- 数学B｜統計的な推測「正規分布の基準値を求める文章問題」の基本例題解説ページです。
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問題｜正規分布の基準値を求める文章問題
統計的な推測 33☆あるクラスの男子の身長が、平均 \( 170 ~{\rm cm}\)、標準偏差 \( 3 ~{\rm cm}\) の正規分布に従い、クラスの男子が \(25\) 人で、基準以上の身長の生徒が \(4\) 人いたとき、この基準の身長は約何 \({\rm cm}\) であるか？ただし、\( p(1){\small ~≒~}0.34 \) とする。
高校数学B｜統計的な推測
解法のPoint
正規分布の基準値を求める文章問題
Point：正規分布の基準値を求める文章問題
① 文章より、確率変数 \( X \) の期待値(平均) \( m \)、標準偏差 \( \sigma \) を読み取り、基準値 \( k \) とした確率の式を立てる。
\( m=170~,~\sigma=3~,~P(X{\small ~≧~}k) \)
② 変換の式より、標準正規分布に従う \(Z\) の範囲の確率として、確率の値を \(k\) の式で表す。
\(Z=\displaystyle \frac{\,X-170\,}{\,3\,} \) より、
\(\begin{eqnarray}~~~P(X{\small ~≧~}k)&=&P\left(Z{\small ~≧~}\displaystyle \frac{\,k-170\,}{\,3\,}\right)
\\[5pt]~~~&=&0.5-p\left(\displaystyle \frac{\,k-170\,}{\,3\,}\right)
\end{eqnarray}\)
③ 基準値を満たす人数より確率を求めて、②の式と等しい式を立てる。
\(25\) 人中 \(4\) 人が基準を満たし、\(\begin{eqnarray}\displaystyle \frac{\,4\,}{\,25\,}&=&0.16
\end{eqnarray}\)
よって、\(\begin{eqnarray}0.5-p\left(\displaystyle \frac{\,k-170\,}{\,3\,}\right)&=&0.16
\end{eqnarray}\)
④ 正規分布の表より、\( k \) の値を求める。
\(\begin{eqnarray}p\left(\displaystyle \frac{\,k-170\,}{\,3\,}\right)&=&0.34\end{eqnarray}\) となり、
\( p(1){\small ~≒~}0.34 \) より、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,k-170\,}{\,3\,}=1~\Leftrightarrow ~ k=173\end{eqnarray}\)
基準以上の人数から基準値の求め方は、
① 文章より、確率変数 \( X \) の期待値(平均) \( m \)、標準偏差 \( \sigma \) を読み取り、基準値 \( k \) とした確率の式を立てる。
\( m=170~,~\sigma=3~,~P(X{\small ~≧~}k) \)
② 変換の式より、標準正規分布に従う \(Z\) の範囲の確率として、確率の値を \(k\) の式で表す。
\(Z=\displaystyle \frac{\,X-170\,}{\,3\,} \) より、
\(\begin{eqnarray}~~~P(X{\small ~≧~}k)&=&P\left(Z{\small ~≧~}\displaystyle \frac{\,k-170\,}{\,3\,}\right)
\\[5pt]~~~&=&0.5-p\left(\displaystyle \frac{\,k-170\,}{\,3\,}\right)
\end{eqnarray}\)
③ 基準値を満たす人数より確率を求めて、②の式と等しい式を立てる。
\(25\) 人中 \(4\) 人が基準を満たし、\(\begin{eqnarray}\displaystyle \frac{\,4\,}{\,25\,}&=&0.16
\end{eqnarray}\)
よって、\(\begin{eqnarray}0.5-p\left(\displaystyle \frac{\,k-170\,}{\,3\,}\right)&=&0.16
\end{eqnarray}\)
④ 正規分布の表より、\( k \) の値を求める。
\(\begin{eqnarray}p\left(\displaystyle \frac{\,k-170\,}{\,3\,}\right)&=&0.34\end{eqnarray}\) となり、
\( p(1){\small ~≒~}0.34 \) より、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,k-170\,}{\,3\,}=1~\Leftrightarrow ~ k=173\end{eqnarray}\)
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詳しい解説｜正規分布の基準値を求める文章問題
統計的な推測 33☆
あるクラスの男子の身長が、平均 \( 170 ~{\rm cm}\)、標準偏差 \( 3 ~{\rm cm}\) の正規分布に従い、クラスの男子が \(25\) 人で、基準以上の身長の生徒が \(4\) 人いたとき、この基準の身長は約何 \({\rm cm}\) であるか？ただし、\( p(1){\small ~≒~}0.34 \) とする。
高校数学B｜統計的な推測
身長 \(X\) を確率変数とし、\( m=170~,~\sigma=3 \) より、確率変数 \(X\) は正規分布 \( N(170~,~3^2) \) に従う
よって、\( Z=\displaystyle \frac{\,X-170\,}{\,3\,} \) とおくと、
確率変数 \(Z\) は標準正規分布 \( N(0~,~1) \) に従う
これより、基準の身長を \( k~{\rm cm} \) とすると、\( k~{\rm cm} \) 以上の確率は、
\(\begin{eqnarray}~~~P(X{\small ~≧~}k)&=&P\left(Z{\small ~≧~}\displaystyle \frac{\,k-170\,}{\,3\,}\right)
\\[5pt]~~~&=&0.5-p\left(\displaystyle \frac{\,k-170\,}{\,3\,}\right)~~~~\cdots \small [\,1\,]
\end{eqnarray}\)
また、\(25\) 人中 \(4\) 人が基準以上であるので、その割合は、
\(\displaystyle \frac{\,4\,}{\,25\,}=0.16 \)
これは \(\small [\,1\,]\) と等しくなるので、
\(\begin{eqnarray}~~~0.5-p\left(\displaystyle \frac{\,k-170\,}{\,3\,}\right)&=&0.16
\\[5pt]~~~p\left(\displaystyle \frac{\,k-170\,}{\,3\,}\right)&=&0.5-0.16
\\[5pt]~~~&=&0.34
\end{eqnarray}\)
与えられた \( p(1){\small ~≒~}0.34 \) より、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,k-170\,}{\,3\,}&=&1
\\[5pt]~~~k-170&=&3
\\[5pt]~~~k&=&170+3
\\[5pt]~~~k&=&173
\end{eqnarray}\)
したがって、基準の身長は約 \( 173~{\rm cm} \) である
