Z=\displaystyle \frac{\,X-170\,}{\,3\,} \) より、
\( P(\,167{\small ~≦~}X{\small ~≦~}176\,)=P(-1\,{\small ~≦~}Z{\small ~≦~}2\,) \)
③ 標準正規分布の表より、確率を求める。
\(\begin{eqnarray}~~~P(-1\,{\small ~≦~}Z{\small ~≦~}2\,)&=&p(1)+p(2)
\\[3pt]~~~&=&0.8185\end{eqnarray}\)
よって、約 \( 81.9 \) %
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詳しい解説｜正規分布の確率を求める文章問題
統計的な推測 31
あるクラスの男子の身長が、平均 \( 170 ~{\rm cm}\)、標準偏差 \( 3 ~{\rm cm}\) の正規分布に従うとき、身長 \( 167 ~{\rm cm}\) 以上 \( 176 ~{\rm cm}\) 以下の生徒は約何％いるか？ただし、\( p(1)=0.3413~,~p(2)=0.4772 \) とする。
高校数学B｜統計的な推測
身長 \( X \) を確率変数とし、\( m=170~,~ \sigma=3 \) より、
確率変数 \(X\) は正規分布 \( N(170~,~3^2) \) に従う
よって、\( Z=\displaystyle \frac{\,X-170\,}{\,3\,} \) とおくと、
確率変数 \(Z\) は標準正規分布 \( N(0~,~1) \) に従う
これより、\( X=167 \) のとき、
\(\begin{eqnarray}~~~Z&=&\displaystyle \frac{\,167-170\,}{\,3\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,-3\,}{\,3\,}=-1
\end{eqnarray}\)
\( X=176 \) のとき、
\(\begin{eqnarray}~~~Z&=&\displaystyle \frac{\,176-170\,}{\,3\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,6\,}{\,3\,}=2
\end{eqnarray}\)
これより、確率変数 \( Z \) に変換すると、
\(\begin{eqnarray}~~~P(\,167{\small ~≦~}X{\small ~≦~}176\,)&=&P(-1\,{\small ~≦~}Z{\small ~≦~}2\,)
\\[5pt]~~~&=&p(1)+p(2)
\\[3pt]~~~&=&0.3413+0.4772
\\[3pt]~~~&=&0.8185
\end{eqnarray}\)
したがって、約 \( 81.9 \) % となる
