正規分布の度数を求める文章問題

数研出版｜数学Ｂ[710] p.87 問題 6

\({\small (1)}~\)得点 \( X \) 点を確率変数とし、\( m=64~,~\sigma=14 \) より、確率変数 \(X\) は正規分布 \( N(64~,~14^2) \) に従う

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よって、\( Z=\displaystyle \frac{\,X-m\,}{\,\sigma\,} \) とおくと、

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確率変数 \( Z \) は標準正規分布 \( N(0~,~1) \) に従う

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ここで、\( X=36 \) のとき、

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\(\begin{eqnarray}~~~Z&=&\displaystyle \frac{\,36-64\,}{\,14\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,-28\,}{\,14\,}=-2
\end{eqnarray}\)

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また、\( X=92 \) のとき、

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\(\begin{eqnarray}~~~Z&=&\displaystyle \frac{\,92-64\,}{\,14\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,28\,}{\,14\,}=2
\end{eqnarray}\)

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これより、確率変数 \( Z \) に変換すると、

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\(\begin{eqnarray}~~~P(36{\small ~≦~}X{\small ~≦~}92)&=&P(-2{\small ~≦~}Z{\small ~≦~}2)
\\[5pt]~~~&=&2{\,\small \times\,}p(2)
\\[5pt]~~~&=&2{\,\small \times\,}0.4772
\\[5pt]~~~&=&0.9544
\end{eqnarray}\)

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受験者の総数を \( x \) とすると、\( 36 \) 点以上 \( 92 \) 点以下の人が \( 400 \) 人であるので、

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\(\begin{eqnarray}~~~x{\,\small \times\,}0.9544&=&400
\\[5pt]~~~x&=&\displaystyle \frac{\,400\,}{\,0.9544\,}{\small ~≒~}419.2\cdots
\end{eqnarray}\)

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したがって、約 \( 419 \) 人となる

 

\({\small (2)}~\)\({\small (1)}\) より、受験者の総数は約 \( 419 \) 人である

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ここで、\( X=50 \) のとき、

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\(\begin{eqnarray}~~~Z&=&\displaystyle \frac{\,50-64\,}{\,14\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,-14\,}{\,14\,}=-1
\end{eqnarray}\)

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これより、確率変数 \( Z \) に変換すると、

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\(\begin{eqnarray}~~~P(X{\small ~≧~}50)&=&P(Z{\small ~≧~}-1)
\\[5pt]~~~&=&0.5+p(1)
\\[5pt]~~~&=&0.5+0.3413
\\[5pt]~~~&=&0.8413
\end{eqnarray}\)

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合格者の人数を \( y \) とすると、\( 50 \) 点以上の人が合格であるので、

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\(\begin{eqnarray}~~~y&=&419{\,\small \times\,}0.8413
\\[5pt]~~~&{\small ~≒~}&352.5\cdots
\end{eqnarray}\)

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したがって、約 \( 353 \) 人が合格となる

東京書籍｜Advanced数学Ｂ[701] p.83 問5
東京書籍｜Standard数学Ｂ[702] p.88 問7

身長 \( X~{\rm cm} \) を確率変数とし、\( m=167~,~\sigma=7 \) より、確率変数 \(X\) は正規分布 \( N(167~,~7^2) \) に従う

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よって、\( Z=\displaystyle \frac{\,X-m\,}{\,\sigma\,} \) とおくと、

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確率変数 \( Z \) は標準正規分布 \( N(0~,~1) \) に従う

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ここで、\( X=174 \) のとき、

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\(\begin{eqnarray}~~~Z&=&\displaystyle \frac{\,174-167\,}{\,7\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,7\,}{\,7\,}=1
\end{eqnarray}\)

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これより、確率変数 \( Z \) に変換すると、

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\(\begin{eqnarray}~~~P(X{\small ~≧~}174)&=&P(Z{\small ~≧~}1)
\\[5pt]~~~&=&0.5-p(1)
\\[5pt]~~~&=&0.5-0.3413
\\[5pt]~~~&=&0.1587
\end{eqnarray}\)

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\( 2 \) 年の男子の人数が \( 200 \) 人であり、\( 174~{\rm cm} \) 以上の生徒の人数を \( y \) とすると、

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\(\begin{eqnarray}~~~y&=&200{\,\small \times\,}0.1587
\\[5pt]~~~&=&31.74
\end{eqnarray}\)

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したがって、約 \( 32 \) 人となる