このページは、「正規分布の基準値を求める文章問題」の練習問題アーカイブページとなります。
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正規分布の基準値を求める文章問題 で確認できます。
問題アーカイブ01
問題アーカイブ01ある大学の入学試験は、受験者数が \(2600\) 名で、\(500\) 点満点の試験に対し、平均値は \(296\) 点、標準偏差は \(52\) 点、合格者は \(400\) 名という結果であった。得点の分布が正規分布であるとみなされるとき、合格最低点はおよそ何点であるか。小数点以下を切り捨てて答えよ。
数研出版｜数学Ｂ[710] p.111 問題 8
得点 \(X\) を確率変数とし、\( m=296~,~\sigma=52 \) より、確率変数 \(X\) は正規分布 \( N(296~,~52^2) \) に従う
よって、\( Z=\displaystyle \frac{\,X-296\,}{\,52\,} \) とおくと、
確率変数 \(Z\) は標準正規分布 \( N(0~,~1) \) に従う
これより、合格最低点を \( k \) 点とすると、\( k \) 点以上の確率は、
\(\begin{eqnarray}~~~P(X{\small ~≧~}k)&=&P\left(Z{\small ~≧~}\displaystyle \frac{\,k-296\,}{\,52\,}\right)
\\[5pt]~~~&=&0.5-p\left(\displaystyle \frac{\,k-296\,}{\,52\,}\right)~~~~\cdots \small [\,1\,]
\end{eqnarray}\)
また、\(2600\) 人中 \(400\) 人が合格であるので、その割合は、
\(\displaystyle \frac{\,400\,}{\,2600\,}=\frac{\,2\,}{\,13\,} \)
これは \(\small [\,1\,]\) と等しくなるので、
\(\begin{eqnarray}~~~0.5-p\left(\displaystyle \frac{\,k-296\,}{\,52\,}\right)&=&\displaystyle \frac{\,2\,}{\,13\,}
\\[5pt]~p\left(\displaystyle \frac{\,k-296\,}{\,52\,}\right)&=&0.5-\displaystyle \frac{\,2\,}{\,13\,}
\\[5pt]~&{\small ~≒~}&0.3462
\end{eqnarray}\)
正規分布表より \( p(1.02){\small ~≒~}0.3461 \) であるので、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,k-296\,}{\,52\,}&{\small ~≒~}&1.02
\\[5pt]~~~k-296&{\small ~≒~}&53.04
\\[5pt]~~~k&{\small ~≒~}&296+53.04
\\[5pt]~~~k&{\small ~≒~}&349.04
\end{eqnarray}\)
したがって、合格最低点は約 \( 349 \) 点である
問題アーカイブ02
問題アーカイブ02\(1000\) 人の生徒に数学の試験を実施したところ、その成績の分布は平均点 \(62\) 点、標準偏差 \(8\) 点の正規分布で近似された。成績が上位 \(100\) 番までの生徒の得点はおよそ何点以上か。小数点以下を切り捨てて答えよ。
数研出版｜高等学校数学Ｂ[711] p.107 章末問題A 5
数研出版｜新編数学Ｂ[712] p.100 章末問題A 4
得点 \(X\) を確率変数とし、\( m=62~,~\sigma=8 \) より、確率変数 \(X\) は正規分布 \( N(62~,~8^2) \) に従う
よって、\( Z=\displaystyle \frac{\,X-62\,}{\,8\,} \) とおくと、
確率変数 \(Z\) は標準正規分布 \( N(0~,~1) \) に従う
これより、上位 \(100\) 番までの得点を \( k \) 点以上とすると、\( k \) 点以上の確率は、
\(\begin{eqnarray}~~~P(X{\small ~≧~}k)&=&P\left(Z{\small ~≧~}\displaystyle \frac{\,k-62\,}{\,8\,}\right)
\\[5pt]~~~&=&0.5-p\left(\displaystyle \frac{\,k-62\,}{\,8\,}\right)~~~~\cdots \small [\,1\,]
\end{eqnarray}\)
また、\(1000\) 人中 \(100\) 人が上位であるので、その割合は、
\(\displaystyle \frac{\,100\,}{\,1000\,}=\frac{\,1\,}{\,10\,}=0.1 \)
これは \(\small [\,1\,]\) と等しくなるので、
\(\begin{eqnarray}~~~0.5-p\left(\displaystyle \frac{\,k-62\,}{\,8\,}\right)&=&0.1
\\[5pt]~p\left(\displaystyle \frac{\,k-62\,}{\,8\,}\right)&=&0.5-0.1
\\[5pt]~&=&0.4
\end{eqnarray}\)
正規分布表より \( p(1.28){\small ~≒~}0.3997 \) であるので、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,k-62\,}{\,8\,}&{\small ~≒~}&1.28
\\[5pt]~~~k-62&{\small ~≒~}&10.24
\\[5pt]~~~k&{\small ~≒~}&62+10.24
\\[5pt]~~~k&{\small ~≒~}&72.24
\end{eqnarray}\)
したがって、上位 \(100\) 番までの得点は約 \( 72 \) 点以上である
問題アーカイブ03
問題アーカイブ03ある大学の入学試験は、入学定員 \(400\) 名に対し受験者数が \(2600\) 名で、\(500\) 点満点に対し平均点は \(285\) 点、標準偏差は \(72\) 点であった。得点の分布が正規分布で近似されるとみなすとき、合格最低点はおよそ何点か。小数点以下を切り捨てて答えよ。
数研出版｜高等学校数学Ｂ[711] p.107 章末問題B 9
数研出版｜新編数学Ｂ[712] p.101 章末問題B 8
得点 \(X\) を確率変数とし、\( m=285~,~\sigma=72 \) より、確率変数 \(X\) は正規分布 \( N(285~,~72^2) \) に従う
よって、\( Z=\displaystyle \frac{\,X-285\,}{\,72\,} \) とおくと、
確率変数 \(Z\) は標準正規分布 \( N(0~,~1) \) に従う
これより、合格最低点を \( k \) 点とすると、\( k \) 点以上の確率は、
\(\begin{eqnarray}~~~P(X{\small ~≧~}k)&=&P\left(Z{\small ~≧~}\displaystyle \frac{\,k-285\,}{\,72\,}\right)
\\[5pt]~~~&=&0.5-p\left(\displaystyle \frac{\,k-285\,}{\,72\,}\right)~~~~\cdots \small [\,1\,]
\end{eqnarray}\)
また、\(2600\) 人中 \(400\) 人が合格であるので、その割合は、
\(\displaystyle \frac{\,400\,}{\,2600\,}=\frac{\,2\,}{\,13\,} \)
これは \(\small [\,1\,]\) と等しくなるので、
\(\begin{eqnarray}~~~0.5-p\left(\displaystyle \frac{\,k-285\,}{\,72\,}\right)&=&\displaystyle \frac{\,2\,}{\,13\,}
\\[5pt]~p\left(\displaystyle \frac{\,k-285\,}{\,72\,}\right)&=&0.5-\displaystyle \frac{\,2\,}{\,13\,}
\\[5pt]~&{\small ~≒~}&0.3462
\end{eqnarray}\)
正規分布表より \( p(1.02){\small ~≒~}0.3461 \) であるので、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,k-285\,}{\,72\,}&{\small ~≒~}&1.02
\\[5pt]~~~k-285&{\small ~≒~}&73.44
\\[5pt]~~~k&{\small ~≒~}&285+73.44
\\[5pt]~~~k&{\small ~≒~}&358.44
\end{eqnarray}\)
したがって、合格最低点は約 \( 358 \) 点である
問題アーカイブ04
問題アーカイブ04ある大学は入学定員 \(480\) 名で、入学試験は \(600\) 点満点である。ある年、受験者数が \(2400\) 名で平均点は \(355\) 点、標準偏差は \(70\) 点であった。得点の分布が正規分布とみなせるとき、合格最低点はおよそ何点か求めよ。
東京書籍｜Standard数学Ｂ[702] p.109 Level Up 8
得点 \(X\) を確率変数とし、\( m=355~,~\sigma=70 \) より、確率変数 \(X\) は正規分布 \( N(355~,~70^2) \) に従う
よって、\( Z=\displaystyle \frac{\,X-355\,}{\,70\,} \) とおくと、
確率変数 \(Z\) は標準正規分布 \( N(0~,~1) \) に従う
これより、合格最低点を \( k \) 点とすると、\( k \) 点以上の確率は、
\(\begin{eqnarray}~~~P(X{\small ~≧~}k)&=&P\left(Z{\small ~≧~}\displaystyle \frac{\,k-355\,}{\,70\,}\right)
\\[5pt]~~~&=&0.5-p\left(\displaystyle \frac{\,k-355\,}{\,70\,}\right)~~~~\cdots \small [\,1\,]
\end{eqnarray}\)
また、\(2400\) 人中 \(480\) 人が合格であるので、その割合は、
\(\displaystyle \frac{\,480\,}{\,2400\,}=\frac{\,1\,}{\,5\,}=0.2 \)
これは \(\small [\,1\,]\) と等しくなるので、
\(\begin{eqnarray}~~~0.5-p\left(\displaystyle \frac{\,k-355\,}{\,70\,}\right)&=&0.2
\\[5pt]~p\left(\displaystyle \frac{\,k-355\,}{\,70\,}\right)&=&0.5-0.2
\\[5pt]~&=&0.3
\end{eqnarray}\)
正規分布表より \( p(0.84){\small ~≒~}0.2995 \) であるので、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,k-355\,}{\,70\,}&{\small ~≒~}&0.84
\\[5pt]~~~k-355&{\small ~≒~}&58.8
\\[5pt]~~~k&{\small ~≒~}&355+58.8
\\[5pt]~~~k&{\small ~≒~}&413.8
\end{eqnarray}\)
したがって、合格最低点は約 \( 414 \) 点である
